分析力學(xué)-第2章-動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程課件

第二章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉各朗日方程1.動(dòng)力學(xué)普遍方程2.拉格朗日方程3.動(dòng)能的廣義速度表達(dá)式4.拉格朗日方程的初積分5.碰撞問(wèn)題的拉格朗日方程6.拉格朗日方程的應(yīng)用舉例.第二章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉各朗日方程1.動(dòng)力學(xué)普遍方程2.1引言1：非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題φ1φ2擺長(zhǎng)不定，如何確定其擺動(dòng)規(guī)律？K混沌擺問(wèn)題多桿擺問(wèn)題.引言1：非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題φ1φ2擺長(zhǎng)不定，如何確定其2引言2：慣性力的概念達(dá)朗伯（1717-1785）通過(guò)引入慣性力的概念，建立了著名的達(dá)朗伯原理（用靜力學(xué)建立平衡方程的方法處理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題）；約翰·伯努利（1667-1748）于1717年精確表述了虛位移原理（建立虛位移、虛功的概念，用動(dòng)力學(xué)的方法研究靜力學(xué)中的平衡問(wèn)題）；拉格朗日（1736-1813）應(yīng)用達(dá)朗伯原理，把虛位移原理推廣到非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，建立了動(dòng)力學(xué)普遍方程，進(jìn)一步導(dǎo)出了拉格朗日方程。.引言2：慣性力的概念達(dá)朗伯（1717-1785）通過(guò)引入慣性3vPMlφ其加速度為令R=P+T則ma=R=P

+T擺錘M在受到P、T的同時(shí)，將給施力體（地心和繩子）一對(duì)應(yīng)的反作用力，反作用力的合力為TR'=－R=－ma

此力是擺錘被迫作非慣性運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的“反作用力”，稱為慣性力。a

nφφφPTPTPTa

na

na

n

圖示圓錐擺擺長(zhǎng)為l，擺錘M的質(zhì)量m，在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度為v，錐擺的頂角為2φ，擺錘M受力如圖。RvRvRvR.vPMlφ其加速度為令R=P+T則ma=R=P+4結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)在作非慣性運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，對(duì)于施力于它的物體會(huì)作用一個(gè)慣性力，該力的大小等于其質(zhì)量與加速度的乘積，方向與其加速度方向相反。若用Fg表示慣性力，則有Fg=－ma說(shuō)明：1.此力是不是真實(shí)的力！2.此力作用于施力給質(zhì)點(diǎn)的物體上！3.此力又稱為牛頓慣性力！.結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)在作非慣性運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，對(duì)于施力于它的物體會(huì)作用5引言3：達(dá)朗伯原理一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理設(shè)質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，受力有主動(dòng)力F、約束反力FN，加速度為a，則根據(jù)牛頓第二定律，有FFNFgaMFFNFgaFFNFgaFFNFgaMMma

=F+FNFg=－ma令則F+FN+Fg

=0形式上的平衡方程結(jié)論：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，如果在其上假想地加上一慣性力Fg，則此力與主動(dòng)力、約束反力在形式上組成一平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理。.引言3：達(dá)朗伯原理一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理設(shè)質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，受6二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，受力有主動(dòng)力Fi，約束反力FNi，加速度為ai，假想地加上其慣性力Fgi=－miai，則根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理，F(xiàn)i、FNi與Fgi應(yīng)組成形式上的平衡力系，即對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來(lái)說(shuō)，在運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，虛加于質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)的慣性力與作用于該質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力、約束反力將組成形式上的平衡力系。Fi+

FNi+Fgi=0（i=1，2，…，n）∑MO(Fi)

+

∑MO(

FNi)

+∑MO(

Fgi)

=0∑Fi+

∑

FNi+∑Fgi=0質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理即或.二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)71.動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程是虛位移原理與達(dá)朗伯原理簡(jiǎn)單結(jié)合的產(chǎn)物。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，受主動(dòng)力Fi，約束反力FNi，加速度為ai，虛加上其慣性力Fgi=－miaiFiFNiFgiaiMFNiFNiMMFgiaiFgiaiFiFi則根據(jù)達(dá)朗伯原理，F(xiàn)i、FNi與Fgi，應(yīng)組成形式上的平衡力系，即Fi+

