帶有等式約束的最優(yōu)化問題及其經(jīng)濟學應用課件

第

4章

帶有等式約束的最優(yōu)化問題及其經(jīng)濟學應用第4章

帶有等式約束的最優(yōu)化問題及其經(jīng)濟學應用§4.1

帶有等式約束的函數(shù)求

極值的必要和充分條件一、二元函數(shù)帶等數(shù)約束的極值問題二、多元函數(shù)帶多個等數(shù)約束的極值問題§4.1帶有等式約束的函數(shù)求

極值的必要和充§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)一、擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)的定義MNMNyyxxOOvuvu§4.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)一、擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)的定義M§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)1.一元擬凹函數(shù)和擬凸函數(shù)的定義對于一元函數(shù)y=f(x)的定義域（凸集）中的任意點u

和v

，假設f(v)≥

f(u)。如果對于任意的t

∈[0,1]，有：

f[(1–t)u+tv]≥

f(u)，則稱f

為擬凹的f[(1–t)u+tv]≤

f(v)，則稱f

為擬凸的在u

≠

v

且t

∈(0,1)的情況下，如果上兩式是嚴格>或<，則稱f

為嚴格擬凹的或嚴格擬凸的?！?.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)1.一元擬凹函數(shù)和§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)2.多元擬凹函數(shù)和擬凸函數(shù)的定義設F

是定義在凸集U

Rn

上的n

元函數(shù)，如果對于任意的x,y

∈U

和任意的t

∈[0,1]，有：

F[(1–t)x

+ty]≥min{F(x),F(y)}，F(xiàn)擬凹F[(1–t)x

+ty]≤max{F(x),F(y)}，F(xiàn)擬凸在x

≠

y

且t

∈(0,1)的情況下，如果上兩式是嚴格>或<，則稱F

為嚴格擬凹的或嚴格擬凸的?！?.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)2.多元擬凹函數(shù)和§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)二、可微函數(shù)擬凹和擬凸性判斷1.一階微分判別準則對于一元可微函數(shù)f(x)，任取其定義域內(nèi)兩個不同的點u

和v

，假設f(v)≥

f(u)，則：f(x)擬凹的充要條件為f'(u)(v–u)≥0f(x)擬凸的充要條件為f'(v)(v–u)≥0當≥

變?yōu)?gt;時，即嚴格擬凹或擬凸?！?.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)二、可微函數(shù)擬凹和擬凸性判斷§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)對于多元可微函數(shù)F(x)，其中x=(x1,x2,…,xn)，任取函數(shù)F(x)定義域內(nèi)兩個不同的點u=(u1,u2,…,un)和v=(v1,v2,…,vn)，假設F(v)≥

F(u)。F(x)擬凹的充要條件為uF(x)擬凸的充要條件為v

其中：，。uxx=uvxx=v§4.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)對于多§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)2.二階微分判別準則設F

是定義在開凸集U

Rn

上的二階可微函數(shù)，令：§4.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)2.二階微分判別準§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)

F

是擬凹的必要條件為(-1)k∣Ck(x)∣≥

0

擬凹的充分條件為(-1)k∣Ck(x)∣>

0

F

是擬凸的必要條件為∣Ck(x)∣≤

0擬凸的充分條件為∣Ck(x)∣<

0若U

Rn+

，對于嚴格擬凹和嚴格擬凸成立?！?.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)三、擬凹函數(shù)和擬凸函數(shù)的性質(zhì)1.若f(x)為擬凹函數(shù)，則–f(x)為擬凸函數(shù)；若f(x)為擬凸函數(shù)，則–f(x)為擬凹函數(shù)。2.任意的凹（凸）函數(shù)均為擬凹（擬凸）函數(shù)，但反之不一定成立。3.若f(x)為線性函數(shù)，則它既是擬凹又是擬凸的?！?.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)三、擬凹函數(shù)和擬凸函數(shù)的性質(zhì)§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)4.對于任意常數(shù)k

，如果集合S={x∣f(x)≥

k}為凸集，則f(x)是擬凹函數(shù)；若S={x∣f(x)≤

k}為凸集，則f(x)是擬凸函數(shù)。證明：f(x,y)=xy（x>0,y>0）為擬凹函數(shù)。§4.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)四、擬凹函數(shù)和擬凸函數(shù)的最優(yōu)化maxz=f(x1,x2,…,xn)

s.t.gi(x1,x2,…,xn)=ci，i=1,2,…,m假設(x1*,x2*,…,xn*)滿足等式約束極值的一階充分條件，若z

是嚴格擬凹函數(shù)且約束集為凸集，則z*=f(x1*,x2*,…,xn*)是目標函數(shù)的整體最大值；若z

是嚴格擬凸函數(shù)且約束集為凸集，則z*=f(x1*,x2*,…,xn*)是目標函數(shù)的整體最小值?！?.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)四、擬凹函數(shù)和擬凸函數(shù)的最優(yōu)化§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析一、均衡解的比較靜態(tài)分析maxy=f(x,a)s.t.g(x,a)=0其中：x=(x1,x2,…,xn)——內(nèi)生變量

a=(a1,a2,…,am)——外生變量等式約束最優(yōu)化問題的比較靜態(tài)分析就是分析均衡解x*的各個分量x1*,x2*,…,xn*關(guān)于ai

