《控制測量》第4講平面控制網的精度估算課件

昆明冶金高等?？茖W校測繪學院第一部分精度估算的目的和方法第二部分三角鎖的精度估算第三部分導線網的精度估算第四講平面控制網的精度估算昆明冶金高等專科學校測繪學院第一部分精度估算的目的和方法第1第一部分精度估算的目的和方法

控制測量工作的第一階段就是控制網的設計階段。論述控制網的精度是否能滿足需要是技術設計報告的主要內容之一。雖然對于評定控制網的優(yōu)劣、費用的高低也是一項重要的指標，但是，通常首先考慮的是精度，只有在精度指標滿足要求的情況下，才考慮選擇費用較低廉的布設方案。本節(jié)著重介紹估算三角鎖邊長精度和導線網精度的方法。近20年來，隨著電子計算機的廣泛應用，以近代平差理論為基礎的控制網優(yōu)化設計理論獲得了迅速地發(fā)展。例如，僅在表達控制網質量的指標方面，無論在廣度和深度上，均非過去所能比。第一部分精度估算的目的和方法控制測量工作的第一階段2

精度估算的目的是推求控制網中邊長、方位角或點位坐標等的中誤差，它們都是觀測量平差值的函數，統(tǒng)稱為推算元素。估算的方法有兩種。一、公式估算法

此法是針對某一類網形導出計算某種推算元素（例如最弱邊長中誤差）的普遍公式。由于這種推算過程通常相當復雜，需經過許多簡化才能得出有價值的實用公式，所以得出的結果都是近似的。而對另外一些推算元素，則難以得出有實用意義的公式。公式估算法的好處是，不僅能用于定量地估算精度值，而且能定性地表達出各主要因素對最后精度的影響，從而為網的設計提供有用的參考。推導估算公式的方法以最小二乘法中條件分組平差的精度計算公式為依據，現(xiàn)列出公式如下。精度估算的目的是推求控制網中邊長、方位角或點位3設控制網滿足下列兩組條件方程式

（Ⅰ）

（Ⅱ）

設控制網滿足下列兩組條件方程式4推算元素是觀測元素平差值的函數，其一般形式為式中，為觀測值，為其權，為其相應的改正數。實際上的數值很小，可將上式按臺勞級數展開，并舍去二次以上各項，得到其線性式：式中，，…，推算元素是觀測元素平差值的函數，其一般形式為5根據兩組平差的步驟，首先按第一組條件式進行平差，求得第一次改正后的觀測值，然后改化第二組條件方程式。設改化后的第二組條件方程式為：則的權倒數為如果平差不是按克呂格分組平差法進行的，即全部條件都是第一組，沒有第二組條件，則在計算權倒數時應將上式的后兩項去掉。根據兩組平差的步驟，首先按第一組條件式進行平差，求得第一次改6的中誤差為式中，為觀測值單位權中誤差。二、程序估算法

此法根據控制網略圖，利用已有程序在計算機上進行計算。在計算過程中，使程序僅針對所需的推算元素計算精度并輸出供使用。的中誤差為式中，為觀測值單位權中誤差。二、程序估算法7

通常這些程序所用的平差方法都是間接平差法。設待求推算元素的中誤差、權（或權系數）分別為，。后者與網形和邊角觀測值權的比例有關（對邊角網而言），不具有隨機性。至于單位權中誤差，對驗后網平差來說，是由觀測值改正數求出的單位權標準差的估值，具有隨機性。但對于設計的控制網來說，用于網的精度估算，可取有關規(guī)范規(guī)定的觀測中誤差或經驗值。這時需要計算的主要是或，所用程序最好具有精度估算功能。否則，應加適當修改，以使其自動跳過用觀測值改正數計算的程序段，而直接由用戶將指定值賦給

。如此計算出的即為所需結果。在這種情況下，運行程序開始時應輸入由網圖量取的方向和邊長作為觀測值，各觀測值的精度也應按設計值給出。輸入方式按程序規(guī)定進行。通常這些程序所用的平差方法都是間接平差法。8第二部分三角鎖的精度估算一、單三角形中推算邊長的中誤差設為三角形的起算邊，為推算邊，A、B、C為角度觀測值，于是由推算的函數式為：通過公式推算知道，等于角A的正弦對數每秒表差（以對數第6位為單位）。