FNi+Fgi=0若質(zhì)點(diǎn)系受理想約束作用，應(yīng)用虛位移原理，有.1.動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程是虛位移原理與達(dá)朗伯原理簡(jiǎn)8或動(dòng)力學(xué)普遍方程表明：在理想約束條件下，在任意瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力和慣性力在質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移上所做虛功之和等于零。則動(dòng)力學(xué)普遍方程的坐標(biāo)分解式為若.或動(dòng)力學(xué)普遍方程表明：在理想約束條件下，在任意瞬時(shí)，作用于質(zhì)9例1.兩均質(zhì)輪質(zhì)量皆為m1，半徑皆為r，對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J；中心用質(zhì)量為m2的連桿連接，在傾角為α的斜面上純滾動(dòng)。求連桿的加速度。α.例1.兩均質(zhì)輪質(zhì)量皆為m1，半徑皆為r，對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量10研究整個(gè)系統(tǒng)，進(jìn)行受力分析；解：設(shè)桿的加速度為a，則αm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasFg1=m1a，F(xiàn)g2=m2a，給連桿以平行于斜面向下的虛位移s，則相應(yīng)地兩輪有轉(zhuǎn)角虛位移，且根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程，得:于是解得.研究整個(gè)系統(tǒng)，進(jìn)行受力分析；解：設(shè)桿的加速度為a，則αm2g11..12..13..14..15(a)(b).(a).16..17..18..19..202.拉格朗日方程將動(dòng)力學(xué)普遍方程用廣義坐標(biāo)表示，即可推導(dǎo)出第二類拉格朗日方程。

n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)受到k個(gè)如下形式的完整約束fi

,又若系統(tǒng)中質(zhì)量為mj的第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)受主動(dòng)力Fj，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)滿足3n個(gè)方程如左，稱為第一類拉格朗日方程，λi稱為拉各朗日未定乘子。*第一類拉格朗日方程用到的較少.2.拉格朗日方程將動(dòng)力學(xué)普遍方程用廣義坐標(biāo)表示，即可推導(dǎo)21拉格朗日1736—1813,法籍意大利人，數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、天文學(xué)家，十九歲成為數(shù)學(xué)教授，與歐拉共同創(chuàng)立變分法，是十八世紀(jì)繼歐拉后偉大的數(shù)學(xué)家。.拉格朗日1736—1813,法籍.22設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，具有s個(gè)完整理想約束，則有N=3n-s個(gè)自由度（廣義坐標(biāo)）。

用q1，q2，…qN表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，矢徑為ri。則ri=ri(q1，q2，…qN，t)對(duì)上式求變分得動(dòng)力學(xué)普遍方程可寫成其中.設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，具有s個(gè)完整理想約束，則有N=3n-23根據(jù)虛位移原理中廣義力與廣義虛位移的表示形式，有因?yàn)橄到y(tǒng)為完整約束，廣義坐標(biāo)相互獨(dú)立，所以廣義坐標(biāo)的變分qk是任意的，為使上式恒成立，須有(k=1，2，……，N)廣義力廣義慣性力以廣義坐標(biāo)表示的達(dá)朗伯原理.根據(jù)虛位移原理中廣義力與廣義虛位移的表示形式，有因?yàn)橄到y(tǒng)為完24對(duì)式中廣義慣性力進(jìn)行變換：.對(duì)式中廣義慣性力進(jìn)行變換：.25將下列兩個(gè)恒等式（有關(guān)證明請(qǐng)參閱教材P46）（廣義速度）得所以代入第一項(xiàng)中的括號(hào)內(nèi)代入第二項(xiàng)中的括號(hào)內(nèi).將下列兩個(gè)恒等式（有關(guān)證明請(qǐng)參閱教材P46）（26得到這就是第二類拉格朗日方程，是一個(gè)方程組，該方程組的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)，各方程均為二階常微分方程，揭示了系統(tǒng)動(dòng)能的變化與廣義力之間的關(guān)系。若作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力均為有勢(shì)力（保守力）則廣義力Qk可寫成質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能表達(dá)的形式于是，對(duì)保守系統(tǒng)，拉格朗日方程可寫成.得到這就是第二類拉格朗日方程，是一個(gè)方程組，該方程組若作用于27用函數(shù)L表示系統(tǒng)的動(dòng)能T與勢(shì)能V之差，即L=T－VL稱為拉格朗日函數(shù)或動(dòng)勢(shì)。則在保守系統(tǒng)中，用動(dòng)勢(shì)表示的拉格朗日方程的形式為若作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力為有勢(shì)力及非有勢(shì)力兩部分構(gòu)成時(shí).用函數(shù)L表示系統(tǒng)的動(dòng)能T與勢(shì)能V之差，即L=T－VL稱28用拉格朗日方程的意義1.拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的普遍方程，是分析力學(xué)中的重要方程。2.拉格朗日方程是標(biāo)量方程，以動(dòng)能為方程的基本量，是用廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)微分方程。3.拉格朗日方程形式簡(jiǎn)潔，運(yùn)用時(shí)只需要計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能；對(duì)于保守力系統(tǒng)，只需要計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。.用拉格朗日方程的意義1.拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)29用拉格朗日方程概述1.靜力學(xué)：對(duì)受完整約束的多自由度的平衡問(wèn)題，根據(jù)虛位移原理，采用廣義坐標(biāo)，得到與自由度相同的一組獨(dú)立平衡方程。這種用分析方法建立的平衡條件，避開了未知的約束反力，使非自由質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題的求解變得簡(jiǎn)單。2.動(dòng)力學(xué)：對(duì)受完整約束的多自由度的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，可以根據(jù)能量原理，采用廣義坐標(biāo)，推導(dǎo)出與自由度相同的一組獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)微分方程。這種用廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程，稱為拉格朗日第二類方程，簡(jiǎn)稱為拉格朗日方程。.用拉格朗日方程概述1.靜力學(xué)：對(duì)受完整約束的多自由度的平衡問(wèn)30用拉格朗日方程解題的步驟1.確定系統(tǒng)的自由度數(shù)（廣義坐標(biāo)數(shù)）；2.選廣義坐標(biāo)；3.計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能T，且用廣義速度來(lái)表示動(dòng)能；4.計(jì)算廣義力（對(duì)保守系統(tǒng)可計(jì)算勢(shì)能）；5.代入拉格朗日方程即可得質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)微分方程。.用拉格朗日方程解題的步驟1.確定系統(tǒng)的自由度數(shù)（廣義坐標(biāo)數(shù)）31ⅠⅡrRMMO

