二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)課件

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容1.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容1.2我們已經(jīng)學習過用描點法畫一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，如何畫一個二次函數(shù)的圖象呢？我們已經(jīng)學習過用描點法畫一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，探究探究列表：由于自變量x可以取任意實數(shù)，因此讓x取

0和一些互為相反數(shù)的數(shù)，并且算出相應(yīng)

的函數(shù)值，列成下表：x…-3-2-10123……9410149…列表：由于自變量x可以取任意實數(shù)，因此讓x取x…-3-2-1描點：在平面直角坐標系內(nèi)，以x取的值為橫坐標，

相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標，描出相應(yīng)的點.如

下圖所示.AA′B′B描點：在平面直角坐標系內(nèi)，以x取的值為橫坐標，AA′B′BAA′B′B觀察左圖，點A和點A′，點B和點B′，…，它們有什么關(guān)系？取更多的點試試，你能得出函數(shù)y=x2的圖象關(guān)于y軸對稱嗎？觀察左圖，y軸右邊描出的各點，當橫坐標增大時，縱坐標有什么變化？y軸右邊的所有點都具有縱坐標隨著橫坐標的增大而增大的特點嗎？AA′B′B觀察左圖，點A和點A′，點B和

可以證明y=x2的圖象關(guān)于y軸對稱；圖象在y軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而增大，簡稱為“右升”.AA′B′B可以證明y=x2的圖象關(guān)于y軸對稱；圖象在y軸右邊連線：根據(jù)上述分析，我們可以用一條光滑曲線把原點

和y軸右邊各點順次連接起來；然后利用對稱性，

畫出圖象在y軸左邊的部分(把y軸左邊的點和原點

用一條光滑曲線順次連接起來)，這樣就得到了

的圖象.如上圖所示.連線：根據(jù)上述分析，我們可以用一條光滑曲線把原點

觀察下圖，函數(shù)

的圖象除了上面已經(jīng)知道的關(guān)于y軸對稱和“右升”外，還有哪些性質(zhì)？觀察觀察下圖，函數(shù)的圖象除了上面已經(jīng)

圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而減小，簡稱為“左降”；當x=0時，函數(shù)值最小，最小值為0.從下圖中可以看出，二次函數(shù)的圖象是一條曲線，它的開口向上，對稱軸與圖象的交點是原點（0，0）；圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取當x=0時，

一般地，當a＞0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).

于是我們在畫y=ax2(a＞0)的圖象時，可以先畫出圖象在y軸右邊的部分，然后利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的部分.

在畫右邊部分時，只需“列表、描點、連線”三個步驟.一般地，當a＞0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).x0123…00.524.5…例1舉例

畫二次函數(shù)的圖象.因為二次函數(shù)

的圖象關(guān)于y軸對稱，

因此列表時，自變量x可以從原點的橫坐標0開始取值.

解列表：x0123…00.524.5…例1舉畫二次函數(shù)描點和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.如下圖所示：●●●●描點和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.如下圖所示：●●●●

利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的對稱點，并用一條光滑曲線把y軸左邊的點和原點順次連接起來，這樣就得到了的圖象.如下圖所示：●●●●●●●利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的對稱點，●●●●●●1.

二次函數(shù)y=6x2的性質(zhì)有：練習（1）圖象的對稱軸是，對稱軸與圖象的交點是；（2）圖象的開口向

；（3）圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

；在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

.上增大減小y軸

（0，0）1.二次函數(shù)y=6x2的性質(zhì)有：練習（1）圖象的對稱軸是2.在同一直角坐標系中畫出二次函數(shù)y=3x2

及的圖象，并比較它們有什么共同點和不同點？y=3x2答：????????2.在同一直角坐標系中畫出二次函數(shù)y=3x2y=3x2答：通過比較以上圖象可得出其相同點為：開口均向上；對稱軸均為y軸；對稱軸與圖象的交點都是（0，0）；圖象均是“左降”“右升”；當x=0時，函數(shù)值最小，為0.y=3x2????????通過比較以上圖象可得出其相同點為：開口均向上；對稱軸均為y軸探究

我們已經(jīng)畫出了

的圖象，能不能從它得出二次函數(shù)

的圖象呢？探究我們已經(jīng)畫出了的圖象，能不能從它

在

的圖象上任取一點

，它關(guān)于

x軸的對稱點Q的坐標是

，如下圖所示：

從點Q的坐標看出，點Q在

的圖象上.Q在的圖象上任取一點，它關(guān)

由此可知，

的圖象與

的圖象關(guān)于x軸對稱，因此只要把

的圖象沿著x軸翻折并將圖象“復印”下來，就得到

的圖象.