的偏導數(shù)?？紤]等式約束的最優(yōu)化問題：§4.3極值問題的比較靜態(tài)分析一、均衡解的比較靜態(tài)分析考§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析

如何分析呢？

——假設二階充分條件得到滿足首先，建立Lagrange

函數(shù)：L=f(x,a)+λg(x,a)然后，求其一階必要條件：……§4.3極值問題的比較靜態(tài)分析如何分析呢？—§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析假定隱函數(shù)定理成立，求解上述方程組可得均衡解：x1*=x1*(a)，……，xn*=xn*(a)，λ*=λ*(a)將這些均衡解代回上述一階必要條件方程組，有：……§4.3極值問題的比較靜態(tài)分析假定隱函數(shù)定理成立§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析對上面這個方程組中的每一個式子對ai

求偏導數(shù)。我們以第一個式子為例，利用鏈式求導法則有：§4.3極值問題的比較靜態(tài)分析對§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析上式可整理為：簡寫為：§4.3極值問題的比較靜態(tài)分析上式可整理為：§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析同樣道理，方程組中其他式子對ai

求偏導數(shù)，有：……§4.3極值問題的比較靜態(tài)分析同樣道理，方程組中§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析寫成矩陣的形式，有：§4.3極值問題的比較靜態(tài)分析寫成矩陣的形式，有§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析假定二階充分條件得到滿足，那么，系數(shù)矩陣的行列式不等于0

（記為或）。于是，根據(jù)克萊姆法則，可解得：§4.3極值問題的比較靜態(tài)分析假§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析二、最優(yōu)值函數(shù)的比較靜態(tài)分析考慮等式約束的最優(yōu)化問題maxy=f(x,a)s.t.g(x,a)=0其中：x=(x1,x2,…,xn)——內(nèi)生變量

a=(a1,a2,…,am)——外生變量§4.3極值問題的比較靜態(tài)分析二、最優(yōu)值函數(shù)的比較靜態(tài)分§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析→關(guān)于最優(yōu)值函數(shù)的比較靜態(tài)分析問題，可以采用傳統(tǒng)的方法來解決，即：

首先，構(gòu)造Lagrange

函數(shù)，利用一階必要條件和二階充分條件，求解出均衡解x*然后，將x*代入目標函數(shù)，得最優(yōu)值函數(shù)f[x*(a);a)]最后，計算?f[x*(a);a)]/?ai

。→也可以用包絡定理?！?.3極值問題的比較靜態(tài)分析→§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析

前述帶有等式約束的最優(yōu)化問題的包絡定理：最優(yōu)化問題的Lagrange

函數(shù)為L=f(x,a)+λg(x,a)

則有：——包絡定理。x*,λ*axa§4.3極值問題的比較靜態(tài)分析x*,λ*axa§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析

包絡定理的證明：最優(yōu)化問題的一階必要條件為：可求解出：xi*=xi*(a)，λ*=λ*(a)。將xi*和λ*代入到目標函數(shù)，可得最優(yōu)值函數(shù)：V(a)=f[x*(a);a)]§4.3極值問題的比較靜態(tài)分析包絡定理的證明：§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析對上述最優(yōu)值函數(shù)兩端對ai

求偏導，有：a又由于（前證），兩邊乘以λ§4.3極值問題的比較靜態(tài)分析對§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析兩式相加，可得：a由前面一階必要條件可知：0，所以：axa得證?！?.3極值問題的比較靜態(tài)分析兩舉兩個例子：包絡定理1.效用函數(shù)maxU=x10.25x20.25s.t.

P1x1+P2x2=10試分析兩商品價格P1和P2變化對總效用的影響。2.記w1*=[x1*(a),y1*(a),z1*(a)]和w2*=[x2*(a),y2*(a),z2*(a)]為極大值（或極小值）問題：max(ormin)f(x,y,z)=x+y+a3zs.t.

x2+a2y2+z2=a1舉兩個例子：包絡定理1.效用函數(shù)舉兩個例子（續(xù)）：包絡定理（接第2題）的均衡解。對應的Lagrange

乘子分別為λ1*(a)和λ2*(a)，對應的最優(yōu)值分別為f1*(a)和f2*(a)。⑴求f1*(a)和f2*(a)在a=(3,1,1)處關(guān)于a1、a2、a3

的偏導數(shù)；⑵當目標函數(shù)變?yōu)閒(x,y,z)=x+y+1.03z、等式約束變?yōu)閤2+1.02y2+z2=3.01時，極大化和極小化問題目標函數(shù)的最優(yōu)值的改變量分別為多少？新的極大化和極小化問題目標函數(shù)的最優(yōu)值分別為？舉兩個例子（續(xù)）：包絡定理（接第2題）的均衡§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析三、Lagrange

乘子的經(jīng)濟學意義在等式約束的最優(yōu)化問題中：maxy=f(x,a)s.t.g(x,a)=b其中：x=(x1,x2,…,xn)，a=(a1,a2,…,am)和b外生。

Lagrange

函數(shù)為：L=f(x,a)+λ[b–g(x,a)]。根據(jù)包絡定理，有：axax*,λ*§4.3極值問題的比較靜態(tài)分析三、Lagrange乘子§4.3