AM例1位于水平面內(nèi)的行星輪機(jī)構(gòu)中，質(zhì)量為m1的均質(zhì)細(xì)桿OA，可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端裝有質(zhì)量為m2、半徑為r的均質(zhì)小齒輪，小齒輪沿半徑為R的固定大齒輪純滾動(dòng)。當(dāng)細(xì)桿受力偶M的作用時(shí)，求細(xì)桿的角加速度。.ⅠⅡrRMMOAM例1位于水平面內(nèi)的行星輪機(jī)構(gòu)中，質(zhì)量32解：研究整個(gè)系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)，則∴系統(tǒng)的動(dòng)能為ⅠⅡARMrO

T=TOA+T輪PPP行星輪瞬心為P，角速度為vAvAvA.解：研究整個(gè)系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)，則∴系統(tǒng)的動(dòng)能為ⅠⅡARMr33ⅠⅡO

AvARMr又關(guān)于廣義坐標(biāo)的廣義力為代入Lagrange方程：∴于是得.ⅠⅡOAvARMr又關(guān)于廣義坐標(biāo)的廣義力為代入Lagr34O例2質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)懸在不計(jì)質(zhì)量的軟線上，線的另一端繞在半徑為R的固定圓柱上。設(shè)在平衡位置時(shí)，線的下垂部分長(zhǎng)度為l。求此擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。Rmlll.O例2質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)懸在不計(jì)質(zhì)量的軟線上，線的另一端繞在35RlOmm系統(tǒng)的動(dòng)能為選=0處為系統(tǒng)勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)，則V=mg[（l+Rsin）－（l＋R）cos]系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為解：此擺為單自由度保守系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)，.RlOmm系統(tǒng)的動(dòng)能為選=0處為系統(tǒng)勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)，則V36已求得將式上式代入保守系統(tǒng)的拉氏方程得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程.已求得將式上式代入保守系統(tǒng)的拉氏方程得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程.37OOO例3

已知質(zhì)量為m1的三棱柱放在光滑水平面上，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱體O由靜止沿三棱柱的斜面向下純滾動(dòng)。求三棱柱的加速度。ωOOθ.OOO例3已知質(zhì)量為m1的三棱柱放在光滑水平面上，質(zhì)38(設(shè)圓柱o的半徑為r)選x1、x2為廣義坐標(biāo)，x1x2θO圓柱中心的速度為圓柱的角速度為vO解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，o1o2所以，系統(tǒng)的動(dòng)能為則三棱柱速度為加速度為x2vOx2vOx2vO.(設(shè)圓柱o的半徑為r)選x1、x2為廣義坐標(biāo)，x1x2θO圓39x2x1x2θOo1o2m1gFNm2gx1聯(lián)立解得：代入L程：m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)x1、x2的廣義力分別為：.x2x1x2θOo1o2m1gFNm2gx1聯(lián)立解得：代40例4