如下圖中的綠色曲線：Q由此可知，的圖象與的圖象關(guān)對稱軸是

，對稱軸與圖象的交點是

；圖象的開口向

，y軸O(0，0)下

觀察下圖，函數(shù)

的圖像具有哪些性質(zhì)？從圖中可以看出，二次函數(shù)

的圖象是一條曲線，觀察對稱軸是，對稱軸與圖象的交點是

圖象在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

，簡稱為

；

圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

，簡稱為

；當x=

時，函數(shù)值最

，減小右降增大左升0大0最值為．大圖象在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

當a＜0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).

于是今后畫y=ax2(a＜0)的圖象時，可以直接先畫出圖象在y軸右邊的部分，然后利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的部分.

在畫右邊部分時，只要“列表、描點、連線”三個步驟就可以了.當a＜0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).舉例解

列表：例2

畫二次函數(shù)

的圖象.

x012340-1-4舉解列表：例2畫二次函數(shù)的圖象.描點和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.

描點和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.利用對稱性畫出y軸左邊的部分.這樣我們得到了

的圖象.利用對稱性畫出y軸左邊的部分.這樣我們得到了的說一說如下圖所示，在棒球賽場上，棒球在空中沿著一條曲線運動，它與二次函數(shù)y=ax2(a＜0)的圖象相像嗎？說一說如下圖所示，在棒球賽場上，棒球在空中沿

以棒球在空中經(jīng)過的路線的最高點為原點建立直角坐標系，x軸的正方向水平向右，y軸的正方向豎直向上，則可以看出棒球在空中經(jīng)過的路線是形如y=ax2(a＜0)的圖象的一段.由此受到啟發(fā)，我們把二次函數(shù)y=ax2的圖象這樣的曲線叫作拋物線，簡稱為拋物線y=ax2.以棒球在空中經(jīng)過的路線的最高點為原點建立直角

一般地，二次函數(shù)y=ax2的圖象關(guān)于y軸對稱.

拋物線與它的對稱軸的交點(0，0)叫做拋物線的頂點.一般地，二次函數(shù)y=ax2的圖象關(guān)于y軸對稱.（3）拋物線在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大

而

；在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值

的增大而

.1.畫出二次函數(shù)y=-10x2的圖象并填空：（1）拋物線的對稱軸是

，頂點是

；

（2）拋物線的開口向

；y軸原點O(0，0)下減小增大練習

（3）拋物線在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大1.2.在同一直角坐標系中，分別畫出函數(shù)

y=-0.3x2與y=-8x2的圖象，并分別說出它們的共同點和不同點.解：共同點：均開口向下；對稱軸均為y軸；對稱軸與圖象的交點是(0，0)；圖象均是“左升”“右降”；當x=0時，函數(shù)值最大，為0；不同點：y=-8x2的圖象開口比y=-0.3x2的圖象開口小.2.在同一直角坐標系中，分別畫出函數(shù)y=-0.3x2與y探究

把二次函數(shù)的圖象E向右平移1個單位，得到圖形F，如下圖所示：探究把二次函數(shù)的圖象E向右平移1個單位

由于平移不改變圖形的形狀和大小，因此圖象E在向右平移1個單位后：原像像拋物線E：圖象F也是拋物線E的頂點O(0，0)點O′(1，0)是F的頂點E有對稱軸l(與y軸重合)直線l′(過點O′與y軸平行)是F的對稱軸E開口向上F也開口向上由于平移不改變圖形的形狀和大小，因此圖象E在

拋物線F是哪個函數(shù)的圖象呢？

在拋物線

上任取一點

，它在向右平移1個單位后，點P的像點Q的坐標是什么？

把點P的橫坐標a加上1，縱坐標不變，就得到像點Q的坐標為拋物線F是哪個函數(shù)的圖象呢？在拋物線

記b=a+1，則a=b-1.

