正交變換與仿射變換

關(guān)于正交變換與仿射變換第一頁，共六十三頁，2022年，8月28日§1映射與變換§2平面的正交變換§3平面的仿射變換

§4二次曲線的度量分類與仿射分類§5空間的正交變換與仿射變換

第二頁，共六十三頁，2022年，8月28日

§1映射與變換

定義1.1設(shè)S與S’是兩個集合,對S中任一元素a,按某一法則在S'中有唯一的元素a'與之對應(yīng),我們稱此法則(即對應(yīng)關(guān)系)為S到S'的一個映射。記作

σ:S→S',aa'.

或者記作:a’=σ(a),a∈S。a’稱為a在映射σ下的象,a稱為a'在σ下的一個原象。集合S到S'的兩個映射σ和τ稱為相等,如果對于任意a∈S,都有σ(a)=τ(a)。集合S到自身的一個映射叫做S的一個變換。第三頁，共六十三頁，2022年，8月28日例1

設(shè)S是全體自然數(shù)集,S’=｛±n|n∈S｝,則σ(n)=2n,n∈S，是S到S’中的一個映射。τ(n)=4n,n∈S，也是S到S'中的一個映射。例2

設(shè)S是無數(shù)個點的集合,A是S的子集,S’=｛0，1｝。則定義為

的法則σ是S到S'上的一個映射。例3

設(shè)=,法則定義為,∈,則是到自身的一個變換,此映射稱為恒等變換。第四頁，共六十三頁，2022年，8月28日例4

平面上的平移設(shè)S是平面上所有點的集合,取定一個直角坐標(biāo)系,給定一個向量=()。令點P(x,y)與P’(x’,y’)的對應(yīng)關(guān)系為則有(1.1)

這是S到自身的一個變換,稱為由決定的平移。公式(1.1)稱為平面上的點的平移公式。

注：在形式上平移公式與點的坐標(biāo)變換中的移軸公式類似,

但是含意卻完全不同:點的平移公式中,(x,y)和(x’,y’)是不同的兩個點在同一坐標(biāo)系中的坐標(biāo);而移軸公式中,(x,y)和(x',y')是同一個點在兩個不同的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

第五頁，共六十三頁，2022年，8月28日例5

平面上的旋轉(zhuǎn)

S是平面上所有點的集合,在平面上取定一個直角坐標(biāo)系｛O;｝,令點P(x,y)和P’(x’,y’)的對應(yīng)關(guān)系τ為

(1.2)

其中，θ是一確定的實數(shù),

則τ是S上的一個變換,稱為平面繞原點的旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)角為θ。

(1.2)稱為平面上轉(zhuǎn)角為θ的旋轉(zhuǎn)公式。第六頁，共六十三頁，2022年，8月28日例6

平面上的反射。設(shè)l是平面上一條定直線,平面上任一點P關(guān)于l的對稱點為P’。這種從P點到P’點的映射,稱為平面上以l為軸的反射。若取l為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)P(x,y),P'(x',y'),則此反射表示為

(1.3)

設(shè)σ:S→S’,我們用σ(S)表示S中的點在σ下的象的全體,顯然有。當(dāng)σ(S)=S'時,則稱σ是滿射或到上的。如果在映射σ下,S中不同元素的象也不同,則稱σ是單射(或1—1的)。既是單射又是滿射的映射稱為雙射(或1—1對應(yīng)）。第七頁，共六十三頁，2022年，8月28日

定義1.2

設(shè)映射:S→S’,:S’→S″,則定義乘積映射為

對于S到S’的雙射σ,我們可以定義它的逆映射：若σ(a)=a’∈S’,a∈S,則定義,顯然,

易證,1—1對應(yīng)的逆映射也是1—1對應(yīng),1—1對應(yīng)的乘積也是1—1對應(yīng),映射的乘法滿足結(jié)合律。

定義1.3

設(shè)σ:S→S是一變換,若對a∈S,滿足σ(a)=a,則稱a是σ的不動點,｛a∈S|σ(a)=a｝稱為σ的不動點集。第八頁，共六十三頁，2022年，8月28日