圖示均質(zhì)桿AB質(zhì)量為m1，長(zhǎng)為3l，B端鉸接一質(zhì)量為m2，半徑為r的均質(zhì)圓盤。桿AB在O處為鉸支，兩彈簧的剛性系數(shù)均為k；桿在水平位置平衡。求系統(tǒng)的微幅振動(dòng)的固有頻率。Okkllll2rACB.例4圖示均質(zhì)桿AB質(zhì)量為m1，長(zhǎng)為3l，B端鉸接一質(zhì)41解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，且為保守系統(tǒng)。選1、2為廣義坐標(biāo)，OkkllllACB2r12則桿的角速度為圓盤的角速度為所以，系統(tǒng)的動(dòng)能為1212.解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，且為保守系統(tǒng)。選1、2為廣義坐標(biāo)42∴系統(tǒng)的勢(shì)能為OkACkllll2rB2m1gm1gm1gm1gm2gm2gm2gm2g1l1l1F1F2l1l1l1l1∵重力與振動(dòng)方向相同，系統(tǒng)受力如圖，∴系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為F1F2F1F2F1F2∴取平衡位置處為零勢(shì)點(diǎn)，彈性力變形從平衡位置處計(jì)算，可以不計(jì)重力勢(shì)能！.∴系統(tǒng)的勢(shì)能為OkACkllll2rB2m1gm1gm1g43代入保守系統(tǒng)的拉氏方程可見，圓盤的角加速度為零！圓盤作平動(dòng)！系統(tǒng)的固有頻率為得所以O(shè)kACkllll2rB2m1gm1gm1gm1gm2gm2gm2gm2g1l1l1F1F2l1l1l1l1F1F2F1F2F1F2.代入保守系統(tǒng)的拉氏方程可見，圓盤的角加速度為零！圓盤作平動(dòng)！44例5

桿OA與AB以鉸鏈相連，且OA=a，AB=b，O懸掛于圓柱鉸鏈上，A、B處質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量分別為m1和m2，各處摩擦及兩桿質(zhì)量均不計(jì)，求系統(tǒng)微幅擺動(dòng)的微分方程。m1bam2OAB.例5桿OA與AB以鉸鏈相連，且OA=a，AB=b，O45vAvAvAvAbaOAB12則解系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，選1、2為廣義坐標(biāo)，∴系統(tǒng)動(dòng)能為vAvB2－1vBA12vAvB2－1vBA12vAvB2－1vBA12vAvB2－1vBA∵系統(tǒng)作微幅擺動(dòng)，∴cos(2－1)≈1.vAvAvAvAbaOAB12則解系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，461221系統(tǒng)受力如圖。m2g求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)2的廣義力：112XOYOm2gm1g2m1gm2gXOYOm1gYOm2gXOm1gm2gYOm1gXO1122b2b2b2a1a1a1a1a1a1給1，則給2，則求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)1的廣義力：.1221系統(tǒng)受力如圖。m2g求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)2的47代入Lagrange方程：化簡(jiǎn)得.代入Lagrange方程：化簡(jiǎn)得.48..49..50..51..52..53..54..55..56..573.動(dòng)能的廣義速度表達(dá)式質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能拉格朗日方程是關(guān)于廣義坐標(biāo)的二階微分方程組。應(yīng)用拉格朗日方程時(shí),須先計(jì)算出以廣義坐標(biāo)和廣義速度表示的系統(tǒng)的動(dòng)能。為便于應(yīng)用拉格朗日方程,一般可將質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能表示為廣義速度的代數(shù)齊次式結(jié)構(gòu)的形式。.3.動(dòng)能的廣義速度表達(dá)式質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能58

由于r是廣義坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù),所以akj,bk,c也是廣義坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù)。令.由于r是廣義坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù),所以akj,bk,59于是,動(dòng)能T可表示為再設(shè)

可見,T2是廣義速度的二次齊次式,T1是廣義速度的一次齊次式，T0是廣義速度的零次齊次式。這樣,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能T可看成是由以上三種不同次的廣義速度的代數(shù)齊次式構(gòu)成..于是,動(dòng)能T可表示為再設(shè)可見,T2是廣義60..61..624.拉格朗日方程的初積分(首次積分）求解二階微分方程組的積分時(shí)常會(huì)遇到數(shù)學(xué)上的困難,但對(duì)于保守系統(tǒng),在某些條件下,卻很容易求得其初積分,使方程組的求解變得簡(jiǎn)單起來(lái).現(xiàn)在,我們?cè)谏弦还?jié)闡明的動(dòng)能的廣義坐標(biāo)表達(dá)式的基礎(chǔ)上,來(lái)討論拉格朗日方程的初積分。由于勢(shì)能函數(shù)V

僅是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，因此它是廣義速度的零次函數(shù)。設(shè)

L2=T2，L1=T1，

L0=T0-V拉格朗日函數(shù)可表示為

L=T–V=T2+T1+T0–V顯然，L2，L1和L0分別是廣義速度的二次齊次函數(shù)、一次齊次函數(shù)和零次齊次函數(shù)，得

L=L2+L1+L0

.4.拉格朗日方程的初積分(首次積分）求解631．廣義能量積分—初積分之一將主動(dòng)力為有勢(shì)力時(shí)的拉格朗日方程式乘以，并將這N個(gè)式子相加，得其中帶入上式得：當(dāng)拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間t（則），即時(shí)有：帶入上式得：.1．廣義能量積分—初積分之一將主動(dòng)力為有勢(shì)力時(shí)的拉格朗日方程64從而有：