極值問題的比較靜態(tài)分析即：λ*——表示約束條件右端變動引起目標函數(shù)最優(yōu)值的變化情況。假設b增加一個單位，約束變松，從而目標函數(shù)的最優(yōu)值會增加，增加的部分（λ*）就是單位b

的價值——在經(jīng)濟學上，稱為資源的邊際價值；或稱為資源的影子價格。它反映了系統(tǒng)內(nèi)部資源的緊缺程度（與外部市場因素無關(guān)），λ*

越大，說明這種資源越是相對緊缺，反之則說明這種資源相對不緊缺。（特例說明）§4.3極值問題的比較靜態(tài)分析即§4.4

效用極大化問題一、效用極大化問題的靜態(tài)分析令消費者對兩種商品x

和y

的消費量均大于0，且是在競爭市場上以Px

和Py

的恒定價格購得，消費者貨幣收入為M。在消費者偏好具有非飽和性的假設下，消費者會將所有的收入用來購買x

和y。在既定收入水平下的效用極大化模型為：maxU=U(x,y)s.t.

Px·

x+Py·

y=M§4.4效用極大化問題一、效用極大化問題的靜態(tài)分析§4.4

效用極大化問題構(gòu)建上述效用極大化問題的Lagrange

函數(shù)為：

L(x,y,λ)=U(x,y)+λ(M–Px·

x–Py·

y)一階必要條件為：

Lx=U’x–λPx=0Ly=U’y–λPy=0Lλ=M–Px·

x–Py·

y=0§4.4效用極大化問題§4.4

效用極大化問題由前兩個方程可推出：所以，一階必要條件實際上是要求在預算約束下滿足上式。為使效用最大化，消費者必須分配其預算，以使每一物品的邊際效用與價格之比相等。按照無差異曲線的概念，可對這一階必要條件進行幾何解釋。在一條無差異曲線上必然有：

dU=U’x

dx+U’y

dy=0§4.4效用極大化問題§4.4

效用極大化問題整理可得，這是無差異曲線切線的斜率；另外，預算線是一條直線，其斜率為；由于，因此，若使效用最大化，消費者必須對其預算進行分配，使預算線的斜率等于無差異曲線切線的斜率，即預算線與無差異曲線相切，滿足一階必要條件?！?.4效用極大化問題§4.4

效用極大化問題xyOE斜率=斜率=§4.4效用極大化問題xyOE斜率=斜率=§4.4

效用極大化問題對效用極大化問題的充分條件的幾何解釋：由一階必要條件，可求得均衡解(x*,y*)

[駐點]；進一步，二階充分條件判斷的海賽加邊行列式為：若>0，則駐點(x*,y*)

必然是極大值點?！?.4效用極大化問題對效用極大化問題的充分條件§4.4

效用極大化問題對于無差異曲線來講，在滿足一階必要條件的基礎上，若使其達到極大值，必須滿足二階充分條件大于0，即：d2y/dx2>0。由前面的分析可知，，所以：§4.4效用極大化問題§4.4

效用極大化問題由于無差異曲線本身就是y

關(guān)于x

的函數(shù)，因此：，其中，dy/dx

是無差異曲線切線的斜率。根據(jù)前面的分析可知，若使效用極大化，無差異曲線切線的斜率等于預算線斜率，即：dy/dx=–Px/Py

。于是：，§4.4效用極大化問題由于無差異曲線本身就是y§4.4

效用極大化問題將其代入到前述二階導數(shù)式，有：又由于，所以，于是：§4.4效用極大化問題將其代入到前述二階導數(shù)式，§4.4

效用極大化問題顯然，當>0時，d2y/dx2>0，可知，無差異曲線在切點處嚴格凸。值得注意的是，無差異曲線嚴格凸性的實質(zhì)并非效用極大化的必要條件。具體而言，即使無差異曲線為非嚴格凸的（右圖），在最大值處盡管有d2y/dx2=0，但效用仍可能最大化。E1E2E3§4.4效用極大化問題顯然，當§4.4

效用極大化問題在效用函數(shù)一階必要條件和二階充分條件的基礎上，我們就可推導得到兩種商品的需求函數(shù)。由前面的分析可知，效用最大化的一階條件：

Lx=U’x–λPx=0Ly=U’y–λPy=0Lλ=M–Px·

x–Py·

y=0事實上，一階必要條件方程組的一階偏導數(shù)所構(gòu)成的雅可比行列式即為二階充分條件的海賽加邊行列式。§4.4效用極大化問題在效用函數(shù)§4.4

效用極大化問題根據(jù)隱函數(shù)定理，如果雅可比行列式≠0，則方程組可求解。由前面的分析可知，二階充分條件確保了海賽加邊行列式≠0，因此，可利用克萊姆法則求解一階必要條件的方程組，其解為：

x*=x*(Px,Py,M)y*=y*(Px,Py,M)

λ*=λ*(Px,Py,M)所求的均衡解是關(guān)于商品價格和貨幣收入的函數(shù)?！?.4效用極大化問題根據(jù)隱函數(shù)§4.4

效用極大化問題稱x*和y*為馬歇爾需求函數(shù)，記為：xM=xM(Px,Py,M)yM=yM(Px,Py,M)這兩個式子表明了，消費者對于任一給定的商品價格和貨幣收入所作出的消費決策?！?.4效用極大化問題§4.4