平面上的平移與旋轉(zhuǎn)的乘積稱為平面上的運動(即剛體運動),它是平面到自身上的1—1變換。

例7

設(shè)σ是平面上由=(a,b)決定的平移,τ是平面上的轉(zhuǎn)角為θ的繞原點的旋轉(zhuǎn),τσ:P(x,y)P″(x″,y″)P'(x',y'),則τσ的公式為：，則στ的公式為：由

此可見στ≠τσ。第九頁，共六十三頁，2022年，8月28日平面上點變成點的變換也叫點變換。一個線性點變換當(dāng)它的變換矩陣的行列式|A|≠0時,稱為滿秩線性點變換或非退化線性點變換。往后將看到,正交變換和仿射變換在代數(shù)上均表現(xiàn)為非退化的線性變換。定義1.4

設(shè)G=｛σ:S→S|σ是S上的變換｝,如果G滿足：(1)恒等變換I∈G;(2)若則(3)若σ∈G,則它的逆變換。則稱G為S的一個變換群。

第十頁，共六十三頁，2022年，8月28日

§2平面的正交變換

1.平面的正交變換在§1中我們介紹了平面上的三種點變換:平移、旋轉(zhuǎn)和反射。它們有一個共同的特點:保持點之間的距離不變。

定義2.1

平面上的一個點變換,如果保持點之間的距離不變,則稱它是正交(點)變換(或等距變換)。平面上的運動與反射都是正交變換。從定義立即得到性質(zhì)1和性質(zhì)2。

性質(zhì)1

恒等變換是正交變換。

性質(zhì)2

正交變換的乘積是正交變換。第十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日

性質(zhì)3

正交變換是雙射。證明設(shè)σ是正交變換,把不同的兩點P,Q分別變?yōu)镻’和Q’。由于P,Q不相同,所以,根據(jù)σ保持距離不變,應(yīng)有

,因此，P',Q'也是不同的兩點,即σ為單射。下證σ是滿射。即對平面上任何一點P’,都存在P，使σ(P)=P’。為此,在平面上任取不共線的三點(i=1,2,3),設(shè)σ()=(i=1,2,3)。由σ是單射并保持距離不變,易知構(gòu)成一個三角形,且⊿≌⊿

假定P’到的距離為,那么必存在一點P,它到的距離也是。設(shè)σ(P)=P″,則P″到的距離也是,因此P″與P’重合,即σ(P)=P'。由性質(zhì)3知道,正交變換的逆變換存在,且逆變換也是正交變換。因此,由以上三個性質(zhì)知道平面上全體正交點變換構(gòu)成平面上的一個變換群,稱為正交變換群。第十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日性質(zhì)4

正交變換把直線變到直線,并保持共線三點P,Q,R的簡單比不變。其中PR，RQ表示有向線段的有向長度(或代數(shù)長),即若在直線PQ上取一單位向量e,則

證明設(shè)P,Q是直線上不同的兩點,那么它們的象P’,Q’也不相同,于是決定一條直線l’。對于直線l上任一點R,若P,Q,R按此順序共線,則|PQ|+|QR|=|PR|.由正交變換的定義,R的象R'與P',Q'有關(guān)系|P'Q'|+|Q'R'|=|P'R'|.

因此R’與P’，Q’共線,即R’在l’上.

由以上兩式看出,正交變換保持直線上點的順序不變,將有向線段變成有向線段。即若同向或反向時,則也同向或反向。由此得第十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日

性質(zhì)5

正交變換將平行直線變?yōu)槠叫兄本€，并保持相交直線的交角不變。請讀者自證.

