交大版第八節(jié)多元函數(shù)極值及其求法

1、方向?qū)?shù)定義：2、計算公式：空間方向?qū)?shù)3、方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在4、梯度5、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系1)方向?qū)?shù)沿梯度方向取最大值。2)3)第九節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法一、問題的提出二、多元函數(shù)的極值和最值三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法實例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進價1元，外地牌子每瓶進價1.2元，店主估計，如果本地牌子的每瓶賣x

元，外地牌子的每瓶賣y元，則每天可賣出70-5x+4y

瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y

瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益為求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.一、問題的提出二、多元函數(shù)的極值和最值1、二元函數(shù)極值的定義有則稱f(M0)為f(M)的一個極大值(或極小值).M0稱為極大值點(極小值點).極值是一個局部性的概念.極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.(1)(2)例1例2例3zxy2、多元函數(shù)取得極值的條件證:

仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的駐點.駐點極值點問題：如何判定一個駐點是否為極值點？注意：zxy(偏導(dǎo)存在的)定理2.則(充分條件)時可能有極值,也可能沒有極值，還需另作討論．(x0,y0)是極值點例4解：令解得駐點(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2)故極小值f(1,0)=–5點(1,0):-126<0.且A＝12>0,點(1,2):=126>0,不是極值點點(–3,0):=126>0,不是極值點點(–3,2):=-(–12)(–6)<0,且A=–12<0故極大值

f(–3,2)=31

另外，f(x,y)在其偏導(dǎo)數(shù)不存在的點處也可能會取得極值.z0xy求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.

與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3、多元函數(shù)的最值

特別地，在應(yīng)用問題中，若根據(jù)問題的性質(zhì)，知道目標(biāo)函數(shù)f(x,y)的最大值(或最小值)一定在D內(nèi)取得.

而這時f(x,y)在D內(nèi)僅有一個駐點.則可以肯定該駐點便是f(x,y)在D上的最大值點(最小值點).解:例5(2).求每天的收益為的最大值.解這一組數(shù)就是最大值點。某車間要用鋼板制造一個容積為20m3的有蓋長方體水箱，問取怎樣的尺寸才能使所用材料最??？zxy解：設(shè)水箱長為x,寬為y,高為z則表面積S=2(xy+yz+xz)例6故(x>0,y>0)令解得駐點

由題意該問題的最小值一定存在，又x>0,y>0時只有唯一的駐點，故可斷定時S取最小值.此時無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.實例：小王有400元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買x張磁盤，y盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數(shù)為．設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這400元以達到最佳效果．問題的實質(zhì)：求在條件下的極值點．三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對自變量有附加條件的極值．先構(gòu)造函數(shù):此函數(shù)稱為拉格朗日乘數(shù)函數(shù)其中為某一常數(shù)解出x,y,，其中x,y就是可能的極值點坐標(biāo).

得：引進函數(shù):(1)則不難看出，(1)中前兩式就是拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個的情況:要找函數(shù)u=f(x,y,z,t)在條件下的極值。先構(gòu)造函數(shù)其中均為常數(shù)，可由偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出，即得可能的極值點坐標(biāo).解則例7例8.在拋物面z=x2+y2和平面x+y+z=1的交線上，求到坐標(biāo)原點的最大和最小距離.解：設(shè)(x,y,z)為交線上任一點.它到原點的距離為：?(x,y,z)xyz0在條件于是問題歸結(jié)為求下的條件極值由于d與d2=x2+y2+z2同時達到極值.故設(shè)在條件令代入d便得由于問題的最大值，最小值存在.故將所求x,y,z實例：小王有400元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買x張磁盤，y盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數(shù)為．設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這400元以達到最佳效果．問題的實質(zhì)：求在條件