效用極大化問題如果把馬歇爾需求函數(shù)代入到效用函數(shù)U(x,y)或相應的Lagrange

函數(shù)，則可得到效用最大值：U*(Px,Py,M)=U*[xM(Px,Py,M),yM(Px,Py,M)]由于效用最大值是商品價格和收入的函數(shù)，所以也將效用最大值稱為效用最大值函數(shù)或間接效用函數(shù)，記為：V(Px,Py,M)=U*(Px,Py,M)§4.4效用極大化問題§4.4

效用極大化問題二、效用極大化問題的比較靜態(tài)分析由前面的效用最大化問題的模型可知，內(nèi)生變量為x

和y

，外生變量為Px、Py和M

。引入馬歇爾需求函數(shù)，則效用最大化一階條件：

U’x(xM,yM)–λMPx=0U’y(xM,yM)–λMPy=0M–Px·

xM–Py·

yM=0一般的傳統(tǒng)方法如何進行比較靜態(tài)分析？§4.4效用極大化問題二、效用極大化問題的比較靜態(tài)分析一§4.4

效用極大化問題

1.商品價格Px和Py

不變，貨幣收入M

變化對一階必要條件中的等式兩邊對M

求偏導：§4.4效用極大化問題1.商品價格Px和§4.4

效用極大化問題寫成矩陣形式為：根據(jù)克萊姆法則，可解得：§4.4效用極大化問題寫成矩陣形式為：§4.4

效用極大化問題盡管根據(jù)二階充分條件可知，海賽加邊行列式大于0，但分子的符號仍無法判定。然而，根據(jù)經(jīng)濟學理論可以推斷，完全可能出現(xiàn)?xM/?M<0或?yM/?M<0的情況，即這時的商品為劣等品（或低檔品）。（何為劣等品？）不過，一般來講，?xM/?M<0和?yM/?M<0同時出現(xiàn)的情況不會存在，因為這意味著隨著消費者收入的增加反而同時減少兩種商品的購買，這與經(jīng)濟學中“多總比少好”的假設矛盾?！?.4效用極大化問題盡管根據(jù)二§4.4

效用極大化問題

2.商品價格Py

和M

不變，商品價格Px變化對一階必要條件中的等式兩邊對Px

求偏導：§4.4效用極大化問題2.商品價格Py和§4.4

效用極大化問題寫成矩陣形式為：根據(jù)克萊姆法則，可解得：§4.4效用極大化問題§4.4

效用極大化問題三、間接目標函數(shù)比較靜態(tài)分析與羅伊恒等式將均衡解

xM

、yM

和λM

代入

Lagrange

函數(shù)，可得到間接目標函數(shù)：V(Px,Py,M)=U(xM,yM)+λM(M–xMPx–yMPy)上式兩端分別對

Px

求偏導，有：§4.4效用極大化問題三、間接目標函數(shù)比較靜態(tài)分析與羅伊§4.4

效用極大化問題由一階必要條件可知偏導系數(shù)為零，故：

同樣道理，間接目標函數(shù)對M

求偏導，有：同樣，由一階必要條件有：§4.4效用極大化問題§4.4

效用極大化問題將兩偏導數(shù)相除有：

羅伊恒等式羅伊恒等式說明：商品x

的馬歇爾需求函數(shù)等于間接目標函數(shù)分別對Px和M

偏導數(shù)比率相反數(shù)。當然，同樣道理，也可得到：羅伊恒等式提供了一個求馬歇爾需求函數(shù)的有效途徑，如果知道間接效用函數(shù)，通過求關(guān)于商品價格和收入的偏導數(shù)就可以求得馬歇爾需求函數(shù)?！?.4效用極大化問題§4.4

效用極大化問題

舉個例子：利用效用極大化模型maxU=xys.t.

Px·

x+Py·

y=M檢驗羅伊恒等式的有效性?！?.4效用極大化問題羅伊恒等式的有效性檢驗首先，構(gòu)造Lagrange

函數(shù)：L(x,y,λ)=xy+λ(M–Px·

x–Py·

y)然后，計算一階必要條件：羅伊恒等式的有效性檢驗首先，構(gòu)造Lagrange羅伊恒等式的有效性檢驗然后，檢驗二階充分條件：羅伊恒等式的有效性檢驗然后，檢驗二階充分條件：羅伊恒等式的有效性檢驗將xM

和yM

代回目標函數(shù)：分別對Px、Py和M

求偏導，有：于是，有：羅伊恒等式的有效性檢驗§4.5

支出極小化問題一、支出極小化問題的靜態(tài)分析令U=U(x,y)，假設消費者對兩種商品x

和y

的消費量均大于0，且是在競爭市場上以Px

和Py

的恒定價格購得，那么，在既定效用水平U0條件下，消費者如何進行商品選擇使其支出最小化呢？既定效用水平下的支出極小化模型為：minE=xPx+yPys.t.