在平面上，對任一向量,以點O為原點，作。設(shè)正交變換σ把O，A分別變到O’,令，則向量只依賴于而與O點的選取無關(guān)，原因是σ保持平行性和保持距離不變。這一事實說明，σ誘導(dǎo)出平面上向量的一個變換，使變到,這個變換仍記為σ，稱為正交向量變換。設(shè)與是任意兩個向量,。顯然即σ保持向量的內(nèi)積不變。根據(jù)σ保持共線三點的簡單比,我們可從推出.又若,并且,由于σ把一個三角形變成一個與之全等的三角形,又可得到。簡短地說,正交變換保持向量的線性關(guān)系不變。于是有第十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日

性質(zhì)6

正交變換保持向量的內(nèi)積不變,保持向量的線性關(guān)系不變。

2.正交變換的坐標(biāo)表示和基本定理取平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正交變換σ將點P(x,y)變換到P'(x',y'),則下面來求x',y'與x,y之間的關(guān)系。根據(jù)性質(zhì)6可知σ把直角坐標(biāo)系變到直角坐標(biāo)系,并且,即P’在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)與P在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)一致。第十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日設(shè)因為是直角坐標(biāo)系,所以過渡矩陣是正交矩陣。于是得出正交變換的坐標(biāo)表示

(2.2)

其中,A=()是正交矩陣。第十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日用矩陣形式表示，則（2．2）可寫成設(shè)由性質(zhì)6得我們?nèi)菀椎玫街g的關(guān)系（2．4）考慮正交矩陣A的條件：第十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日我們可設(shè)將他們代入條件中的第三式得因此,即第十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日即(2．3)可寫成

(2.5)或

(2.6)(2.5)表示平面上的運動,(2.6)表示平面上的反射的乘積.由此得到第十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日

定理2.1(正交變換第一基本定理)正交變換或者是運動,或者是一個反射與一運動的乘積。有時前者稱為第一類正交變換,后者稱為第二類正交變換。

定理2.2(正交變換第二基本定理)正交變換把直角坐標(biāo)系變到新的直角坐標(biāo)系,并使每一點P在原系下的坐標(biāo)與它的象P’關(guān)于新系下的坐標(biāo)相同。反之,具有這種性質(zhì)的變換是正交變換。第二十頁，共六十三頁，2022年，8月28日

§3平面的仿射變換

比正交變換較為廣泛的一種點變換就是本節(jié)將要討論的仿射變換。在這里為了簡單起見,不同于前節(jié)用幾何特征來定義正交變換,我們直接用變換公式給出仿射變換的定義，并用這公式研究仿射變換的一些性質(zhì)。

1.仿射變換的定義和例子

定義3.1

平面的一個點變換τ，如果它在一個仿射坐標(biāo)系中的公式為

(3.1)其中系數(shù)矩陣A=是可逆的,即|A|≠0，則稱τ是平面的仿射(點)變換。此定義與仿射坐標(biāo)系的選取無關(guān)。第二十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日

例3.1§2中用公式(2.5),(2.6)確定的正交變換是仿射變換。

例3.2

伸長或壓縮(簡稱伸縮)是仿射變換。x軸上的每一點是它的不動點,平行于y軸的直線都是它的不動直線(不動直線上的點不一定是不動點);它是平行于y軸方向的伸長(k>1)或壓縮(k<1)。在直角坐標(biāo)系下,它把圓變到橢圓

例3.3

由公式所確定的變換是仿射變換,它表示分別沿x軸、y軸方向的兩個伸縮變換的乘積。

第二十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日

2.仿射變換的性質(zhì)由于仿射變換的系數(shù)矩陣是可逆的,因此由可逆矩陣的性質(zhì)易知:

仿射變換的乘積是仿射變換;

恒等變換是仿射變換;

仿射變換是可逆的,且它的逆變換也是仿射變換。仿射變換還有以下性質(zhì):第二十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日性質(zhì)1仿射變換把直線變成直線。證明在仿射坐標(biāo)系中直線用一次方程表示,而仿射變換是用坐標(biāo)的一次式給出的,所以它把直線的一次方程變?yōu)橐淮畏匠?即為直線。類似于正交點變換誘導(dǎo)平面的一個向量變換,仿射點變換τ也誘導(dǎo)平面的一個向量變換,仍記為τ。如果點變換τ的公式為(3.1),則向量變換τ的公式為

