離散傅里葉變換(DFT)

第三章離散傅里葉變換（DFT）傅立葉級數(shù)（DFS）傅立葉變換（DFT）DFT應(yīng)用DFT存在的問題FSFTDFSDTFT：

FS：傅立葉級數(shù)展開,用于分析連續(xù)周期信號,時域上任意連續(xù)的周期信號可以分解為無限多個正弦信號之和，在頻域上就表示為離散非周期的信號，即時域連續(xù)周期對應(yīng)頻域離散非周期的特點。FT：傅立葉變換，用于分析連續(xù)非周期信號，由于信號是非周期的，它必包含了各種頻率的信號，所以具有時域連續(xù)非周期對應(yīng)頻域連續(xù)非周期的特點。DTFT：離散時間傅立葉變換，它用于離散非周期序列分析，由于信號是非周期序列，它必包含了各種頻率的信號，所以對離散非周期信號變換后的頻譜為連續(xù)的，即有時域離散非周期對應(yīng)頻域連續(xù)周期的特點。DFS：離散時間傅立葉級數(shù)，離散周期序列信號，取主值序列，得出每個主值在各頻率上的頻譜分量，這樣就表示出了周期序列的頻譜特性。離散性諧波性周期性離散性諧波性衰減性連續(xù)周期離散FS非周期DTFTDFSFT密度性

連續(xù)性

周期性密度性

連續(xù)性

衰減性采樣采樣周期周期DFT的提出：離散傅里葉變換不僅具有明確的物理意義，相對于DTFT，它更便于用計算機處理。但是，直至上個世紀(jì)六十年代，由于數(shù)字計算機的處理速度較低以及離散傅里葉變換的計算量較大，離散傅里葉變換長期得不到真正的應(yīng)用，快速離散傅里葉變換算法的提出，才得以顯現(xiàn)出離散傅里葉變換的強大功能，并被廣泛地應(yīng)用于各種數(shù)字信號處理系統(tǒng)中。近年來，計算機的處理速率有了驚人的發(fā)展，同時在數(shù)字信號處理領(lǐng)域出現(xiàn)了許多新的方法，但在許多應(yīng)用中始終無法替代離散傅里葉變換及其快速算法?！?、離散時間傅立葉變換

“DTFT”是“DiscreteTimeFourierTransformation”的縮寫。傳統(tǒng)的傅立葉變換（FT）一般只能用來分析連續(xù)時間信號的頻譜，而計算機只會處理離散的數(shù)字編碼消息，所以應(yīng)用中需要對大量的離散時間序列信號進(jìn)行傅立葉分析。DTFT就是對離散非周期時間信號進(jìn)行頻譜分析的數(shù)學(xué)工具之一。其中ω為數(shù)字角頻率，單位為弧度。注意：非周期序列，包含了各種頻率的信號。當(dāng)離散的信號為周期序列時，嚴(yán)格的講，離散時間傅里葉變換是不存在的，因為它不滿足信號序列絕對級數(shù)和收斂（絕對可和）這一傅里葉變換的充要條件，但是采用DFS（離散傅里葉級數(shù)）這一分析工具仍然可以對其進(jìn)行傅里葉分析。局限性：離散時間傅里葉變換（DTFT）是特殊的Z變換，在數(shù)學(xué)和信號分析中具有重要的理論意義。但在用計算機實現(xiàn)運算方面比較困難。這是因為，在DTFT的變換對中，離散時間序列在時間n上是離散的，但其頻譜在數(shù)字角頻率ω上卻是連續(xù)的周期函數(shù)。而計算機只能處理變量離散的數(shù)字信號。所以，如果要想利用計算機實現(xiàn)DTFT的運算，必須建立時域離散和頻域離散的對應(yīng)關(guān)系。§1、傅里葉級數(shù)周期為N的序列基頻序列為k次諧波序列為因而，離散傅里葉級數(shù)的所有諧波成分中只有N個是獨立的。因此在展開成離散傅里葉級數(shù)時，我們只能取N個獨立的諧波分量，通常取k=0到(N-1).∴也是以N為周期的周期序列故所有諧波成分中{}只有N個是獨立的，可以用這N個獨立成分將展開。

是一個周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)變換對，這種對稱關(guān)系可表為：習(xí)慣上：記1.周期性2.共軛對稱性3.可約性4.正交性WN的性質(zhì):是周期序列離散傅立葉級數(shù)第k次諧波分量的系數(shù)，也稱為周期序列的頻譜。可將周期為N的序列分解成N個離散的諧波分量的加權(quán)和，各諧波的頻率為，幅度為

