《必要條件與充分條件（3）》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)必修第一冊北師大】

《必要條件與充分條件（3）》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1．掌握充要條件的概念．2．理解充要條件的意義．3．會判斷條件與結(jié)論之間的充要性．4．提高數(shù)學(xué)表達、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)思維的準(zhǔn)確性，培養(yǎng)邏輯思維能力．教學(xué)重難點教學(xué)重難點重點：掌握充要條件的概念和意義；會判斷條件與結(jié)論之間的充要性．難點：會判斷條件與結(jié)論之間的充要性．教學(xué)過程教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入回顧：必要條件、充分條件的理解．分析：（1）一般地，當(dāng)命題“若p，則q”是真命題時，即p?q，稱p是q（2）一般地，當(dāng)命題“若p，則q”是真命題時，即q?p，稱p是q思考：當(dāng)命題“若p，則q”是真命題時，既有p?q、又有即q?p，p是答案：充要條件．今天，我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)必要條件與充分條件（3）——充要條件．設(shè)計意圖：從回顧舊知入手，從回顧前兩節(jié)課所學(xué)必要條件和充分條件，來理解充要條件，建立新舊知識連接，思考充分、必要的關(guān)系，引出充要條件，從而順利引出本節(jié)課題．二、新知探究探究一：充要條件的理解．實例分析：用學(xué)過的必要條件和充分條件分析以下定理．勾股定理：如果一個三角形為直角三角形，那么它的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．勾股定理的逆定理：如果一個三角形的一邊的平方等于其他兩邊的平方和，那么這條邊所對的角是直角．師分析勾股定理：“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”是“三角形為直角三角形”的必要條件；“三角形為直角三角形”是“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的充分條件．答案：在勾股定理的逆定理中，“三角形有一邊所對的角是直角”是“三角形這邊的平方等于其他兩邊的平方和”的必要條件；“三角形的一邊的平方等于其他兩邊的平方和”是“這條邊所對的角是直角”的充分條件．總結(jié)：1．一般地，如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充分且必要條件，簡稱p是q的充要條件2．p是q的充要條件也常常說成“p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立”或“p與q等價”．3．當(dāng)p是q的充要條件時，q也是p的充要條件．注意：充要條件是相互的，同時存在的，p?q即p和思考：判斷p是q的什么條件時，有哪些可能情況？探究二：充要條件的可能情況．分析：（1）如果p?q，且q不能推出p，則稱p是（2）如果p不能推出q，且q?p，則稱p是（3）如果q?p，且q?p，則稱（4）如果p不能推出q，且q不能推出p，則稱p是q的既不充分也不必要條件．注意：p是q的充要條件也可以說成是：eq\o\ac(○,1)p和q是等價的；eq\o\ac(○,2)p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立；eq\o\ac(○,3)q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立．探究三：充要條件的判斷方法．知識點：（1）定義法：直接判斷“若p，則q”以及“若q，則p”的真假；（2）集合法：即利用集合之間的包含關(guān)系判斷．（3）傳遞法：充分條件和必要條件具有傳遞性，即由p1?p小結(jié)：對充要條件的理解：（1）p是q的充要條件意味著“p成立，則q一定成立；p不成立，則q一定不成立”．（2）要判斷p是否為q的充要條件，需要進行兩次判斷:：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以說p是q的充要條件，否則，就不能說p是q的充要條件．設(shè)計意圖：通過對充要條件的理解、充要條件的可能情況以及判斷方法的思考三個探究活動，循循漸進，深入理解充要條件．師生互動，啟發(fā)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力．三、應(yīng)用舉例例1：在下列各題中，試判斷p是q的什么條件.（1）p:A?B（2）p:a=b（3）p:四邊形的對角線相等，q:四邊形是平行四邊形．解：（1）因為命題“若A?B，則A∩B=A”為真命題，并且，“若A∩B也是真命題，所以p是q的充要條件．（2）因為“a=b”?“a=b”，但是“a=b=|-1|”，而“1≠-1”，所以p是q（3）因為“四邊形的對角線相等”不能推出“四邊形是平行四邊形”，并且“四邊形是平行四邊形”也不能推出“四邊形的對角線相等”，所以p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件．例2：設(shè)集合A={1，a2，-2}，集合B={2，4}，則“a=2解：若a=2，則A若A∩B={4}，則a2=4“a=2”是“A∩B={4}例3：若x∈[1，2]，則ax解：因為x∈[1，2]，ax2因為x∈[1，2]，所以ax2∈[4a,a]，所以a≤-1四、課堂練習(xí)1．判斷下列說法是否正確，正確的在它的后面的括號里畫“√”，錯誤的畫“×”．（1）若p是q的充要條件，則q成立當(dāng)且僅當(dāng)p成立．（）（2）若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題．（）（3）若p?q和q?p有一個成立，則p一定不是（4）q不是p的必要條件時，“p推不出q”成立．（）2．設(shè)a，b是實數(shù)，則“a+b>0”是ab3．指出下列各組命題中，p是q的什么條件．（1）p：-（2）p：x+2≠y（3）p：a是自然數(shù)，q：a是正數(shù)．4．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分條件，則求實數(shù)參考答案：1．（1）√（2）√（3）√（4）√解析：由充要條件的理解得出．2．既不充分也不必要解析：在a、b是實數(shù)的條件下，若a=-1，b=2，則即a+b>0不能推出ab>0，a+b>0不是ab>0的充分條件；若a=-1，b=-1，則ab>0成立，而a+b>0不成立，即ab>0不能推出3．（1）p是q的充要條件；（2）p是q的必要不充分條件；（3）p是q的既不充分也不必要條件解析：（1）因為-1≤x≤5?-（2）由q：（x+2）2≠y2，得x+2≠y且x+2≠（3）a是自然數(shù)，但0不是正數(shù)，故p推不出q；又1.2是正數(shù)，但1.2不是自然數(shù)，故q推不出p，因此p是q的既不充分也不必要條件．4．-1解析：由x2>1，x<-1或x>1，又“x2>1”是“x<a”的必要不充分條件，則由“x<a”可以推“x2>1”，但由“五、課堂小結(jié)1．對充要條件的理解：（1）p是q的充要條件意味著“p成立，則q一定成立；p不成立，則q一定不成立”．（2）要判斷p是否為q的充要條件，需要進行兩次判斷:：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以說p是q的充要條件，