從而點Q的坐標為

，這表明：點Q在函數(shù)

的圖象上.由此得出，拋物線F是函數(shù)

的圖象.記b=a+1，則a=b-1.從而點Q的坐

從上面的過程可以說明：函數(shù)

的圖象是拋物線F，它的開口向上，它的頂點是

，它的對稱軸是過點

且平行于y軸的直線l′.直線l′是由橫坐標為1的所有點組成的，我們把直線l′記做直線x=1.從上面的過程可以說明：函數(shù)結(jié)論

二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象是拋物線，它的對稱軸是直線x=h，它的頂點坐標是(h，0).當a＞0時，拋物線的開口向上；當a＜0時，開口向下.類似地，我們可以證明下述結(jié)論：結(jié)論二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象是拋物線，類似地

由于我們已經(jīng)知道了二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象的性質(zhì)，因此今后在畫y=a(x-h)2的圖象時，只要先畫出對稱軸以及圖象在對稱軸右邊的部分，然后利用對稱性，畫出左邊的部分.

在畫圖象的右邊部分時，只需要“列表，描點，連線”三個步驟就可以了.由于我們已經(jīng)知道了二次函數(shù)y=a(x-h)2的舉例解拋物線y=(x-2)2的對稱軸是直線x=2，頂點坐標是(2，0).

x2345…y=(x-2)20149…例3畫函數(shù)y=(x-2)2的圖象.

列表：自變量x從頂點的橫坐標2開始取值.

舉解拋物線y=(x-2)2的對稱軸是直線x=2，x234描點和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性畫出圖象在對稱軸左邊的部分:描點和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性畫出圖象在這樣我們得到了函數(shù)y=(x-2)2的圖象.如下圖所示：y=(x-2)2這樣我們得到了函數(shù)y=(x-2)2的圖象.如下圖所示：y=1.寫出下列二次函數(shù)圖象的對稱軸、頂點坐標和開口方向.（1）

練習答：對稱軸是直線x=5，頂點是(5，0)，開口向上.（2）y=-3(x+2)2答：對稱軸是直線x=-2，頂點是(-2，0)，開口向下.1.寫出下列二次函數(shù)圖象的對稱軸、頂點坐標和開口方向.（12.分別畫出二次函數(shù)

y=-(x-1)2，

的圖象.解2.分別畫出二次函數(shù)y=-(x-1)2，探究

如何畫二次函數(shù)

的圖象？

我們來探究二次函數(shù)

與

之間的關(guān)系.二次函數(shù)圖象上的點橫坐標x縱坐標yaa探究如何畫二次函數(shù)

從上表看出：對于每一個給定的x值，函數(shù)的值都要比函數(shù)

的值大3，由此可見函數(shù)的圖象可由二次函數(shù)

的圖象向上平移3個單位而得到（如下圖）.從上表看出：對于每一個給定的x值，函數(shù)

因此，二次函數(shù)

的圖象也是拋物線，它的對稱軸為直線x=1(與拋物線

的對稱軸一樣)，頂點坐標為(1，3)(它是由拋物線

的頂點(1，0)向上平移3個單位得到)，它的開口向上.因此，二次函數(shù)的圖象也是拋結(jié)論

一般地，二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象是拋物線，它具有下述性質(zhì)：拋物線y=a(x-h)2+k對稱軸頂點坐標開口方向圖象上的點在對稱軸的左邊在對稱軸的右邊a＞0x=h(h，k)向上y

隨x的增大而減小y

隨x

的增大而增大a＜0x=h(h，k)向下y

隨x

的增大而增大y

隨x的增大而減小結(jié)論一般地，二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的

由于我們已經(jīng)知道了函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象的性質(zhì)，因此畫y=a(x-h)2+k的圖象的步驟如下：第一步

寫出對稱軸和頂點坐標，并且在平

面直角坐標系內(nèi)畫出對稱軸，描出

頂點；由于我們已經(jīng)知道了函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象的第二步

列表(自變量x從頂點的橫坐標開始取值)，

描點和連線，畫出圖象在對稱軸右邊的部

分；第三步

利用對稱性，畫出圖象在對稱軸左邊的部

分(這只要先把對稱軸左邊的對應(yīng)點描出

來，然后用一條光滑曲線順次連接它們和

頂點).第二步列表(自變量x從頂點的橫坐標開始取值)，第三步舉例解對稱軸是直線x=-1，頂點坐標為(-1，-3).x-10123…-3-2.5-11.55…列表：自變量x從頂點的橫坐標-1開始取值.例4畫二次函數(shù)

的圖象.舉解對稱軸是直線x=-1，頂點坐標為(-1，-3).x-1描點和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性，畫出圖象在對稱軸左邊的部分.這樣我們得到了函數(shù)

的圖象.描點和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性，畫出圖象舉例例5已知某拋物線的頂點坐標為（-2，1），且與y軸相交于點（0，4），求這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式.