若令

則可以推出

第二部分三角鎖的精度估算一、單三角形中推算邊長的中誤差設9如果已知的不是測角中誤差，而是方向中誤差，則利用關系代入上式可得或

由推導公式可知與三角形的內角有關，亦即與三角形的形狀有關。通常將稱為三角形的圖形權倒數，也就是以方向的權為單位權，三角形推算邊（一般是指精度最差的邊，即最弱邊）邊長對數的權倒數稱為三角形的圖形權倒數。關于圖形權倒數的這個定義不僅適用于三角形，也適用于下面講述的大地四邊形等其他圖形。為了便于計算圖形權倒數，已將列成數表，以角度A、B為引數查取。如果已知的不是測角中誤差，而是方向中誤差，則10二、三角形的最有利形狀

以上導出了三角形的圖形權倒數公式，并說明了它同三角形的形狀有關。由此，我們自然會提出什么樣的三角形圖形權倒數最小，亦即推算出的邊長精度最高的問題。實際布網時不能只從精度考慮，而必須顧及各方面的條件。若按正三角形布網，則不僅點位密度均勻而且正三角形的值（=4.0）與上述最有利圖形（=4.0）也比較接近。因此從兩個方面的要求綜合考慮，可以認為正三角形是布網的理想圖形。二、三角形的最有利形狀以上導出了三角形的圖形權倒數11三、三角形鎖中推算邊長的中誤差設三角形單鎖是按角度觀測和按角度平差的，也就是所有等角都是等精度獨立觀測值并按此參加平差。現(xiàn)在導出計算的邊長對數中誤差的公式。

即三、三角形鎖中推算邊長的中誤差設三角形單鎖是按角12四、大地四邊形和中點多邊形推算邊長的中誤差

在兩相鄰三角形內加測一條對角線所構成的圖形，稱為大地四邊形，如圖所示。

這種圖形在工程控制網中應用頗廣，例如橋梁三角網，通常就采用一個或幾個大地四邊形構成。下圖所示的圖形為中點多邊形。大地四邊形和中點多邊形都是構成三角網的主要圖形。四、大地四邊形和中點多邊形推算邊長的中誤差在兩相鄰13對于大地四邊形，此處只給出兩種典型情況的圖形權倒數公式。一種是圖（a）所示的矩形大地四邊形和下圖（c）所示的菱形大地四邊形（由兩個等邊三角形加測對角線所構成的圖形）。按方向平差時它們的圖形權倒數如下：矩形大地四邊形

菱形大地四邊形

式中

雖然對于任意角度的大地四邊形計算圖形權倒數的普遍公式不易求得，但是在實際作業(yè)中所選出的大地四邊形通常總是介于矩形與菱形大地四邊形之間，因此可近似地取上述兩式中系數的平均值，作為計算任意角度大地四邊形圖形權倒數的系數，即:對于大地四邊形，此處只給出兩種典型情況的圖形權倒數公14對于中點多邊形計算權倒數時常采用近似公式：五、混合鎖段圖形權倒數的計算

實際作業(yè)時，由于受地形條件限制等原因，所選定的三角鎖段常常是由幾種圖形混合組成的三角鎖（見圖）。

對于中點多邊形計算權倒數時常采用近似公式：五、混合鎖段圖形權15設單位權中誤差應為方向中誤差

于是最弱邊邊長對數的中誤差為：六、兩端有起算邊的三角形單鎖最弱傳距邊邊長的中誤差

建立控制網時，為了提高精度，常在三角鎖的兩端布設起算邊。當鎖兩端有起算邊和時，最弱傳距邊大體上在鎖的中央，即。如圖

設單位權中誤差應為方向中誤差于是最弱邊邊長對數的中誤差為：16第三部分導線網的精度估算

一、等邊直伸導線的精度分析

在城市及工測導線網中．單一導線是一種較常見的網形，其中又以等邊直伸導線為最簡單的典型情況。各種測量規(guī)范中有關導線測量的技術要求都是以對這種典型情況的精度分析為基礎而制定的。為此下面將重點介紹附合導線的最弱點點位中誤差和平差后方位角的中誤差。本節(jié)中采用下列符號：表示點位的橫向中誤差；