(3.2)其中，(u,v)是平面上任一向量的坐標(biāo),(u',v')是τ()的坐標(biāo),系數(shù)矩陣A=()是可逆的,這樣的向量變換稱為仿射向量變換。今后我們談到仿射(點)變換τ在向量上的作用時,指的就是τ誘導(dǎo)的向量變換在該向量上的作用。

第二十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日

與正交變換類似,我們有

性質(zhì)2仿射變換保持向量的線性關(guān)系不變。證明將向量的坐標(biāo)寫成列矩陣的形式,即于是(3.2)可寫成現(xiàn)設(shè)有線性關(guān)系,則根據(jù)性質(zhì)1和性質(zhì)2,仿射變換把兩條平行的直線變?yōu)閮蓷l平行的直線,而且仿射變換保持共線三點的簡單比不變。設(shè)P,Q,R三點共線,，仿射變換τ將P,R,Q變成P’,Q’,R’,則P’,Q’,R’共線且,于是第二十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日性質(zhì)3仿射變換將二次曲線變?yōu)槎吻€。因為二次曲線的方程是關(guān)于坐標(biāo)x,y的二次方程,而仿射變換是用坐標(biāo)的一次式給出的,因此仿射變換將關(guān)于x,y的二次方程變?yōu)殛P(guān)于x',y'的二次方程,即仍為二次曲線。由性質(zhì)2還可得到

定理3.1

仿射變換τ把任意一個仿射標(biāo)架Ⅰ變成一個仿射標(biāo)架Ⅱ,并且任一點P的Ⅰ坐標(biāo)等于τ(P)的Ⅱ坐標(biāo)。第二十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日

定理3.2

平面上任給兩組不共線的三點:

則存在唯一的仿射變換把,i=1,2,3。

證明和它的對應(yīng)點(i=1,2,3)的坐標(biāo)分別代入(3.1),得到關(guān)于b的方程組:

由于不共線,所以行列式第二十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日因此,以上兩個方程組有唯一解利用以上兩個方程組容易驗證:兩邊取行列式并注意到不共線條件,得到因而由以上得出的公式是將(i=1,2,3)的唯一的仿射變換。第二十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日

定理3.3

在一個仿射變換下,平面圖形的面積按同一比值改變。證明因為平面圖形的面積可作為若干個三角形面積之和的極限,所以我們只須對三角形來證明這一結(jié)論就行了。設(shè)τ是一仿射變換,在仿射標(biāo)架Ⅰ=｛O;｝下的公式為

.又設(shè)τ將三角形ABC變到三角形A'B'C',第二十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日

則

其中，正負(fù)號與行列式的符號相同。所以。即經(jīng)過仿射變換τ后,一個三角形在變換后的面積與變換前的面積之比是常數(shù),常數(shù)為|A|的絕對值,稱為仿射變換的變積系數(shù)。第三十頁，共六十三頁，2022年，8月28日

仿射變換τ的公式中的系數(shù)矩陣的行列式與仿射標(biāo)架的選取無關(guān)。設(shè)τ在Ⅰ中的公式的系數(shù)矩陣為A,那么τ在仿射標(biāo)架Ⅱ中的公式的系數(shù)矩陣為其中H是從Ⅰ到Ⅱ的過渡矩陣,于是思考題：正交變換的變積系數(shù)是多少?變積系數(shù)為1的仿射變換是否一定為正交變換?請舉例說明。定義3.2