已知某拋物線的頂點坐標為（-2，1），且與y軸相交于點（0，4），求這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式.

舉例5已知某拋物線的頂點坐標為（-2，1），且與y軸已知某由函數(shù)圖象過點（0，4），可得4=a(0+2)2+1，解由于點（-2，1）是該拋物線的頂點，可設(shè)這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式為y=a(x+2)2+1.因此，所求的二次函數(shù)的表達式為解得解由于點（-2，1）是該拋物線的頂點，可設(shè)這個因此，所求的二1.說出下列二次函數(shù)的圖象的對稱軸、頂點坐標和開口方向：答：對稱軸為直線x=9，頂點(9，7)，開口向上.答：對稱軸為直線x=-18，頂點(-18，-13)，開口向下.練習1.說出下列二次函數(shù)的圖象的對稱軸、頂點坐標和開口方向：答2.畫二次函數(shù)

的圖象.

●●●解：2.畫二次函數(shù)的圖象.●●●3.已知某拋物線的頂點坐標為(-3，2)，且經(jīng)過點(-1，0)，求這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式.由函數(shù)圖象過點(-1，0)，可得0=a(-1+3)2+2，解:由于點(-3，2)是該拋物線的頂點，可設(shè)這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式為y=a(x+3)2+2.解得因此，所求的二次函數(shù)的表達式為3.已知某拋物線的頂點坐標為(-3，2)，且經(jīng)過解:由于點如何畫二次函數(shù)y=-2x2+6x-1的圖象？動腦筋我們已經(jīng)會畫y=a(x-h)2+k的圖象.因此只需把-2x2+6x-1配方成-2(x-h)2+k的形式就可以了.如何畫二次函數(shù)y=-2x2+6x-1的圖象？動腦筋配方：對稱軸是直線，頂點坐標是

.配方：對稱軸是直線，頂點坐標是.x233-1列表：自變量x從頂點的橫坐標

開始取值.x233-1列表：自變量x從頂點的橫坐標開始取值.描點和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性，畫出圖象在對稱軸左邊的部分.這樣就得到了函數(shù)y=-2x2+6x-1的圖象.

描點和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性，畫出圖象觀察下圖，當x等于多少時，函數(shù)y=-2x2+6x-1的值最大？這個最大值是多少？說一說

當x等于頂點的橫坐標時，函數(shù)值最大；這個最大值等于頂點的縱坐標.觀察下圖，當x等于多少時，函數(shù)y=-2x2+6x-1一般地，有下述結(jié)論：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當x等于頂點的橫坐標時，達到最大值(當a＜0)或最小值

(當a＞0)，這個最大(小)值等于頂點的縱坐標.一般地，有下述結(jié)論：二次函數(shù)y=ax2+bx+c，當舉例解配方：例6求二次函數(shù)

的最大值.

頂點坐標是(2，1)，于是當x=2時，y達到最大值1.舉解配方：例6求二次函數(shù)一般地，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c進行配方，頂點坐標是

因此，當

時，函數(shù)達到最大值(當a＜0)或最小值(當a＞0)：一般地，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c進行配方，頂點坐標是練習1.寫出下列二次函數(shù)圖象的對稱軸、頂點坐標和

開口方向，并畫出它們的圖象.（1）y=3x2-6x+1；答：對稱軸為直線x=1，頂點(1，-2)，開口方向向上.原函數(shù)可化為y=3(x-1)2-2.練習1.寫出下列二次函數(shù)圖象的對稱軸、頂點坐標和（1）y=答：原函數(shù)可化為對稱軸為直線x=2，頂點(2，0)，開口方向向下.（2）答：原函數(shù)可化為對稱軸為直線x=2，頂點(2，0)，開口2.求下列二次函數(shù)的圖象的頂點坐標：（1）y=x2-3x+2；答：的圖象頂點為.（2）答：(-3，4).的圖象頂點為2.求下列二次函數(shù)的圖象的頂點坐標：（1）y=x2-3x3.用配方法求第2題中各個二次函數(shù)的最大值或最小值.（1）y=x2-3x+2；答：原函數(shù)配方得當時，y最小=（2）答：原函數(shù)配方得當x=-3時，y最大=4.3.用配方法求第2題中各個二次函數(shù)的最大值或最小值.（1）中考試題例1