表示點位的縱向中誤差；

表示總點位中誤差；

表示導線端點的下標；

表示導線中點的下標；

表示起始數據誤差影響的下標；表示測量誤差影響的下標。

第三部分導線網的精度估算一、等邊直伸導線的精度分析171.附合導線經角度閉合差分配后的端點中誤差導線的端點中誤差為由上述公式可以看出，對于等邊直伸附合導線而言，因測量誤差而產生的端點縱向誤差完全是由量邊的誤差而引起的；端點的橫向誤差完全是由測角的誤差引起的。這個結論從圖形來看是顯然的，然而，如果導線不是直伸的，則情況就不同了。2.附合導線平差后的各邊方位角中誤差

3.附合導線平差后中點的縱向中誤差4.附合導線平差后中點的橫向中誤差

5.起始數據誤差對附合導線平差后中點點位的影響

6.附合導線端點縱橫向中誤差與中點縱橫向中誤差的比例關系

1.附合導線經角度閉合差分配后的端點中誤差導線的端點中誤差為18

由測量學中的有關知識和以上的分析可知，直伸導線的主要優(yōu)點是：①導線的縱向誤差完全是由測距誤差產生的；而橫向誤差完全是由測角誤差產生的。因此在直伸導線平差時縱向閉合差只分配在導線的邊長改正數中，而橫向閉合差則只分配在角度改正數中；即使測角和測距的權定得不太正確，也不會影響導線閉合差的合理分配。但對于曲折導線，情況就不是這樣，它要求測角和測邊的權定得比較正確才行，然而實際上這是難以做到的。②直伸導線形狀簡單，便于理論研究。本節(jié)中導出的有關點位精度關系的一些公式，都是針對等邊直伸導線而言的，如果不是直伸導線，上述公式都只能是近似的。直伸導線也有不足之處。模擬計算表明：直伸導線的點位精度并不是最高的，有人提出，精度較高的導線是一種轉折角為90°和270°交替出現(xiàn)的狀如鋸齒形的導線。有關規(guī)范上之所以要求布設直伸導線，主要是考慮它所具有的上述優(yōu)點，然而實用上很難布成完全直伸的導線。于是有關規(guī)范只能規(guī)定一個限度，在此容許范圍內的導線可以認為是直伸的。由測量學中的有關知識和以上的分析可知，直伸導線19二、導線網的精度估算

以等級導線作為測區(qū)的基本控制時，經常需要布設成具有多個結點和多個閉合環(huán)的導線網，尤其在城市和工程建設地區(qū)更是如此，在設計這種導線網時，需要估算網中兩結點和最弱點位精度，以便對設計的方案進行修改。至于估算的方法，在過去采用的“等權代替法”是一種近似的方法，而且有一定的局限性。但是由此法導出的一些結論仍可作為導線網設計的參考。如今在實際上采用的主要是電算的方法，如前所述。

下面介紹等權代替法。二、導線網的精度估算以等級導線作為測區(qū)的基本20測量學中已經導出計算支導線終點點位誤差的公式：

上式略去了起始數據誤差的影響，其中。由此式可見若不考慮起始數據誤差，則在一定測量精度和邊長的情況下，支導線終點點位誤差與導線全長有關。

為了估計導線網中任意點的點位中誤差，需設法將網化成單一導線，然后按加權平均的原理計算待估點的權，再設法求出單位權中誤差，最后即可求出待估點的中誤差。此處公式推導省略。

測量學中已經導出計算支導線終點點位誤差的公式：上式略去了起21昆明冶金高等專科學校測繪學院放映結束，謝謝！第四講平面控制網的精度估算昆明冶金高等?？茖W校測繪學院放映結束，謝謝！第四講平面控22昆明冶金高等專科學校測繪學院第一部分精度估算的目的和方法第二部分三角鎖的精度估算第三部分導線網的精度估算第四講平面控制網的精度估算昆明冶金高等?？茖W校測繪學院第一部分精度估算的目的和方法第23第一部分精度估算的目的和方法

控制測量工作的第一階段就是控制網的設計階段。論述控制網的精度是否能滿足需要是技術設計報告的主要內容之一。雖然對于評定控制網的優(yōu)劣、費用的高低也是一項重要的指標，但是，通常首先考慮的是精度，只有在精度指標滿足要求的情況下，才考慮選擇費用較低廉的布設方案。本節(jié)著重介紹估算三角鎖邊長精度和導線網精度的方法。近20年來，隨著電子計算機的廣泛應用，以近代平差理論為基礎的控制網優(yōu)化設計理論獲得了迅速地發(fā)展。例如，僅在表達控制網質量的指標方面，無論在廣度和深度上，均非過去所能比。第一部分精度估算的目的和方法控制測量工作的第一階段24