U(x,y)=U0§4.5支出極小化問題一、支出極小化問題的靜態(tài)分析§4.5

支出極小化問題構(gòu)造Lagrange

函數(shù)：L=xPx+yPy

+μ[U0–U(x,y)]

一階必要條件為：二階充分條件為：Lx=Px–μU

’x=0Ly=Py–μU

’y=0Lμ=U0–U(x,y)=0§4.5支出極小化問題§4.5

支出極小化問題在支出極小化的一階必要條件和二階充分條件成立的基礎上，可求得均衡解：x=xH(Px,Py,U0)y=yH(Px,Py,U0)

μ=μH(Px,Py,U0)其中：x=xH(Px,Py,U0)和y=yH(Px,Py,U0)稱為希克斯需求函數(shù)，表示了消費者對于任一給定的商品價格和效用水平下所作出的消費決策?！?.5支出極小化問題在支出極小§4.5

支出極小化問題二、支出極小化問題的比較靜態(tài)分析由支出極小化問題的模型可知，內(nèi)生變量為x

和y

，外生變量為Px、Py和U0

。引入?？怂剐枨蠛瘮?shù)，則支出極小化一階條件：

Px–μHU

’x(xH,yH)=0Py–μHU

’y(xH,yH)=0U0–U(xH,yH)=0一般的傳統(tǒng)方法如何進行比較靜態(tài)分析？§4.5支出極小化問題二、支出極小化問題的比較靜態(tài)分析一§4.5

支出極小化問題

1.商品價格Px和Py

不變，效用水平

U0

變化對一階必要條件中的等式兩邊對U0

求偏導：§4.5支出極小化問題1.商品價格Px和§4.5

支出極小化問題寫成矩陣形式為：根據(jù)克萊姆法則，可解得：分子符號無法判定§4.5支出極小化問題寫成矩陣形式為：分子符號無§4.5

支出極小化問題

2.商品價格Py

和U0

不變，商品價格Px變化對一階必要條件中的等式兩邊對Px

求偏導：§4.5支出極小化問題2.商品價格Py和§4.5

支出極小化問題寫成矩陣形式：根據(jù)克萊姆法則，可解得：§4.5支出極小化問題§4.5

支出極小化問題三、間接目標函數(shù)比較靜態(tài)分析與謝潑德引理將均衡解

xH

、yH

和μH

代入

Lagrange

函數(shù)，可得到間接目標函數(shù)（或支出函數(shù)）：E(Px,Py,U0)=xHPx+yHPy

+μH[U0–U(xH,yH)]上式兩端分別對

Px

求偏導，有：§4.5支出極小化問題三、間接目標函數(shù)比較靜態(tài)分析與謝潑§4.5

支出極小化問題由一階必要條件可知偏導系數(shù)為零，故：

同樣道理，間接目標函數(shù)對Px

和U0

求偏導，有：由此可知，和在均衡處的值是消費者的希克斯需求。，，謝潑德引理§4.5支出極小化問題§4.5

支出極小化問題

謝潑德引理用于在給定支出函數(shù)（或間接目標函數(shù)）的情況下，求?？怂剐枨蠛瘮?shù)的方法。舉個例子：利用支出極小化模型minE=xPx+yPys.t.

xy=U0檢驗謝潑德引理的有效性?！?.5支出極小化問題謝潑德引理的有效性檢驗首先，構(gòu)造Lagrange

函數(shù)：L(x,y,μ)=Px·

x+Py·

y+μ(U0–xy)然后，計算一階必要條件：謝潑德引理的有效性檢驗首先，構(gòu)造Lagrange謝潑德引理的有效性檢驗然后，檢驗二階充分條件：謝潑德引理的有效性檢驗然后，檢驗二階充分條件：謝潑德引理的有效性檢驗將xH

和yH

代回目標函數(shù)：分別對Px、Py

和U0

求偏導，有：謝潑德引理的有效性檢驗將xH和yH代回目標函§4.6

斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導在效用極大化問題中，由一階必要條件可知：且二階充分條件為：§4.6斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導在效用極大化問題中§4.6

斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導而在支出極小化問題中，由一階必要條件可知：且二階充分條件為：§4.6斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導而在支出極小化問題§4.6

斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導由兩個問題的二階充分條件和一階必要條件可知：且在效用極大化問題中，我們得到了如下四個等式：($)(*)§4.6斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導由兩個問題的二階充§4.6

斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導在支出極小化問題中，我們得到了如下等式：將($)和(#)代入(*)，可得：(#)§4.6斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導在支出極小化問題中§4.6

斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導以上兩個等式即為馬歇爾需求函數(shù)和?？怂剐枨蠛瘮?shù)之間的關(guān)系，亦即斯勒茨基等式，表示在貨幣收入固定不變的條件下，需求曲線對于價格變化作出的反應。如果Py

發(fā)生變化，也可得到：§4.6斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導§4.6

斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導更一般地，n

種商品的情況下，可得一般性結(jié)論：斯勒茨基等式表明，一個追求效用極大化的消費者對于價格變化作出的反應，在理論上可以分為兩部分：一部分是純替代效應，即消費者在保持原有的效用水平下，對于相對價格變化作出的反應；另一部分是純收入效應，即在相對價格保持不變的前提下，消費者通過變化收入使得預算線在新的效用曲線上達到切點，即相對于購買力變化作出的反應。§4.6斯勒茨基等式的傳統(tǒng)推導更一般地，n種商斯勒茨基等式檢驗

舉個例子：利用效用函數(shù)U=xy檢驗斯勒茨基等式的有效性。

效用極大化模型可寫為：支出極小化模型可寫為：maxU=xyminE=Px·

x+Py·

ys.t.