E

為積分常數(shù)再根據(jù)歐拉齊次式定理(P56)有：帶入上式得：（2L2+L1）-（L2+L1+L0）=E即L2-L0=E.從而有：E為積分常數(shù)再根據(jù)歐拉齊次式定理(P56)有：帶65進(jìn)一步得到：這一結(jié)果稱為以拉格朗日變量表示的廣義能量積分，又稱雅可比積分。*由于約束是非定常的，系統(tǒng)的機(jī)械能并不守恒。*為廣義能量系統(tǒng)稱為廣義保守系統(tǒng)。.進(jìn)一步得到：這一結(jié)果稱為以拉格朗日變量表示的廣義能量積分，又662．能量積分如果約束是定常的，則可知bk=0,c=0,因此得T1=0，T0=0，于是得T=T2廣義能量積分變?yōu)檫@一結(jié)果稱為以拉格朗日變量表示的能量積分，上式即為保守系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律表示式。這就是能量積分的物理意義。.2．能量積分如果約束是定常的，則可知bk=0,c=67..68..69..70..713．循環(huán)積分——初積分之二拉格朗日函數(shù)一般是廣義坐標(biāo)、廣義速度和時(shí)間的函數(shù)。若L中不顯含與某一廣義速度對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)，則該坐標(biāo)稱為循環(huán)坐標(biāo)，或稱可遺坐標(biāo)。即：則：所以：其中Cj

為積分常數(shù)。上式稱為循環(huán)積分，或稱可遺積分。當(dāng)然，系統(tǒng)有幾個(gè)循環(huán)坐標(biāo)就有幾個(gè)循環(huán)積分。由于L=T-V，而且勢(shì)能

V

中不顯含廣義速度，因此其中稱為廣義動(dòng)量..3．循環(huán)積分——初積分之二拉格朗日函數(shù)一般是廣義坐標(biāo)、廣義速72..73..74..75..76..77..78..79..80..815.碰撞問(wèn)題的拉各朗日方程由拉格朗日方程式來(lái)推導(dǎo)碰撞問(wèn)題的拉各朗日方程以dt

乘上式,并對(duì)碰撞時(shí)間△t

積分,即其中左邊第一項(xiàng)表示在碰撞時(shí)間內(nèi)廣義動(dòng)量發(fā)生的變化.左邊第二項(xiàng)是動(dòng)能相對(duì)廣義坐標(biāo)的改變量,是有限量.設(shè)它在碰撞時(shí)間內(nèi)的最大值為M,

根據(jù)中值定理由于碰撞時(shí)間極短,所以與第一項(xiàng)相比可以略去..5.碰撞問(wèn)題的拉各朗日方程由拉格朗日方程式來(lái)推導(dǎo)碰撞問(wèn)題的82為廣義力Qj

在碰撞時(shí)間內(nèi)的廣義沖量,以表示,即則即碰撞過(guò)程中,廣義動(dòng)量的增量等于相應(yīng)的廣義沖量..為廣義力Qj在碰撞時(shí)間內(nèi)的廣義沖量,以表83..84..85..86..876.拉格朗日方程的應(yīng)用舉例**應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟：1.確定系統(tǒng)的自由度數(shù)（廣義坐標(biāo)數(shù)）；2.選取廣義坐標(biāo)；3.計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能T，且用廣義速度來(lái)表示動(dòng)能；4.計(jì)算廣義力（對(duì)保守系統(tǒng)可計(jì)算勢(shì)能）；5.代入拉格朗日方程即可得質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)微分方程。6.求解運(yùn)動(dòng)微分方程，得到用廣義坐標(biāo)表示的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。.6.拉格朗日方程的應(yīng)用舉例**應(yīng)用拉格朗日方程解題的步驟：88..89..90..91..92..93..94..95..96..97..98..99..100..101..102..103..104..105..106..107..108..109..110..111本章結(jié)束！.本章結(jié)束！.112作業(yè)（P79）：2-1,2-3,2-6,2-10,2-16,2-25,2-28,2-36.作業(yè)（P79）：2-1,2-3,2-6,2-10,2-16,113