把拋物線y=-x2向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線的解析式為（）

A.y=-(x-1)2-3B.y=-(x+1)2-3C.y=-(x-1)2+3D.y=-(x+1)2+3D解析

拋物線y=-x2的頂點(0，0)先向左平移1個單位，再向上平移3個單位得到(-1，3)，該點為所求拋物線的頂點，故選D.中考試題例1把拋物線y=-x2向左平移1個單位，然中考試題例2

拋物線y=x2-3x+2與y軸交點的坐標是（）

A.(0，2)B.(1，0)C.(0，-3)D.(0，0)A解析

當x=0時，y=2，所以拋物線與y軸的交點坐標是(0，2)，故選A.中考試題例2拋物線y=x2-3x+2與y軸交點的坐中考試題例3

把拋物線y=2x2向上平移5個單位，所得拋物線的解析式為（）

A.y=2x2+5B.y=2x2-5C.y=2(x+5)2

D.y=2(x-5)2A解析

y=2x2向上平移5個單位后解析式為y=2x2+5，故選A.中考試題例3把拋物線y=2x2向上平移5個單位，所結(jié)束結(jié)束二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容1.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容1.2我們已經(jīng)學習過用描點法畫一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，如何畫一個二次函數(shù)的圖象呢？我們已經(jīng)學習過用描點法畫一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，探究探究列表：由于自變量x可以取任意實數(shù)，因此讓x取

0和一些互為相反數(shù)的數(shù)，并且算出相應(yīng)

的函數(shù)值，列成下表：x…-3-2-10123……9410149…列表：由于自變量x可以取任意實數(shù)，因此讓x取x…-3-2-1描點：在平面直角坐標系內(nèi)，以x取的值為橫坐標，

相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標，描出相應(yīng)的點.如

下圖所示.AA′B′B描點：在平面直角坐標系內(nèi)，以x取的值為橫坐標，AA′B′BAA′B′B觀察左圖，點A和點A′，點B和點B′，…，它們有什么關(guān)系？取更多的點試試，你能得出函數(shù)y=x2的圖象關(guān)于y軸對稱嗎？觀察左圖，y軸右邊描出的各點，當橫坐標增大時，縱坐標有什么變化？y軸右邊的所有點都具有縱坐標隨著橫坐標的增大而增大的特點嗎？AA′B′B觀察左圖，點A和點A′，點B和

可以證明y=x2的圖象關(guān)于y軸對稱；圖象在y軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而增大，簡稱為“右升”.AA′B′B可以證明y=x2的圖象關(guān)于y軸對稱；圖象在y軸右邊連線：根據(jù)上述分析，我們可以用一條光滑曲線把原點

和y軸右邊各點順次連接起來；然后利用對稱性，

畫出圖象在y軸左邊的部分(把y軸左邊的點和原點

用一條光滑曲線順次連接起來)，這樣就得到了

的圖象.如上圖所示.連線：根據(jù)上述分析，我們可以用一條光滑曲線把原點

觀察下圖，函數(shù)

的圖象除了上面已經(jīng)知道的關(guān)于y軸對稱和“右升”外，還有哪些性質(zhì)？觀察觀察下圖，函數(shù)的圖象除了上面已經(jīng)

圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而減小，簡稱為“左降”；當x=0時，函數(shù)值最小，最小值為0.從下圖中可以看出，二次函數(shù)的圖象是一條曲線，它的開口向上，對稱軸與圖象的交點是原點（0，0）；圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取當x=0時，

一般地，當a＞0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).

于是我們在畫y=ax2(a＞0)的圖象時，可以先畫出圖象在y軸右邊的部分，然后利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的部分.