Px·

x+Py·

y=M

s.t.

xy=U0由§4.4的例子可知：斯勒茨基等式檢驗舉個例子：利用效用函數(shù)U=斯勒茨基等式檢驗由§4.5的例子可知：所以：，，又由，代入Px·

x+Py·

y=M

，有：斯勒茨基等式檢驗由§4.5的例子可知：斯勒茨基等式檢驗所以：即：，得證。

試利用柯布—道格拉斯效用函數(shù)U=xay1-a

檢驗斯勒茨基等式的有效性。斯勒茨基等式檢驗§4.7

企業(yè)利潤極大化問題一、企業(yè)利潤極大化利潤最大化等價于收益最大或成本最小，但是這種最優(yōu)化是以一定生產(chǎn)成本或資源約束為條件的?？紤]一個廠商，其生產(chǎn)函數(shù)為y=f(x1,x2)。如果廠商以價格p

銷售產(chǎn)品；以價格w1使用生產(chǎn)要素x1；企業(yè)家投入生產(chǎn)要素x2固定在x20水平上。

maxπ=p

f(x1,x2)–w1x1

s.t.

x2=x20于是企業(yè)利潤最大化模型可寫為：§4.7企業(yè)利潤極大化問題一、企業(yè)利潤極大化§4.7

企業(yè)利潤極大化問題構(gòu)造Lagrange

函數(shù)：

L(x1,λ)=p

f(x1,x2)–w1x1+λ(x20–x2)

一階必要條件為：二階充分條件為：解釋§4.7企業(yè)利潤極大化問題解釋§4.7

企業(yè)利潤極大化問題將二階充分條件的海賽加邊行列式展開，有：由此可知，。這一結(jié)果說明，實際上只有x1

是變量，廠商唯一可控制的就是x1的使用量，存在極大值的唯一要求就是x1的邊際產(chǎn)值遞減。通過對以上條件求解，可得到利潤極大化水平下的兩種要素投入量和企業(yè)家投入的邊際產(chǎn)值：§4.7企業(yè)利潤極大化問題將二階充分條件的海賽加§4.7

企業(yè)利潤極大化問題將上述均衡解代入目標函數(shù)，可得最大利潤：

π*(w1,p,x20)=p

f(x1*,x2*)–w1x1*式中，π*(w1,p,x20)被稱為利潤函數(shù)，它是該模型的間接目標函數(shù)。將一階必要條件的前兩個等式分別乘以x1*和x2*，然后兩式相加，得：§4.7企業(yè)利潤極大化問題將上述均衡解代入目標函§4.7

企業(yè)利潤極大化問題若生產(chǎn)函數(shù)是一次齊次的（規(guī)模收益不變），那么，根據(jù)歐拉定理，有：于是，這個式子表明，“總收入=總成本”，其中x2的總要素成本是它的機會成本λ*x2*。因此，由于規(guī)模收益不變，產(chǎn)品被耗盡，即廠商收入剛好等于總要素成本。（注意：這種關(guān)系成立的前提是一、二階條件均滿足）§4.7企業(yè)利潤極大化問題若生產(chǎn)§4.7

企業(yè)利潤極大化問題二、比較靜態(tài)分析由前面的分析可知，企業(yè)利潤極大化問題的內(nèi)生變量為x1

、x2

和λ，外生變量為w1

、p

和x20。首先，分析w1

變化對均衡解的影響。對一階必要條件的各等式兩邊對

w1求偏導，可得：§4.7企業(yè)利潤極大化問題二、比較靜態(tài)分析§4.7

企業(yè)利潤極大化問題根據(jù)克萊姆法則，解得：這三個結(jié)果表明了要素x1價格w1的變化對兩種要素最佳投入量x1*和x2*以及企業(yè)家投入的邊際產(chǎn)值λ*的影響?！?.7企業(yè)利潤極大化問題§4.7

企業(yè)利潤極大化問題下面，分析x20

變化對均衡解的影響。對一階必要條件的各等式兩邊對

x20求偏導，可得：根據(jù)克萊姆法則，解得：§4.7企業(yè)利潤極大化問題§4.7

企業(yè)利潤極大化問題同理，我們還可以分析p

變化對均衡解的影響。已知該利潤極大化問題的均衡解存在，就可以利用包絡定理來分析外生變量變化對目標函數(shù)最優(yōu)值的影響。由前面的分析可知，Lagrange

函數(shù)為：L=p

f(x1,x2)–w1x1+λ(x20–x2)那么，根據(jù)包絡定理有：x*,λ*§4.7企業(yè)利潤極大化問題同理，我們還可以分析§4.7

企業(yè)利潤極大化問題

舉個例子：設某壟斷廠商生產(chǎn)兩種商品x

和y

，并在有關(guān)市場上銷售。這兩種商品的反需求函數(shù)分別為Px=100–4x–y

和Py=50–x–y

，該廠商的總成本為C(x,y)=10x+5y

，成本不超過100。試求利潤極大化時的產(chǎn)出水平和利潤。廠商的利潤函數(shù)為：π=xPx+yPy–(10x+5y)=90x+45y–4x2–2xy–y2故利潤極大化模型：maxπ=90x+45y–4x2–2xy–y2

s.t.