第二章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉各朗日方程1.動(dòng)力學(xué)普遍方程2.拉格朗日方程3.動(dòng)能的廣義速度表達(dá)式4.拉格朗日方程的初積分5.碰撞問(wèn)題的拉格朗日方程6.拉格朗日方程的應(yīng)用舉例.第二章動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉各朗日方程1.動(dòng)力學(xué)普遍方程2.114引言1：非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題φ1φ2擺長(zhǎng)不定，如何確定其擺動(dòng)規(guī)律？K混沌擺問(wèn)題多桿擺問(wèn)題.引言1：非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題φ1φ2擺長(zhǎng)不定，如何確定其115引言2：慣性力的概念達(dá)朗伯（1717-1785）通過(guò)引入慣性力的概念，建立了著名的達(dá)朗伯原理（用靜力學(xué)建立平衡方程的方法處理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題）；約翰·伯努利（1667-1748）于1717年精確表述了虛位移原理（建立虛位移、虛功的概念，用動(dòng)力學(xué)的方法研究靜力學(xué)中的平衡問(wèn)題）；拉格朗日（1736-1813）應(yīng)用達(dá)朗伯原理，把虛位移原理推廣到非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，建立了動(dòng)力學(xué)普遍方程，進(jìn)一步導(dǎo)出了拉格朗日方程。.引言2：慣性力的概念達(dá)朗伯（1717-1785）通過(guò)引入慣性116vPMlφ其加速度為令R=P+T則ma=R=P

+T擺錘M在受到P、T的同時(shí)，將給施力體（地心和繩子）一對(duì)應(yīng)的反作用力，反作用力的合力為TR'=－R=－ma

此力是擺錘被迫作非慣性運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的“反作用力”，稱為慣性力。a

nφφφPTPTPTa

na

na

n

圖示圓錐擺擺長(zhǎng)為l，擺錘M的質(zhì)量m，在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度為v，錐擺的頂角為2φ，擺錘M受力如圖。RvRvRvR.vPMlφ其加速度為令R=P+T則ma=R=P+117結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)在作非慣性運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，對(duì)于施力于它的物體會(huì)作用一個(gè)慣性力，該力的大小等于其質(zhì)量與加速度的乘積，方向與其加速度方向相反。若用Fg表示慣性力，則有Fg=－ma說(shuō)明：1.此力是不是真實(shí)的力！2.此力作用于施力給質(zhì)點(diǎn)的物體上！3.此力又稱為牛頓慣性力！.結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)在作非慣性運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，對(duì)于施力于它的物體會(huì)作用118引言3：達(dá)朗伯原理一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理設(shè)質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，受力有主動(dòng)力F、約束反力FN，加速度為a，則根據(jù)牛頓第二定律，有FFNFgaMFFNFgaFFNFgaFFNFgaMMma

=F+FNFg=－ma令則F+FN+Fg

=0形式上的平衡方程結(jié)論：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，如果在其上假想地加上一慣性力Fg，則此力與主動(dòng)力、約束反力在形式上組成一平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理。.引言3：達(dá)朗伯原理一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理設(shè)質(zhì)點(diǎn)M的質(zhì)量為m，受119二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，受力有主動(dòng)力Fi，約束反力FNi，加速度為ai，假想地加上其慣性力Fgi=－miai，則根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗伯原理，F(xiàn)i、FNi與Fgi應(yīng)組成形式上的平衡力系，即對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來(lái)說(shuō)，在運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，虛加于質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)的慣性力與作用于該質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力、約束反力將組成形式上的平衡力系。Fi+

FNi+Fgi=0（i=1，2，…，n）∑MO(Fi)

+

∑MO(

FNi)

+∑MO(

Fgi)

=0∑Fi+

∑

FNi+∑Fgi=0質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理即或.二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗伯原理設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)1201.動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程是虛位移原理與達(dá)朗伯原理簡(jiǎn)單結(jié)合的產(chǎn)物。設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，受主動(dòng)力Fi，約束反力FNi，加速度為ai，虛加上其慣性力Fgi=－miaiFiFNiFgiaiMFNiFNiMMFgiaiFgiaiFiFi則根據(jù)達(dá)朗伯原理，F(xiàn)i、FNi與Fgi，應(yīng)組成形式上的平衡力系，即Fi+