在畫右邊部分時，只需“列表、描點、連線”三個步驟.一般地，當a＞0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).x0123…00.524.5…例1舉例

畫二次函數(shù)的圖象.因為二次函數(shù)

的圖象關(guān)于y軸對稱，

因此列表時，自變量x可以從原點的橫坐標0開始取值.

解列表：x0123…00.524.5…例1舉畫二次函數(shù)描點和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.如下圖所示：●●●●描點和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.如下圖所示：●●●●

利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的對稱點，并用一條光滑曲線把y軸左邊的點和原點順次連接起來，這樣就得到了的圖象.如下圖所示：●●●●●●●利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的對稱點，●●●●●●1.

二次函數(shù)y=6x2的性質(zhì)有：練習（1）圖象的對稱軸是，對稱軸與圖象的交點是；（2）圖象的開口向

；（3）圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

；在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

.上增大減小y軸

（0，0）1.二次函數(shù)y=6x2的性質(zhì)有：練習（1）圖象的對稱軸是2.在同一直角坐標系中畫出二次函數(shù)y=3x2

及的圖象，并比較它們有什么共同點和不同點？y=3x2答：????????2.在同一直角坐標系中畫出二次函數(shù)y=3x2y=3x2答：通過比較以上圖象可得出其相同點為：開口均向上；對稱軸均為y軸；對稱軸與圖象的交點都是（0，0）；圖象均是“左降”“右升”；當x=0時，函數(shù)值最小，為0.y=3x2????????通過比較以上圖象可得出其相同點為：開口均向上；對稱軸均為y軸探究

我們已經(jīng)畫出了

的圖象，能不能從它得出二次函數(shù)

的圖象呢？探究我們已經(jīng)畫出了的圖象，能不能從它

在

的圖象上任取一點

，它關(guān)于

x軸的對稱點Q的坐標是

，如下圖所示：

從點Q的坐標看出，點Q在

的圖象上.Q在的圖象上任取一點，它關(guān)

由此可知，

的圖象與

的圖象關(guān)于x軸對稱，因此只要把

的圖象沿著x軸翻折并將圖象“復印”下來，就得到

的圖象.

如下圖中的綠色曲線：Q由此可知，的圖象與的圖象關(guān)對稱軸是

，對稱軸與圖象的交點是

；圖象的開口向

，y軸O(0，0)下

觀察下圖，函數(shù)

的圖像具有哪些性質(zhì)？從圖中可以看出，二次函數(shù)

的圖象是一條曲線，觀察對稱軸是，對稱軸與圖象的交點是

圖象在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

，簡稱為

；

圖象在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

，簡稱為

；當x=

時，函數(shù)值最

，減小右降增大左升0大0最值為．大圖象在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大而

當a＜0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).

于是今后畫y=ax2(a＜0)的圖象時，可以直接先畫出圖象在y軸右邊的部分，然后利用對稱性，畫出圖象在y軸左邊的部分.

在畫右邊部分時，只要“列表、描點、連線”三個步驟就可以了.當a＜0時，y=ax2的圖象都具有上述性質(zhì).舉例解

列表：例2

畫二次函數(shù)

的圖象.

x012340-1-4舉解列表：例2畫二次函數(shù)的圖象.描點和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.

描點和連線：畫出圖象在y軸右邊的部分.利用對稱性畫出y軸左邊的部分.這樣我們得到了

的圖象.利用對稱性畫出y軸左邊的部分.這樣我們得到了的說一說如下圖所示，在棒球賽場上，棒球在空中沿著一條曲線運動，它與二次函數(shù)y=ax2(a＜0)的圖象相像嗎？說一說如下圖所示，在棒球賽場上，棒球在空中沿

以棒球在空中經(jīng)過的路線的最高點為原點建立直角坐標系，x軸的正方向水平向右，y軸的正方向豎直向上，則可以看出棒球在空中經(jīng)過的路線是形如y=ax2(a＜0)的圖象的一段.由此受到啟發(fā)，我們把二次函數(shù)y=ax2的圖象這樣的曲線叫作拋物線，簡稱為拋物線y=ax2.以棒球在空中經(jīng)過的路線的最高點為原點建立直角

一般地，二次函數(shù)y=ax2的圖象關(guān)于y軸對稱.