10x+5y=100§4.7企業(yè)利潤極大化問題舉個例§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題一、（總）成本函數(shù)給定生產(chǎn)函數(shù)f(x)，產(chǎn)出為y，要素價格為w

時的最小成本記為

c(w,y)=min{w

·x|f(x)≥

y,x

≥0}根據(jù)成本函數(shù)的定義，成本函數(shù)有如下性質(zhì)：⑴在y

不變的條件下，①

c(w,y)關(guān)于w是一次齊次的；②c(w,y)關(guān)于w是凹的；③c(w,y)關(guān)于w是遞增的。⑵在w>0且不變的條件下，c(w,y)關(guān)于y是遞增的。§4.8生產(chǎn)成本極小化問題一、（總）成本函數(shù)§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題二、成本極小化問題在給定產(chǎn)出水平下，企業(yè)成本極小化行為與利潤極大化行為是一致的，即可以將成本最小化問題看做是滿足等式約束的最優(yōu)化問題。

那么，能否直接利用利潤極大化模型推導成本極小化模型呢？考慮利潤極大化模型：maxπ=pf(x1,…,xn)–(w1x1+…+wnxn)

s.t.

f(x1,…,xn)=y§4.8生產(chǎn)成本極小化問題二、成本極小化問題§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題根據(jù)成本函數(shù)的定義，產(chǎn)出y

是一個參數(shù)，即外生變量。由企業(yè)追求利潤極大化行為可知，在企業(yè)追求利潤極大化時，y

是決策變量，意味著當產(chǎn)出改變、要素價格不變時，可以觀測成本的變化。但是，實際上，追求利潤極大化企業(yè)不會主動改變產(chǎn)出，只有當某個要素價格發(fā)生變化變化時，產(chǎn)出y才會改變。故上述利潤極大化模型不能直接推導成本函數(shù)?！?.8生產(chǎn)成本極小化問題§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題由以上分析可知，成本函數(shù)必須在產(chǎn)出y

作為參數(shù)的模型出推導出來。對于給定產(chǎn)出水平y(tǒng)0

，當總成本盡可能小時，總收入和總成本之間的差額達到最大值，從而利潤極大。因此，與利潤極大化行為相一致的成本極小化問題應該是：minC=w1x1+w2x2+…+wnxn

s.t.

f(x1,…,xn)=y0§4.8生產(chǎn)成本極小化問題§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題假設企業(yè)生產(chǎn)只使用兩種生產(chǎn)要素x1

和x2

，且兩種生產(chǎn)要素的價格w1

和w2是恒定的，生產(chǎn)函數(shù)為

f(x1,x2)，產(chǎn)出為y0

。于是，可以構(gòu)建生產(chǎn)成本極小化模型為：minC=w1x1+w2x2

s.t.

f(x1,x2)=y0構(gòu)造Lagrange

函數(shù)：

L(x1,x2,λ)=w1x1+w2x2+λ[y0–f(x1,x2)]§4.8生產(chǎn)成本極小化問題假設企§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題一階必要條件：在最優(yōu)投入組合點處，要素投入價格與邊際產(chǎn)出的比率對每一要素投入必定相等。

λ

可解釋為最優(yōu)狀態(tài)下的企業(yè)的邊際成本?！?.8生產(chǎn)成本極小化問題§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題上述等式關(guān)系還可以寫為：（幾何解釋）x1x2等產(chǎn)量線：f(x1,x2)=y0等成本線：C=w1x1+w2x2§4.8生產(chǎn)成本極小化問題x1x2等產(chǎn)量線：f(x1,§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題二階充分條件：只要<0，即可保證成本最小。在等產(chǎn)量線上，有（全微分）：于是，可得：§4.8生產(chǎn)成本極小化問題§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題對x1

求微分，有：§4.8生產(chǎn)成本極小化問題§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題將代入上式，有：二階充分條件§4.8生產(chǎn)成本極小化問題二階充分條件§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題由此可知，等產(chǎn)量線在切點處嚴格凸。值得注意的是，二階充分條件在切點處<0即嚴格凸性的實質(zhì)并非成本極極小化的必要條件。與效用極大化問題類似（右圖），在最小值處盡管有d2y/dx2=0，但成本仍可能最大化。E1E2E3§4.8生產(chǎn)成本極小化問題E1E2E3§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題三、要素需求函數(shù)在成本極小化的一階必要條件和二階充分條件的基礎上可得到要素需求函數(shù)。對一階必要條件求解可得：產(chǎn)出不變時的要素需求函數(shù)§4.8生產(chǎn)成本極小化問題三、要素需求函數(shù)產(chǎn)出不變時的要§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題四、比較靜態(tài)分析對要素需求函數(shù)的比較靜態(tài)分析，實質(zhì)上就是就是求內(nèi)生變量關(guān)于外生變量的偏導數(shù)。首先，將均衡解代入一階必要條件方程組：§4.8生產(chǎn)成本極小化問題四、比較靜態(tài)分析§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題首先來看要素x1

的價格w1

變化對均衡解的影響。對上述方程組各等式兩端對w1求偏導，有：§4.8生產(chǎn)成本極小化問題首先來看要素x1的§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題寫成矩陣形式：

根據(jù)克萊姆法則，解得：§4.8生產(chǎn)成本極小化問題§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題同樣道理，可計算x2

價格w2

變化對均衡解的影響。對一階必要條件方程組各等式兩端對w2求偏導，有：§4.8生產(chǎn)成本極小化問題同樣道理，可計算x2§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題寫成矩陣形式：