DFS變換對公式表明，一個周期序列雖然是無窮長序列，但是只要知道它一個周期的內(nèi)容（一個周期內(nèi)信號的變化情況），其它的內(nèi)容也就都知道了，所以這種無窮長序列實際上只有N個序列值的信息是有用的，因此周期序列與有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。則DFS變換對可寫為DFS[·]——離散傅里葉級數(shù)變換IDFS[·]——離散傅里葉級數(shù)反變換。與連續(xù)周期信號的傅立葉級數(shù)相比較，周期序列的離散傅立葉級數(shù)的特點：（1）連續(xù)性周期信號的傅立葉級數(shù)對應(yīng)的諧波分量的系數(shù)有無窮多。而周期為N的周期序列，其離散傅立葉級數(shù)諧波分量只有N個是獨立的。（2）周期序列的頻譜也是一個以N為周期的周期序列。例：一個周期矩形序列的脈沖寬度占整個周期的1/4，一個周期的采樣點數(shù)為16點，顯示3個周期的信號序列波形，并要求：（1）用傅立葉級數(shù)求信號的幅度頻譜和相位頻譜。（2）求傅立葉級數(shù)逆變換的圖形，與原信號圖形進(jìn)行對比。clear;N=16;xn=[ones(1,N/4),zeros(1,3*N/4)];xn=[xn,xn,xn];n=0:3*N-1;k=0:3*N-1;Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n‘*k);%DFS變換x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n‘*k))/N;%IDFS變換subplot(2,2,1),stem(n,xn);title('x(n)');axis([-1,3*N,1.1*min(xn),1.1*max(xn)]);subplot(2,2,2),stem(n,abs(x));%顯示IDFS結(jié)果title(‘IDFS|X(k)|’);axis([-1,3*N,1.1*min(x),1.1*max(x)]);subplot(2,2,3);stem(k,abs(Xk));%序列幅度譜title('|X(k)|');axis([-1,3*N,1.1*min(abs(Xk)),1.1*max(abs(Xk))]);subplot(2,2,4);stem(k,angle(Xk));%序列相位譜title('arg|X(k)|');axis([-1,3*N,1.1*min(angle(Xk)),1.1*max(angle(Xk))]);比較可知，逆變換的圖形比原信號的圖形幅度擴(kuò)大很多，主要因為周期序列長度為單周期序列的3倍，做逆變換時未做處理?？蓪DFS改成：x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/(3*3*N);序列周期重復(fù)次數(shù)對序列頻譜的影響：理論上，周期序列不滿足絕對可積條件，因此不能用傅立葉級數(shù)來表示。要對周期序列進(jìn)行分析，可以先取K個周期處理，然后再讓K趨于無窮大，研究其極限情況。基于該思想，可以觀察到序列信號由非周期到周期變化時，頻譜由連續(xù)譜逐漸向離散譜過渡的過程。例：一個矩形序列的脈沖寬度占整個周期的1/2，一個周期的采樣點數(shù)為10點，要求用傅立葉級數(shù)求信號的幅度頻譜。重復(fù)周期數(shù)分別為：1，4，7，10.clear;xn=[ones(1,5),zeros(1,5)];Nx=length(xn);%單周期序列長度Nw=1000;dw=2*pi/Nw;%把2*pi分為Nw份頻率分辨率為dwk=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5));%建立關(guān)于縱軸對稱的頻率相量forr=0:3;K=3*r+1;%1,4,7,10nx=0:(K*Nx-1);%周期延拓后的時間向量x=xn(mod(nx,Nx)+1);%周期延拓后的時間信號xXk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K;%DFSsubplot(4,2,2*r+1),stem(nx,x);axis([0,K*Nx-1,0,1.1]);ylabel('x(n)');subplot(4,2,2*r+2),plot(k*dw,abs(Xk));axis([-4,4,0,1.1*max(abs(Xk))]);ylabel('X(k)');end結(jié)論：序列的周期數(shù)越多，頻譜越是向幾個頻點集中，當(dāng)序列信號的周期數(shù)N為無窮大時，頻譜轉(zhuǎn)化為離散譜。DFS的局限性：在離散傅里葉級數(shù)（DFS）中，離散時間周期序列在時間n上是離散的，在頻率ω上也是離散的，且頻譜是ω的周期函數(shù)，理論上解決了時域離散和頻域離散的對應(yīng)關(guān)系問題。但由于其在時域和頻域都是周期序列，所以都是無限長序列。無限長序列在計算機運算上仍然是無法實現(xiàn)的。因此，還有必要對有限長序列研究其時域離散和頻域離散的對應(yīng)關(guān)系。