拋物線與它的對稱軸的交點(0，0)叫做拋物線的頂點.一般地，二次函數(shù)y=ax2的圖象關(guān)于y軸對稱.（3）拋物線在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大

而

；在對稱軸右邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值

的增大而

.1.畫出二次函數(shù)y=-10x2的圖象并填空：（1）拋物線的對稱軸是

，頂點是

；

（2）拋物線的開口向

；y軸原點O(0，0)下減小增大練習

（3）拋物線在對稱軸左邊的部分，函數(shù)值隨自變量取值的增大1.2.在同一直角坐標系中，分別畫出函數(shù)

y=-0.3x2與y=-8x2的圖象，并分別說出它們的共同點和不同點.解：共同點：均開口向下；對稱軸均為y軸；對稱軸與圖象的交點是(0，0)；圖象均是“左升”“右降”；當x=0時，函數(shù)值最大，為0；不同點：y=-8x2的圖象開口比y=-0.3x2的圖象開口小.2.在同一直角坐標系中，分別畫出函數(shù)y=-0.3x2與y探究

把二次函數(shù)的圖象E向右平移1個單位，得到圖形F，如下圖所示：探究把二次函數(shù)的圖象E向右平移1個單位

由于平移不改變圖形的形狀和大小，因此圖象E在向右平移1個單位后：原像像拋物線E：圖象F也是拋物線E的頂點O(0，0)點O′(1，0)是F的頂點E有對稱軸l(與y軸重合)直線l′(過點O′與y軸平行)是F的對稱軸E開口向上F也開口向上由于平移不改變圖形的形狀和大小，因此圖象E在

拋物線F是哪個函數(shù)的圖象呢？

在拋物線

上任取一點

，它在向右平移1個單位后，點P的像點Q的坐標是什么？

把點P的橫坐標a加上1，縱坐標不變，就得到像點Q的坐標為拋物線F是哪個函數(shù)的圖象呢？在拋物線

記b=a+1，則a=b-1.

從而點Q的坐標為

，這表明：點Q在函數(shù)

的圖象上.由此得出，拋物線F是函數(shù)

的圖象.記b=a+1，則a=b-1.從而點Q的坐

從上面的過程可以說明：函數(shù)

的圖象是拋物線F，它的開口向上，它的頂點是

，它的對稱軸是過點

且平行于y軸的直線l′.直線l′是由橫坐標為1的所有點組成的，我們把直線l′記做直線x=1.從上面的過程可以說明：函數(shù)結(jié)論

二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象是拋物線，它的對稱軸是直線x=h，它的頂點坐標是(h，0).當a＞0時，拋物線的開口向上；當a＜0時，開口向下.類似地，我們可以證明下述結(jié)論：結(jié)論二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象是拋物線，類似地

由于我們已經(jīng)知道了二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象的性質(zhì)，因此今后在畫y=a(x-h)2的圖象時，只要先畫出對稱軸以及圖象在對稱軸右邊的部分，然后利用對稱性，畫出左邊的部分.

在畫圖象的右邊部分時，只需要“列表，描點，連線”三個步驟就可以了.由于我們已經(jīng)知道了二次函數(shù)y=a(x-h)2的舉例解拋物線y=(x-2)2的對稱軸是直線x=2，頂點坐標是(2，0).

x2345…y=(x-2)20149…例3畫函數(shù)y=(x-2)2的圖象.

列表：自變量x從頂點的橫坐標2開始取值.

舉解拋物線y=(x-2)2的對稱軸是直線x=2，x234描點和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性畫出圖象在對稱軸左邊的部分:描點和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性畫出圖象在這樣我們得到了函數(shù)y=(x-2)2的圖象.如下圖所示：y=(x-2)2這樣我們得到了函數(shù)y=(x-2)2的圖象.如下圖所示：y=1.寫出下列二次函數(shù)圖象的對稱軸、頂點坐標和開口方向.（1）

練習答：對稱軸是直線x=5，頂點是(5，0)，開口向上.（2）y=-3(x+2)2答：對稱軸是直線x=-2，頂點是(-2，0)，開口向下.1.寫出下列二次函數(shù)圖象的對稱軸、頂點坐標和開口方向.（12.分別畫出二次函數(shù)

y=-(x-1)2，

的圖象.解2.分別畫出二次函數(shù)y=-(x-1)2，探究

如何畫二次函數(shù)

的圖象？

我們來探究二次函數(shù)