設(shè)仿射變換τ的系數(shù)矩陣為A,若|A|>0,則稱τ是第一類的;若|A|<0,則稱τ是第二類的。

第三十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日

定理3.4

平面上的任何一個仿射變換可分解為一個正交變換與一個沿兩個互相垂直方向伸縮的乘積。

證明任取一直角坐標(biāo)系,由(3.1)給出的仿射變換τ把單位圓變?yōu)橐粋€橢圓(圖5.3),設(shè)它的中心為O’,而是兩條互相垂直的對稱軸(或主軸),記向量將它們單位化第三十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日我們有仿射坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系。又設(shè)在τ下,的原象為,即,由于橢圓的兩條對稱軸是互相共軛的,即每一條對稱軸的平行弦中點軌跡沿著另一條的方向,而仿射變換τ保持共軛性不變(參見下一節(jié)),因此與也是單位圓上兩個互相垂直的半徑向量,故為一直角坐標(biāo)系。利用推論3.1，有第三十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日

正交變換σ:

伸縮變換α:

因此ασ:

故τ=ασ,即τ分解為正交變換σ與伸縮α的乘積。

第三十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日§4二次曲線的度量分類與仿射分類在1872年,德國數(shù)學(xué)家F.Klein提出了按變換群

給各種幾何學(xué)科進行分類的思想,對幾何學(xué)的研究

有很大的影響。對這一思想,我們將作一簡單的介

紹。以平面上二次曲線為研究對象,說明它在度量

幾何學(xué)(歐幾里得幾何學(xué))與仿射幾何學(xué)中各是怎樣

分類的。第三十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日

1.變換群與幾何學(xué)科分類由§2和§3中我們知道,平面上所有正交變換的集合構(gòu)成平面上的一個變換群,稱之為平面上的正交群;平面上所有仿射變換的集合也構(gòu)成平面上的一個變換群,稱之為仿射群.

如果變換群G中的一個子集H也構(gòu)成一個變換群,則稱H為G的子變換群。由于正交變換也是仿射變換,所以正交群是仿射群的子變換群。另外,平面上繞原點的旋轉(zhuǎn)變換的全體也構(gòu)成群,稱為平面上的旋轉(zhuǎn)群,平面上的剛體運動的全體也構(gòu)成群,稱為平面上的運動群。以上變換群的關(guān)系為旋轉(zhuǎn)群運動群正交群仿射群。第三十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日

定義4.1

幾何圖形在正交變換下的不變性質(zhì)(或幾何量)稱為圖形的度量性質(zhì)(或正交不變量),研究這些性質(zhì)的幾何學(xué)稱為度量幾何學(xué)(即歐幾里得幾何學(xué));幾何圖形在仿射變換下的不變性質(zhì)(或幾何量)稱為圖形的仿射性質(zhì)(或仿射不變量),研究仿射性質(zhì)的幾何學(xué)稱為仿射幾何學(xué)。由于正交群是仿射群的子變換群,所以仿射性質(zhì)(仿射不變量)也是度量性質(zhì)(正交不變量)。但是反之,度量性質(zhì)不一定是仿射性質(zhì)。仿射性質(zhì)有共線、平行、相交、中心對稱等。度量性質(zhì)有垂直、軸對稱等。仿射不變量有共線三點的簡單比,代數(shù)曲線的次數(shù)等。正交不變量有兩點間的距離、兩向量的夾角、圖形的面積以及二次曲線的等。

第三十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日

一般而言,仿射變換可以改變兩點之間的距離、兩直線間的夾角,因此，關(guān)于距離、角度等的性質(zhì)和不變量就不是仿射性質(zhì)和仿射不變量。

二次曲線直徑的共軛性是仿射性質(zhì),理由如下:

首先在仿射變換τ下,二次曲線C的弦變成二次曲線C’的弦,C的平行弦變成C’的平行弦;C的弦的中點變成C’的弦的中點,所以如果l是C的直徑,則τ(

)=是C'的直徑。第三十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日

設(shè)是C的一對共軛直徑(此時假設(shè)C是中心曲線),的方向為。由于的方向共軛于的方向,所以有

設(shè)則有其中,B是仿射變換τ的系數(shù)矩陣。第三十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日