精度估算的目的是推求控制網中邊長、方位角或點位坐標等的中誤差，它們都是觀測量平差值的函數，統(tǒng)稱為推算元素。估算的方法有兩種。一、公式估算法

此法是針對某一類網形導出計算某種推算元素（例如最弱邊長中誤差）的普遍公式。由于這種推算過程通常相當復雜，需經過許多簡化才能得出有價值的實用公式，所以得出的結果都是近似的。而對另外一些推算元素，則難以得出有實用意義的公式。公式估算法的好處是，不僅能用于定量地估算精度值，而且能定性地表達出各主要因素對最后精度的影響，從而為網的設計提供有用的參考。推導估算公式的方法以最小二乘法中條件分組平差的精度計算公式為依據，現(xiàn)列出公式如下。精度估算的目的是推求控制網中邊長、方位角或點位25設控制網滿足下列兩組條件方程式

（Ⅰ）

（Ⅱ）

設控制網滿足下列兩組條件方程式26推算元素是觀測元素平差值的函數，其一般形式為式中，為觀測值，為其權，為其相應的改正數。實際上的數值很小，可將上式按臺勞級數展開，并舍去二次以上各項，得到其線性式：式中，，…，推算元素是觀測元素平差值的函數，其一般形式為27根據兩組平差的步驟，首先按第一組條件式進行平差，求得第一次改正后的觀測值，然后改化第二組條件方程式。設改化后的第二組條件方程式為：則的權倒數為如果平差不是按克呂格分組平差法進行的，即全部條件都是第一組，沒有第二組條件，則在計算權倒數時應將上式的后兩項去掉。根據兩組平差的步驟，首先按第一組條件式進行平差，求得第一次改28的中誤差為式中，為觀測值單位權中誤差。二、程序估算法

此法根據控制網略圖，利用已有程序在計算機上進行計算。在計算過程中，使程序僅針對所需的推算元素計算精度并輸出供使用。的中誤差為式中，為觀測值單位權中誤差。二、程序估算法29

通常這些程序所用的平差方法都是間接平差法。設待求推算元素的中誤差、權（或權系數）分別為，。后者與網形和邊角觀測值權的比例有關（對邊角網而言），不具有隨機性。至于單位權中誤差，對驗后網平差來說，是由觀測值改正數求出的單位權標準差的估值，具有隨機性。但對于設計的控制網來說，用于網的精度估算，可取有關規(guī)范規(guī)定的觀測中誤差或經驗值。這時需要計算的主要是或，所用程序最好具有精度估算功能。否則，應加適當修改，以使其自動跳過用觀測值改正數計算的程序段，而直接由用戶將指定值賦給

。如此計算出的即為所需結果。在這種情況下，運行程序開始時應輸入由網圖量取的方向和邊長作為觀測值，各觀測值的精度也應按設計值給出。輸入方式按程序規(guī)定進行。通常這些程序所用的平差方法都是間接平差法。30第二部分三角鎖的精度估算一、單三角形中推算邊長的中誤差設為三角形的起算邊，為推算邊，A、B、C為角度觀測值，于是由推算的函數式為：通過公式推算知道，等于角A的正弦對數每秒表差（以對數第6位為單位）。

若令

則可以推出

第二部分三角鎖的精度估算一、單三角形中推算邊長的中誤差設31如果已知的不是測角中誤差，而是方向中誤差，則利用關系代入上式可得或

由推導公式可知與三角形的內角有關，亦即與三角形的形狀有關。通常將稱為三角形的圖形權倒數，也就是以方向的權為單位權，三角形推算邊（一般是指精度最差的邊，即最弱邊）邊長對數的權倒數稱為三角形的圖形權倒數。關于圖形權倒數的這個定義不僅適用于三角形，也適用于下面講述的大地四邊形等其他圖形。為了便于計算圖形權倒數，已將列成數表，以角度A、B為引數查取。如果已知的不是測角中誤差，而是方向中誤差，則32二、三角形的最有利形狀