與

之間的關(guān)系.二次函數(shù)圖象上的點橫坐標x縱坐標yaa探究如何畫二次函數(shù)

從上表看出：對于每一個給定的x值，函數(shù)的值都要比函數(shù)

的值大3，由此可見函數(shù)的圖象可由二次函數(shù)

的圖象向上平移3個單位而得到（如下圖）.從上表看出：對于每一個給定的x值，函數(shù)

因此，二次函數(shù)

的圖象也是拋物線，它的對稱軸為直線x=1(與拋物線

的對稱軸一樣)，頂點坐標為(1，3)(它是由拋物線

的頂點(1，0)向上平移3個單位得到)，它的開口向上.因此，二次函數(shù)的圖象也是拋結(jié)論

一般地，二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象是拋物線，它具有下述性質(zhì)：拋物線y=a(x-h)2+k對稱軸頂點坐標開口方向圖象上的點在對稱軸的左邊在對稱軸的右邊a＞0x=h(h，k)向上y

隨x的增大而減小y

隨x

的增大而增大a＜0x=h(h，k)向下y

隨x

的增大而增大y

隨x的增大而減小結(jié)論一般地，二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的

由于我們已經(jīng)知道了函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象的性質(zhì)，因此畫y=a(x-h)2+k的圖象的步驟如下：第一步

寫出對稱軸和頂點坐標，并且在平

面直角坐標系內(nèi)畫出對稱軸，描出

頂點；由于我們已經(jīng)知道了函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象的第二步

列表(自變量x從頂點的橫坐標開始取值)，

描點和連線，畫出圖象在對稱軸右邊的部

分；第三步

利用對稱性，畫出圖象在對稱軸左邊的部

分(這只要先把對稱軸左邊的對應(yīng)點描出

來，然后用一條光滑曲線順次連接它們和

頂點).第二步列表(自變量x從頂點的橫坐標開始取值)，第三步舉例解對稱軸是直線x=-1，頂點坐標為(-1，-3).x-10123…-3-2.5-11.55…列表：自變量x從頂點的橫坐標-1開始取值.例4畫二次函數(shù)

的圖象.舉解對稱軸是直線x=-1，頂點坐標為(-1，-3).x-1描點和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性，畫出圖象在對稱軸左邊的部分.這樣我們得到了函數(shù)

的圖象.描點和連線：畫出圖象在對稱軸右邊的部分.利用對稱性，畫出圖象舉例例5已知某拋物線的頂點坐標為（-2，1），且與y軸相交于點（0，4），求這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式.

已知某拋物線的頂點坐標為（-2，1），且與y軸相交于點（0，4），求這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式.

舉例5已知某拋物線的頂點坐標為（-2，1），且與y軸已知某由函數(shù)圖象過點（0，4），可得4=a(0+2)2+1，解由于點（-2，1）是該拋物線的頂點，可設(shè)這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式為y=a(x+2)2+1.因此，所求的二次函數(shù)的表達式為解得解由于點（-2，1）是該拋物線的頂點，可設(shè)這個因此，所求的二1.說出下列二次函數(shù)的圖象的對稱軸、頂點坐標和開口方向：答：對稱軸為直線x=9，頂點(9，7)，開口向上.答：對稱軸為直線x=-18，頂點(-18，-13)，開口向下.練習1.說出下列二次函數(shù)的圖象的對稱軸、頂點坐標和開口方向：答2.畫二次函數(shù)

的圖象.

●●●解：2.畫二次函數(shù)的圖象.●●●3.已知某拋物線的頂點坐標為(-3，2)，且經(jīng)過點(-1，0)，求這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式.由函數(shù)圖象過點(-1，0)，可得0=a(-1+3)2+2，解:由于點(-3，2)是該拋物線的頂點，可設(shè)這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式為y=a(x+3)2+2.解得因此，所求的二次函數(shù)的表達式為3.已知某拋物線的頂點坐標為(-3，2)，且經(jīng)過解:由于點如何畫二次函數(shù)y=-2x2+6x-1的圖象？動腦筋我們已經(jīng)會畫y=a(x-h)2+k的圖象.因此只需把-2x2+6x-1配方成-2(x-h)2+k的形式就可以了.如何畫二次函數(shù)y=-2x2+6x-1的圖象？動腦筋配方：對稱軸是直線，頂點坐標是

.配方：對稱軸是直線