我們知道周期序列實際上只有有限個序列值有意義，因此它的許多特性可推廣到有限長序列上。一個有限長序列x(n)，長為N，

為了引用周期序列的概念，假定一個周期序列，它由長度為N

的有限長序列x(n)延拓而成，它們的關(guān)系：

§

2、離散傅里葉變換（DFT）1）主值區(qū)間與主值序列對于周期序列，定義其第一個周期n=0~N-1，為的“主值區(qū)間”，主值區(qū)間上的序列為主值序列x(n)。

x(n)與的關(guān)系可描述為：

數(shù)學(xué)表示：

其中：RN(n)為矩形序列。符號((n))N

是余數(shù)運算表達(dá)式，表示n

對N求余數(shù)。周期序列的主值區(qū)間與主值序列：即nmodN：x(n)與的圖形表示：nn……00例：是周期為N=4的序列，求n=6和n=-1對N的余數(shù)。因此:nn……003362-1例：解：結(jié)論：頻域上的主值區(qū)間與主值序列：

周期序列的離散付氏級數(shù)也是一個周期序列，也可給它定義一個主值區(qū)間，以及主值序列X(k)。數(shù)學(xué)表示：

周期序列的離散傅里葉級數(shù)變換（DFS）公式：

這兩個公式的求和都只限于主值區(qū)間（0~N-1），它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可得到一個新的定義——有限長序列離散傅里葉變換定義。2）離散傅里葉變換的定義即有限長序列的DTFT

長度為N的有限長序列x(n)，其離散傅里葉變換X(k)仍是一個長度為N

的有限長序列，它們的關(guān)系為：

x(n)與X(k)是一個有限長序列離散傅里葉變換對，已知x(n)就能唯一地確定X(k)，同樣已知X(k)也就唯一地確定x(n)，實際上x(n)與X(k)都是長度為N的序列（復(fù)序列）都有N個獨立值，因而具有等量的信息。有限長序列隱含著周期性。

由于DFT借用了DFS，這樣就假設(shè)了序列的周期無限性，但在處理時又對區(qū)間作出限定（主值區(qū)間），以符合有限長的特點，這就使DFT帶有了周期性。另外，DFT只是對一周期內(nèi)的有限個離散頻率的表示，所以它在頻率上是離散的，就相當(dāng)于DTFT變換成連續(xù)頻譜后再對其采樣，此時采樣頻率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的個數(shù)。DFT的矩陣方程表示：有限長序列的離散傅立葉變換（DFT）的意義：1、為序列在離散頻率點上的頻譜值。2、相當(dāng)于頻譜在范圍內(nèi)實施了等間隔采樣，采樣間隔為DFT與Z變換的關(guān)系：長度為N的序列其Z變換：與離散傅立葉變換（DFT）相比較有：可見序列的N點DFT是x(n)的Z變換在單位圓上N點的等間隔采樣。顯然，對于同一序列，當(dāng)頻率采樣點數(shù)不同時，其DFT的值也不同。例：已知，分別求和時的。解：由該例可知：頻率采樣點數(shù)不同，DFT的長度不同，DFT的結(jié)果也不同。3）DFT性質(zhì)：

以下討論DFT的一些主要特性，這些特性都與周期序列的DFS有關(guān)。假定x1(n)與x2(n)是長度為N的有限長序列，其各自的離散傅里葉變換分別為：

X1(k)=DFT[x1(n)]

X2(k)=DFT[x2(n)](1)

線性

DFT[ax1(n)+bx2(n)]=aX1(k)+bX2(k),a,b為任意常數(shù)注意：如果兩序列的長度各不相同，x1(n)為N1點，x2(n)為N2點，則[ax1(n)+bx2(n)]的長度為N3=max(N1,N2)點，其DFT也應(yīng)為N3點。如果N1<N2，則X1(k)應(yīng)為x1(n)增補N2-N1個零值后的DFT。（2）移位性質(zhì)。同理可證明移出與補入的關(guān)系故上式求和可寫為：稱作循環(huán)移位。點周期序列，這種移位進(jìn)來。故移位后仍是，后面的移位，即前面的移出去后移位應(yīng)是整個序列的移的的一個周期，所以對被視作周期序列由于，則：令，由定義得：為的證明：記個抽樣周期，則：左移或右移點序列將)]([)()(])()([)()()()(])()([)()()()()()()()]([)()]([)(110'~111)('10''mnxDFTkXWWrxWrxWkXNnxnxnxWrxWrxWWrxkXrmnWmnxkXkXDFTmnxkXWmnxDFTkXWmnxDFTmnxNmkNNmrmrkrNkrNmkNmNmrNmrmNNrrkNrkNmkNkmrNNnnkNkmkm-=+=+===++=+=-=+--=-=-+-=-=+-=---=-??????循環(huán)移位的圖形解釋：有限長N點序列x(n)的循環(huán)移位定義為：