FNi+Fgi=0若質(zhì)點(diǎn)系受理想約束作用，應(yīng)用虛位移原理，有.1.動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程是虛位移原理與達(dá)朗伯原理簡(jiǎn)121或動(dòng)力學(xué)普遍方程表明：在理想約束條件下，在任意瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力和慣性力在質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移上所做虛功之和等于零。則動(dòng)力學(xué)普遍方程的坐標(biāo)分解式為若.或動(dòng)力學(xué)普遍方程表明：在理想約束條件下，在任意瞬時(shí)，作用于質(zhì)122例1.兩均質(zhì)輪質(zhì)量皆為m1，半徑皆為r，對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J；中心用質(zhì)量為m2的連桿連接，在傾角為α的斜面上純滾動(dòng)。求連桿的加速度。α.例1.兩均質(zhì)輪質(zhì)量皆為m1，半徑皆為r，對(duì)輪心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量123研究整個(gè)系統(tǒng)，進(jìn)行受力分析；解：設(shè)桿的加速度為a，則αm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgm2gm1gm1gN1N2Fg1Fg2Fg1MgMgasFg1=m1a，F(xiàn)g2=m2a，給連桿以平行于斜面向下的虛位移s，則相應(yīng)地兩輪有轉(zhuǎn)角虛位移，且根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程，得:于是解得.研究整個(gè)系統(tǒng)，進(jìn)行受力分析；解：設(shè)桿的加速度為a，則αm2g124..125..126..127..128(a)(b).(a).129..130..131..132..1332.拉格朗日方程將動(dòng)力學(xué)普遍方程用廣義坐標(biāo)表示，即可推導(dǎo)出第二類拉格朗日方程。

n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)受到k個(gè)如下形式的完整約束fi

,又若系統(tǒng)中質(zhì)量為mj的第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)受主動(dòng)力Fj，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)滿足3n個(gè)方程如左，稱為第一類拉格朗日方程，λi稱為拉各朗日未定乘子。*第一類拉格朗日方程用到的較少.2.拉格朗日方程將動(dòng)力學(xué)普遍方程用廣義坐標(biāo)表示，即可推導(dǎo)134拉格朗日1736—1813,法籍意大利人，數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、天文學(xué)家，十九歲成為數(shù)學(xué)教授，與歐拉共同創(chuàng)立變分法，是十八世紀(jì)繼歐拉后偉大的數(shù)學(xué)家。.拉格朗日1736—1813,法籍.135設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，具有s個(gè)完整理想約束，則有N=3n-s個(gè)自由度（廣義坐標(biāo)）。

用q1，q2，…qN表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，矢徑為ri。則ri=ri(q1，q2，…qN，t)對(duì)上式求變分得動(dòng)力學(xué)普遍方程可寫成其中.設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，具有s個(gè)完整理想約束，則有N=3n-136根據(jù)虛位移原理中廣義力與廣義虛位移的表示形式，有因?yàn)橄到y(tǒng)為完整約束，廣義坐標(biāo)相互獨(dú)立，所以廣義坐標(biāo)的變分qk是任意的，為使上式恒成立，須有(k=1，2，……，N)廣義力廣義慣性力以廣義坐標(biāo)表示的達(dá)朗伯原理.根據(jù)虛位移原理中廣義力與廣義虛位移的表示形式，有因?yàn)橄到y(tǒng)為完137對(duì)式中廣義慣性力進(jìn)行變換：.對(duì)式中廣義慣性力進(jìn)行變換：.138將下列兩個(gè)恒等式（有關(guān)證明請(qǐng)參閱教材P46）（廣義速度）得所以代入第一項(xiàng)中的括號(hào)內(nèi)代入第二項(xiàng)中的括號(hào)內(nèi).將下列兩個(gè)恒等式（有關(guān)證明請(qǐng)參閱教材P46）（139得到這就是第二類拉格朗日方程，是一個(gè)方程組，該方程組的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)，各方程均為二階常微分方程，揭示了系統(tǒng)動(dòng)能的變化與廣義力之間的關(guān)系。若作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力均為有勢(shì)力（保守力）則廣義力Qk可寫成質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能表達(dá)的形式于是，對(duì)保守系統(tǒng)，拉格朗日方程可寫成.得到這就是第二類拉格朗日方程，是一個(gè)方程組，該方程組若作用于140用函數(shù)L表示系統(tǒng)的動(dòng)能T與勢(shì)能V之差，即L=T－VL稱為拉格朗日函數(shù)或動(dòng)勢(shì)。則在保守系統(tǒng)中，用動(dòng)勢(shì)表示的拉格朗日方程的形式為若作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力為有勢(shì)力及非有勢(shì)力兩部分構(gòu)成時(shí).用函數(shù)L表示系統(tǒng)的動(dòng)能T與勢(shì)能V之差，即L=T－VL稱141用拉格朗日方程的意義1.拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的普遍方程，是分析力學(xué)中的重要方程。2.拉格朗日方程是標(biāo)量方程，以動(dòng)能為方程的基本量，是用廣義坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)微分方程。3.拉格朗日方程形式簡(jiǎn)潔，運(yùn)用時(shí)只需要計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能；對(duì)于保守力系統(tǒng)，只需要計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。.用拉格朗日方程的意義1.拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)142用拉格朗日方程概述1.靜力學(xué)：對(duì)受完整約束的多自由度的平衡問(wèn)題，根據(jù)虛位移原理，采用廣義坐標(biāo)，得到與自由度相同的一組獨(dú)立平衡方程。這種用分析方法建立的平衡條件，避開了未知的約束反力，使非自由質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題的求解變得簡(jiǎn)單。2.動(dòng)力學(xué)：對(duì)受完整約束的多自由度的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，可以根據(jù)能量原理，采用廣義坐標(biāo)，推導(dǎo)出與自由度相同的一組獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)微分方程。這種用廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程，稱為拉格朗日第二類方程，簡(jiǎn)稱為拉格朗日方程。.用拉格朗日方程概述1.靜力學(xué)：對(duì)受完整約束的多自由度的平衡問(wèn)143用拉格朗日方程解題的步驟1.確定系統(tǒng)的自由度數(shù)（廣義坐標(biāo)數(shù)）；2.選廣義坐標(biāo)；3.計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能T，且用廣義速度來(lái)表示動(dòng)能；4.計(jì)算廣義力（對(duì)保守系統(tǒng)可計(jì)算勢(shì)能）；5.代入拉格朗日方程即可得質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)微分方程。.用拉格朗日方程解題的步驟1.確定系統(tǒng)的自由度數(shù)（廣義坐標(biāo)數(shù)）144ⅠⅡrRMMO