于是

其中，是τ(C)=C'的二次項Φ(x',y')的矩陣,即故是C'的一對共軛直徑。第四十頁，共六十三頁，2022年，8月28日2.二次曲線的度量分類經(jīng)過平面上的一個正交變換或仿射變換,平面上的一個圖形變成另一圖形,它們之間有什么樣的關(guān)系呢?為此給出如下定義。定義4.2

如果有一個平面的正交變換把變到,那么平面上的圖形 稱為正交等價的(或度量等價的),記為～。如果有一個平面的仿射變換將變到，那么平面上的圖形和稱為仿射等價的,也記為。第四十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日

在此,圖形看作由點組成的集合,所謂一變換把圖形變到,就是指這個變換引起集合到的一個雙射。由于正交變換包含了剛體運動和反射,因此所謂兩個圖形是正交等價的就是兩個圖形可以重合的意思。不論是正交等價還是仿射等價都是圖形間的一種“關(guān)系”。由于正交變換的全體構(gòu)成一個變換群,所以作為一個“關(guān)系”來講具有如下三個性質(zhì):i反身性,即～;ii對稱性,若～,則～;iii傳遞性,若～,～,則～。第四十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日

仿射等價這種“關(guān)系”也具有以上三個性質(zhì)。具有以上三個性質(zhì)的“關(guān)系”稱為等價關(guān)系。于是正交等價和仿射等價的關(guān)系都是等價關(guān)系。從每一圖形C出發(fā),考慮所有與C正交等價的圖形,就得到圖形的一個集合，稱為C的正交等價類，記為［C］。由于［C］中任意兩個圖形都與C正交等價,根據(jù)對性和傳遞性,所以它們也正交等價。這樣,由正交等價的關(guān)系我們就把平面上的圖形分成了一些正交等價類，每一類中任意兩個圖形都正交等價，而不同類中的圖形都不正交等價。同樣,根據(jù)仿射等價的關(guān)系,把平面上的圖形分成一些仿射等價類。由正交群仿射群，從而每個正交等價類都包含在某一個仿射等價類中作為它的一部分。

第四十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日

前一章中,我們用直角坐標(biāo)變換,將二次曲線的方程化簡為九類。由于直角坐標(biāo)變換和正交點變換的公式在形式上是一致的,所以可以把直角坐標(biāo)變換理解為正交變換,在一個正交等價類中找出方程最簡單的曲線作為此正交等價類的代表。因此,可以將關(guān)于二次曲線分類定理改述為關(guān)于二次曲線度量分類的定理。

第四十四頁，共六十三頁，2022年，8月28日

定理4.1

在直角坐標(biāo)系中任意二次曲線度量(正交)等價于下列曲線之一:

其中，a,b,p均為正數(shù)。這九種曲線彼此不度量等價,且同一種方程表示的曲線當(dāng)系數(shù)不同時,它們也彼此不度量等價。因此,二次曲線共有無窮多個度量等價類。

第四十五頁，共六十三頁，2022年，8月28日

3.二次曲線的仿射分類

定理4.2

在仿射坐標(biāo)系中，任意二次曲線仿射等價于下列曲線之一：將定理4.1中的九種方程用仿射變換進一步簡化就得到定理4.2。第四十六頁，共六十三頁，2022年，8月28日

前五種方程作變換

對作變換對

這九種曲線彼此不仿射等價,但任一條二次曲線可以仿射等價于其中之一。因此,二次曲線的仿射等價類共有九個。第四十七頁，共六十三頁，2022年，8月28日例4.1

證明:橢圓的任意一對共軛直徑把橢圓的內(nèi)部分成四塊面積相等的部分。證明任給一個橢圓C,任取它的一對共軛直徑和。由定理4.2知,橢圓C與單位圓在同一個仿射類中,所以存在仿射變換τ把C變到。由于直徑的共軛性是仿射不變的，因此，τ把,變成的一對共軛直徑和。設(shè)C的內(nèi)部被和分成的四塊是(i=1,2,3,4),的內(nèi)部被和分成的相應(yīng)四塊是(i=1,2,3,4),則顯然有