含義：1)x((n+m))N

表示x(n)的周期延拓序列的移位：

2)x((n+m))NRN(n)表示對移位的周期序列x((n+m))N

取主值序列,所以f(n)仍然是一個長度為N的有限長序列。f(n)實際上可看作序列x(n)排列在一個N等分圓周上，并向左旋轉(zhuǎn)m位。

循環(huán)移位的實質(zhì)：將原序列沿一個方向從一側(cè)移動位，而移出主值區(qū)的各序列值又依次從另一側(cè)進(jìn)入主值區(qū)。f(n)x(n)排列在一個N等分圓周上的圖形表示：移位前左移兩位后從圖中可理解循環(huán)的概念。（3）循環(huán)卷積（定理）*這里只取結(jié)果的主值序列，由于卷積過程只在主值區(qū)間0≤m≤N-1內(nèi)進(jìn)行，所以實際上就是x2(m)的圓周移位，稱為“循環(huán)卷積”，習(xí)慣上常用符號“

”表示循環(huán)卷積，以區(qū)別于線性卷積。*說明：

與一般線性卷積不同，兩個長度都為N點的序列的循環(huán)卷積的長度仍為N點，即周期為N，因此又稱為圓卷積，前式又可寫為：x(n)=x1(n)x2(n)循環(huán)卷積過程:1）由有限長序列x1(n)、x2(n)構(gòu)造周期序列2）計算周期卷積

3）卷積結(jié)果取主值序列N循環(huán)卷積可以看作是周期性卷積，取主值區(qū)間的序列值。每個周期內(nèi)均作卷積具體步驟：N循環(huán)卷積的圖形解釋：反褶循環(huán)移位乘積累加211……211221221……221……776……221……221……N=3循環(huán)卷積的矩陣表達(dá)：例：令x1(n)={1,2,2},x2(n)={1,2,3,4},試計算4點的循環(huán)卷積x1(n)④x2(n)。先將x1(n)補零，使之成為4點序列。

x1(m)={1,2,2,0}a.時域解法x1(n)④x2(n)=當(dāng)n=0解：當(dāng)n=1當(dāng)n=2當(dāng)n=3所以，x1(n)④x2(n)={15,12,9,14}b.頻域解法

x1(n)的4點DFT：

X1(k)={5,-1-2j,1,-1+2j}x2(n)的4點DFT:X2(k)={10,-2+2j,-2,-2-2j}

X1(k)X2(k)={50,6+2j,-2,6-2j}IDFT[X1(k)X2(k)]=x1(n)④x2(n)={15,12,9,14}*例：)()()(951401)(950401)(102121nxnxnynnnxnnnxN=?íì￡￡-￡￡=?íì￡￡￡￡==求的兩個有限長序列長度為（4）循環(huán)相關(guān)定理設(shè)和是兩個具有相同長度N的有限長實序列，定義以下序列為和的循環(huán)互相關(guān)序列：（5）Parseval定理（6）頻域循環(huán)卷積定理*