以上導出了三角形的圖形權倒數公式，并說明了它同三角形的形狀有關。由此，我們自然會提出什么樣的三角形圖形權倒數最小，亦即推算出的邊長精度最高的問題。實際布網時不能只從精度考慮，而必須顧及各方面的條件。若按正三角形布網，則不僅點位密度均勻而且正三角形的值（=4.0）與上述最有利圖形（=4.0）也比較接近。因此從兩個方面的要求綜合考慮，可以認為正三角形是布網的理想圖形。二、三角形的最有利形狀以上導出了三角形的圖形權倒數33三、三角形鎖中推算邊長的中誤差設三角形單鎖是按角度觀測和按角度平差的，也就是所有等角都是等精度獨立觀測值并按此參加平差?，F(xiàn)在導出計算的邊長對數中誤差的公式。

即三、三角形鎖中推算邊長的中誤差設三角形單鎖是按角34四、大地四邊形和中點多邊形推算邊長的中誤差

在兩相鄰三角形內加測一條對角線所構成的圖形，稱為大地四邊形，如圖所示。

這種圖形在工程控制網中應用頗廣，例如橋梁三角網，通常就采用一個或幾個大地四邊形構成。下圖所示的圖形為中點多邊形。大地四邊形和中點多邊形都是構成三角網的主要圖形。四、大地四邊形和中點多邊形推算邊長的中誤差在兩相鄰35對于大地四邊形，此處只給出兩種典型情況的圖形權倒數公式。一種是圖（a）所示的矩形大地四邊形和下圖（c）所示的菱形大地四邊形（由兩個等邊三角形加測對角線所構成的圖形）。按方向平差時它們的圖形權倒數如下：矩形大地四邊形

菱形大地四邊形

式中

雖然對于任意角度的大地四邊形計算圖形權倒數的普遍公式不易求得，但是在實際作業(yè)中所選出的大地四邊形通?？偸墙橛诰匦闻c菱形大地四邊形之間，因此可近似地取上述兩式中系數的平均值，作為計算任意角度大地四邊形圖形權倒數的系數，即:對于大地四邊形，此處只給出兩種典型情況的圖形權倒數公36對于中點多邊形計算權倒數時常采用近似公式：五、混合鎖段圖形權倒數的計算

實際作業(yè)時，由于受地形條件限制等原因，所選定的三角鎖段常常是由幾種圖形混合組成的三角鎖（見圖）。

對于中點多邊形計算權倒數時常采用近似公式：五、混合鎖段圖形權37設單位權中誤差應為方向中誤差

于是最弱邊邊長對數的中誤差為：六、兩端有起算邊的三角形單鎖最弱傳距邊邊長的中誤差

建立控制網時，為了提高精度，常在三角鎖的兩端布設起算邊。當鎖兩端有起算邊和時，最弱傳距邊大體上在鎖的中央，即。如圖

設單位權中誤差應為方向中誤差于是最弱邊邊長對數的中誤差為：38第三部分導線網的精度估算

一、等邊直伸導線的精度分析

在城市及工測導線網中．單一導線是一種較常見的網形，其中又以等邊直伸導線為最簡單的典型情況。各種測量規(guī)范中有關導線測量的技術要求都是以對這種典型情況的精度分析為基礎而制定的。為此下面將重點介紹附合導線的最弱點點位中誤差和平差后方位角的中誤差。本節(jié)中采用下列符號：表示點位的橫向中誤差；

表示點位的縱向中誤差；

表示總點位中誤差；

表示導線端點的下標；

表示導線中點的下標；

表示起始數據誤差影響的下標；表示測量誤差影響的下標。

第三部分導線網的精度估算一、等邊直伸導線的精度分析391.附合導線經角度閉合差分配后的端點中誤差導線的端點中誤差為由上述公式可以看出，對于等邊直伸附合導線而言，因測量誤差而產生的端點縱向誤差完全是由量邊的誤差而引起的；端點的橫向誤差完全是由測角的誤差引起的。這個結論從圖形來看是顯然的，然而，如果導線不是直伸的，則情況就不同了。2.附合導線平差后的各邊方位角中誤差

3.附合導線平差后中點的縱向中誤差4.附合導線平差后中點的橫向中誤差

5.起始數據誤差對附合導線平差后中點點位的影響

6.附合導線端點縱橫向中誤差與中點縱橫向中誤差的比例關系

1.附合導線經角度閉合差分配后的端點中誤差導線的端點中誤差為40

由測量學中的有關知識和以上的分析可知，直伸導線的主要優(yōu)點是：①導