根據(jù)克萊姆法則，解得：§4.8生產(chǎn)成本極小化問題§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題同樣道理，可計算y0

變化對均衡解的影響。對一階必要條件方程組各等式兩端對w2求偏導，有：§4.8生產(chǎn)成本極小化問題同樣道理，可計算y0§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題寫成矩陣形式：

根據(jù)克萊姆法則，解得：§4.8生產(chǎn)成本極小化問題§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題特別地，有：由利潤極大化的二階充分條件可知：所以，即。

說明邊際成本曲線向上傾斜。§4.8生產(chǎn)成本極小化問題§4.8

生產(chǎn)成本極小化問題此外，還可以利用包絡定理對目標函數(shù)最優(yōu)值進行比較靜態(tài)分析。通過構(gòu)造

Lagrange

函數(shù)：

L=w1x1+w2x2+λ[y0–f(x1,x2)]根據(jù)包絡定理，可得：x*,λ*x*,λ*x*,λ*§4.8生產(chǎn)成本極小化問題此外，THEENDTHEEND帶有等式約束的最優(yōu)化問題及其經(jīng)濟學應用課件第

4章

帶有等式約束的最優(yōu)化問題及其經(jīng)濟學應用第4章

帶有等式約束的最優(yōu)化問題及其經(jīng)濟學應用§4.1

帶有等式約束的函數(shù)求

極值的必要和充分條件一、二元函數(shù)帶等數(shù)約束的極值問題二、多元函數(shù)帶多個等數(shù)約束的極值問題§4.1帶有等式約束的函數(shù)求

極值的必要和充§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)一、擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)的定義MNMNyyxxOOvuvu§4.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)一、擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)的定義M§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)1.一元擬凹函數(shù)和擬凸函數(shù)的定義對于一元函數(shù)y=f(x)的定義域（凸集）中的任意點u

和v

，假設f(v)≥

f(u)。如果對于任意的t

∈[0,1]，有：

f[(1–t)u+tv]≥

f(u)，則稱f

為擬凹的f[(1–t)u+tv]≤

f(v)，則稱f

為擬凸的在u

≠

v

且t

∈(0,1)的情況下，如果上兩式是嚴格>或<，則稱f

為嚴格擬凹的或嚴格擬凸的?！?.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)1.一元擬凹函數(shù)和§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)2.多元擬凹函數(shù)和擬凸函數(shù)的定義設F

是定義在凸集U

Rn

上的n

元函數(shù)，如果對于任意的x,y

∈U

和任意的t

∈[0,1]，有：

F[(1–t)x

+ty]≥min{F(x),F(y)}，F(xiàn)擬凹F[(1–t)x

+ty]≤max{F(x),F(y)}，F(xiàn)擬凸在x

≠

y

且t

∈(0,1)的情況下，如果上兩式是嚴格>或<，則稱F

為嚴格擬凹的或嚴格擬凸的?！?.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)2.多元擬凹函數(shù)和§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)二、可微函數(shù)擬凹和擬凸性判斷1.一階微分判別準則對于一元可微函數(shù)f(x)，任取其定義域內(nèi)兩個不同的點u

和v

，假設f(v)≥

f(u)，則：f(x)擬凹的充要條件為f'(u)(v–u)≥0f(x)擬凸的充要條件為f'(v)(v–u)≥0當≥

變?yōu)?gt;時，即嚴格擬凹或擬凸?！?.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)二、可微函數(shù)擬凹和擬凸性判斷§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)對于多元可微函數(shù)F(x)，其中x=(x1,x2,…,xn)，任取函數(shù)F(x)定義域內(nèi)兩個不同的點u=(u1,u2,…,un)和v=(v1,v2,…,vn)，假設F(v)≥

F(u)。F(x)擬凹的充要條件為uF(x)擬凸的充要條件為v

其中：，。uxx=uvxx=v§4.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)對于多§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)2.二階微分判別準則設F

是定義在開凸集U

Rn

上的二階可微函數(shù)，令：§4.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)2.二階微分判別準§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)

F

是擬凹的必要條件為(-1)k∣Ck(x)∣≥

0

擬凹的充分條件為(-1)k∣Ck(x)∣>

0

F

是擬凸的必要條件為∣Ck(x)∣≤

0擬凸的充分條件為∣Ck(x)∣<

0若U

Rn+

，對于嚴格擬凹和嚴格擬凸成立?！?.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)三、擬凹函數(shù)和擬凸函數(shù)的性質(zhì)1.若f(x)為擬凹函數(shù)，則–f(x)為擬凸函數(shù)；若f(x)為擬凸函數(shù)，則–f(x)為擬凹函數(shù)。2.任意的凹（凸）函數(shù)均為擬凹（擬凸）函數(shù)，但反之不一定成立。3.若f(x)為線性函數(shù)，則它既是擬凹又是擬凸的。§4.2擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)三、擬凹函數(shù)和擬凸函數(shù)的性質(zhì)§4.2

擬凹函數(shù)與擬凸函數(shù)4.對于任意常數(shù)k

，如果集合S={x∣f(x)≥

k}為凸集，則f(x)是擬凹函數(shù)；若S={x∣f(x)≤

k}為凸集，則f(x)是擬凸函數(shù)。證明：f(x,y)=xy（x>0