實際問題的大多數(shù)是求解線性卷積，如信號x(n)通過系統(tǒng)h(n)，其輸出就是線性卷積y(n)=x(n)*h(n)。而循環(huán)卷積比起線性卷積，在運算速度上有很大的優(yōu)越性，它可以采用快速傅里葉變換（FFT）技術(shù)，若能利用循環(huán)卷積求線性卷積，會帶來很大的方便。問題：上述x(n)與h(n)的線性卷積，如果x(n)、h(n)為有限長序列，則在什么條件下能用循環(huán)卷積代替線性卷積而不產(chǎn)生失真。（1）有限長序列的線性卷積與循環(huán)卷積（循環(huán)卷積的應(yīng)用）4）DFT的應(yīng)用*???￥-￥=-=-+=+=>+=<=-33-=O=-==qNNmcLMmlqNnxnxNNaLMaLNLMLNmnxLMNLMNmnxmhnxnhnymnxmhnhnxnyLnhMnx)())((,)(],,max[],max[)()()()()()()()(*)()()()(1010：點進(jìn)行周期延拓，因此對在計算循環(huán)卷積時，要點，為補零點，總之需要取其中時）點（當(dāng)要么就是時），點（當(dāng)?shù)娜≈狄词莿t由于循環(huán)卷積：線性卷積：點序列。是點序列，是假定*N)(*)()()(1)()()()1()(),()(),(22,,01,,1,0)()(2,,01,,1,0)()()1()(),()()(1''''~'~'''''''nhnxnynyLMNnhnxnyLMnhnxnhnxLMLnLnnhnhLMMnMnnxnxLMnhnxnhLnxM==-+==-+?íì-+=-==?íì-+=-==-+而，，直接計算：長度為的一個周期，周期各是周期序列：認(rèn)為步驟點，即：，它們的長度都是列分別作擴(kuò)展，構(gòu)成新序點序列，點序列：對步驟LLLL計算方法與步驟：NN（2）用DFT計算線性卷積例：x(n)(a)0n211h(n)(b)0n221y(n)(c)0n46631*=解：因為M=3,L=3，所以M+L-1=5，即N=50n211……4n0212……40n212……40n212……4計算910111213以上可以依規(guī)律由線性卷積寫出}0,0,1,3,6,10,14,18,18,14,9,3,0{)()()(}0,1,3,6,10,14,18,18,14,9,3,0{)()()(}1,3,6,10,14,18,18,14,9,3,0{)()()(}3,6,10,14,18,18,14,9,3,1{)()()(}6,10,14,18,18,14,9,4,3{)()()(8)(}1,3,6,10,14,18,18,14,9,3,0{)(2}10,14,18,18,14,10,6,6{)(12121212121============nxnxnynxnxnynxnxnynxnxnynxnxnynynynyllc并計算：點周期的周期性延拓，作如果對））算方法，可得：解：依前述循環(huán)卷積計，例:8)(*)()()()()(}1,2,3,4,5,6,3,0{)(}1,1,1,1{)(212121====nxnxnynxnxnynxnxlc。和求，設(shè)兩個序列分別為：混疊點數(shù)為前((M+L-1)-N)，N為循環(huán)卷積點數(shù)，(M+L-1)為線性卷積長度。圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混淆的必要條件是：N≥M+L-1

（3）無限長序列的線性卷積疊接相加法原理：說明：由于線性卷積的特點是將一個序列（如h(n)）翻轉(zhuǎn)后，沿坐標(biāo)軸從左邊移入x(n)，在右邊移出x(n)，所以在x(n)的前后將有一“過渡過程”，其長度為M-1。因此，將x(n)分段后，在每一小段的前后都將產(chǎn)生這樣的過渡過程，（4）用DFT對信號進(jìn)行譜分析采樣截短DFT用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析是一種近似分析方法。對于連續(xù)的單一頻率周期信號:為信號的頻率可以得到單一譜線的DFT結(jié)果，但這是和作DFT時數(shù)據(jù)的截取長度選得是否恰當(dāng)有關(guān)，截取長度N選得合理，XN(k)可完全等于Xa(jΩ)的采樣。窗口傅立葉變換對離散時間信號序列加窗截取會造成兩個影響：a）降低了頻率分辨率，也稱為物理分辨率；b）造成頻率的泄漏。051015-1-0.500.51t/Tx(n)0510150246810kX(k)051015-1-0.500.51t/Tx(n)0510150246810kX(k)(a)(b)(c)(d)不同截取長度的正弦信號及其DFT結(jié)果物理頻率分辨率越高就越能真實刻劃信號的頻率構(gòu)成成分，或者說越能體現(xiàn)細(xì)節(jié)（即在頻域中描述得比較精確）對離散時間信號xa(n)截取有限長度為N的信號過程可以表示為：比如你的信號中有個5Hz，10Hz，10.2Hz，20Hz，25Hz等正弦成分，他們相鄰的最小頻率間隔是10.2-10=0.2Hz，也就是說你需要把10和10.2Hz這兩個成分分開即可（如果分辨率太高則數(shù)據(jù)量太長，浪費計算時間，如果分辨率太低，則無法把這兩個頻率分開），所以你可以選擇截取的最小時長為t=1/(10.2-10)=5秒。這樣再根據(jù)你的采樣頻率取設(shè)定采樣點數(shù)，比如采樣頻率是fs=100Hz，那么5秒則需要N=t*fs=5*100=500點。這是滿足以上理論的最小點數(shù)。物理頻率分辨率對于補零至M點的DFT，只能說它的分辨率僅具有計算上的意義，并不是真正的、物理意義上的頻譜。頻譜分辨率的提高只能在滿足采樣定理的條件下增加時域采樣長度來實現(xiàn)。DFT相當(dāng)于對單位圓上Z變換所作的等間隔的采樣，也就是說對于DTFT在頻率上作了N點的采樣。那么其頻率的分辨率：這就是所謂的計算分辨率。若一定，則要求的采樣點的數(shù)目N應(yīng)該滿足靠補零來增加DFT的點數(shù)，只能提高其“名義”分辨率，實際的分辨率是有數(shù)據(jù)窗的寬度決定的計算分辨率5）DFT應(yīng)用中的幾個問題（1）頻率分辨率及DFT參數(shù)的選擇（2）柵欄效應(yīng)