(i=1,2,3,4)。因為圓的共軛直徑互相垂直,所以(i=1,2,3,4)的面積彼此相等。由與的面積之比等于τ的變積系數(shù)(i=1,2,3,4),

所以(i=1,2,3,4)的面積也彼此相等。

第四十八頁，共六十三頁，2022年，8月28日

§5空間的正交變換與仿射變換

與平面的情形一樣,可以討論空間的剛體運動、正交變換與仿射變換。由于證明的方法是類似的,所以對于某些結(jié)論不加以證明。第四十九頁，共六十三頁，2022年，8月28日1.空間的正交變換

定義5.1

空間的一個點變換,如果保持點之間的距離不變,稱之為正交(點)變換(或等距變換)。

例5.1

空間中取定一點O,取定一向量,對于任意一點P,規(guī)定它在映射σ下的像P'滿足則稱σ是沿方向的平移。易見平移保持點之間的距離不變,因此,平移是正交變換。

例5.2

空間中所有點繞一定直線的旋轉(zhuǎn)是正交變換。

例5.3

取定一平面π,設(shè)映射σ把空間中每一個點對應(yīng)到它關(guān)于平面π的對稱點,則σ稱為關(guān)于平面π的鏡面反射,簡稱反射,鏡面反射是正交變換。

第五十頁，共六十三頁，2022年，8月28日

空間的正交變換的性質(zhì)有:

性質(zhì)1

恒等變換是正交變換。

性質(zhì)2

正交變換的乘積是正交變換。

性質(zhì)3

正交變換是雙射,正交變換的逆變換是正交變換。由以上三個性質(zhì)得,空間的正交變換的全體組成的集合是空間的一個變換群,稱為空間的正交變換群,簡稱為正交群。由正交點變換誘導(dǎo)的正交向量變換有如下性質(zhì):

性質(zhì)4

正交變換保持向量的內(nèi)積不變,保持向量的線性關(guān)系不變。由性質(zhì)4很容易得到

性質(zhì)5

正交變換將直線變成直線,并保持共線三點的簡單比不變。

性質(zhì)6

正交變換將平面變成平面，將相交平面變成相交平面，將平行平面變成平行平面。第五十一頁，共六十三頁，2022年，8月28日

定理5.1

正交變換σ將直角標(biāo)架Ⅰ變成直角標(biāo)架Ⅱ,且使任一點P的Ⅰ坐標(biāo)等于σ(P)的Ⅱ坐標(biāo)。反之,具有此性質(zhì)的點變換一定是正交變換。

定理5.2

空間的正交(點)變換σ在一直角坐標(biāo)系中的公式為

(5.3)

其中，是正交矩陣。反之,如果空間的一個點變換σ在一個直角坐標(biāo)系中的公式為(5.3),且系數(shù)矩陣是正交矩陣,則σ是正交(點)變換。第五十二頁，共六十三頁，2022年，8月28日

定義5.2

空間的正交變換σ,若它在直角坐標(biāo)系中的公式的系數(shù)矩陣A的行列式|A|=+1,則稱σ是第一類的；若|A|=-1,則稱σ是第二類的。設(shè)σ是例5.2中轉(zhuǎn)角為θ的旋轉(zhuǎn)。以l為z軸建立直角坐標(biāo)系Ⅰ=,σ把Ⅰ變成直角坐標(biāo)系Ⅱ=,則有因此從Ⅰ到Ⅱ的坐標(biāo)變換公式為第五十三頁，共六十三頁，2022年，8月28日

空間中任取一點P,設(shè)P的Ⅰ坐標(biāo)為(x,y,z),σ(P)=P’的Ⅰ坐標(biāo)為(x’,y’,z’)。由定理5.1,P’的Ⅱ坐標(biāo)為(x,y,z)。對P’應(yīng)用公式(5.4)得

現(xiàn)在把公