N點DFT是在頻率區(qū)間[0，2π]上對信號頻譜進(jìn)行N點等間隔采樣，得到的是若干個離散的頻譜點X(k)，且它們限制在基頻的整數(shù)倍上，這就好像在柵欄的一邊通過縫隙看另一邊的景象一樣，只能在離散點處看到真實的景象，其余部分頻譜成分被遮擋，所以稱之為柵欄效應(yīng)。因此，那些被柵欄擋住的（頻譜）部分是看不到的，這就有可能漏掉一些較大頻率分量。當(dāng)然，在實際問題中，"大的頻譜分量"被擋住的情形還是很少的，柵欄效應(yīng)并不是一個很嚴(yán)重的問題。從根本上講，用離散的DFT譜來近似連續(xù)的DTFT譜，誤差總是有的，即從理論上，柵欄效應(yīng)是不可能消除的。

減小柵欄效應(yīng)方法：尾部補零，使譜線變密，增加頻域采樣點數(shù)，原來漏掉的某些頻譜分量就可能被檢測出來。補零問題：（即增加DFT的計算式中的N值，同時保持原有數(shù)據(jù)不改變）填補零值可以改變對DTFT的采樣密度，人們常常有一種誤解，認(rèn)為補零可以提高DFT的頻率分辨率。事實上通常規(guī)定DFT的頻率分辨率為，這里的N是指信號x(n)的有效長度，而不是補零的長度。不同長度的x(n)其DTFT的結(jié)果是不同的；而相同長度的x(n)盡管補零的長度不同其DTFT的結(jié)果應(yīng)是相同的，他們的DFT只是反映了對相同的DTFT采用了不同的采樣密度。補零內(nèi)插提高的叫計算分析精確度，擴(kuò)展時間長度提高的是物理精確度，前者只是看著頻譜變精確了，卻可能忽略掉了一些細(xì)節(jié)，而后者是實實在在的提高精度。

序列補零帶來分析分辨率的提高，但是彌補不了物理分辨率的不足紅色的曲線是矩形窗序列的DTFT和正弦信號的正頻率分量在頻域卷積后頻移的結(jié)果，藍(lán)色的對應(yīng)負(fù)頻率分量，綠色的曲線是最終有限長正弦序列的DTFT的模值擴(kuò)展時間長度提高物理精確度（物理分辨率）（3）頻譜泄漏在分析信號頻譜的時候，由于受到計算能力的影響，只能處理有限長的信號。這就必須截取時間函數(shù)的一個有限范圍，即把觀測到的信號限制在一定的時間間隔之內(nèi)。換句話說，就是要取出信號的某一個時間段。這種過程就是截斷數(shù)據(jù)的過程。

這種截斷過程相當(dāng)于對信號進(jìn)行加窗，即信號乘以窗函數(shù)。根據(jù)傅里葉變換的卷積定理，信號加窗后的頻譜相當(dāng)于原信號頻譜與窗信號的頻譜在頻域作卷積。顯然，這種卷積過程將造成信號頻譜的失真。而且，如果信號所乘的是矩形窗函數(shù)（通常，簡單的截取信號就相當(dāng)于乘的是矩形窗），失真頻譜將產(chǎn)生“拖尾”（頻譜延伸擴(kuò)展）現(xiàn)象――原有受限的頻譜圖形“擴(kuò)展”開來，這就稱之為