AM例1位于水平面內(nèi)的行星輪機(jī)構(gòu)中，質(zhì)量為m1的均質(zhì)細(xì)桿OA，可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端裝有質(zhì)量為m2、半徑為r的均質(zhì)小齒輪，小齒輪沿半徑為R的固定大齒輪純滾動(dòng)。當(dāng)細(xì)桿受力偶M的作用時(shí)，求細(xì)桿的角加速度。.ⅠⅡrRMMOAM例1位于水平面內(nèi)的行星輪機(jī)構(gòu)中，質(zhì)量145解：研究整個(gè)系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)，則∴系統(tǒng)的動(dòng)能為ⅠⅡARMrO

T=TOA+T輪PPP行星輪瞬心為P，角速度為vAvAvA.解：研究整個(gè)系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)，則∴系統(tǒng)的動(dòng)能為ⅠⅡARMr146ⅠⅡO

AvARMr又關(guān)于廣義坐標(biāo)的廣義力為代入Lagrange方程：∴于是得.ⅠⅡOAvARMr又關(guān)于廣義坐標(biāo)的廣義力為代入Lagr147O例2質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)懸在不計(jì)質(zhì)量的軟線上，線的另一端繞在半徑為R的固定圓柱上。設(shè)在平衡位置時(shí)，線的下垂部分長(zhǎng)度為l。求此擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。Rmlll.O例2質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)懸在不計(jì)質(zhì)量的軟線上，線的另一端繞在148RlOmm系統(tǒng)的動(dòng)能為選=0處為系統(tǒng)勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)，則V=mg[（l+Rsin）－（l＋R）cos]系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為解：此擺為單自由度保守系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)，.RlOmm系統(tǒng)的動(dòng)能為選=0處為系統(tǒng)勢(shì)能的零勢(shì)點(diǎn)，則V149已求得將式上式代入保守系統(tǒng)的拉氏方程得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程.已求得將式上式代入保守系統(tǒng)的拉氏方程得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程.150OOO例3

已知質(zhì)量為m1的三棱柱放在光滑水平面上，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱體O由靜止沿三棱柱的斜面向下純滾動(dòng)。求三棱柱的加速度。ωOOθ.OOO例3已知質(zhì)量為m1的三棱柱放在光滑水平面上，質(zhì)151(設(shè)圓柱o的半徑為r)選x1、x2為廣義坐標(biāo)，x1x2θO圓柱中心的速度為圓柱的角速度為vO解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，o1o2所以，系統(tǒng)的動(dòng)能為則三棱柱速度為加速度為x2vOx2vOx2vO.(設(shè)圓柱o的半徑為r)選x1、x2為廣義坐標(biāo)，x1x2θO圓152x2x1x2θOo1o2m1gFNm2gx1聯(lián)立解得：代入L程：m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)x1、x2的廣義力分別為：.x2x1x2θOo1o2m1gFNm2gx1聯(lián)立解得：代153例4

圖示均質(zhì)桿AB質(zhì)量為m1，長(zhǎng)為3l，B端鉸接一質(zhì)量為m2，半徑為r的均質(zhì)圓盤。桿AB在O處為鉸支，兩彈簧的剛性系數(shù)均為k；桿在水平位置平衡。求系統(tǒng)的微幅振動(dòng)的固有頻率。Okkllll2rACB.例4圖示均質(zhì)桿AB質(zhì)量為m1，長(zhǎng)為3l，B端鉸接一質(zhì)154解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，且為保守系統(tǒng)。選1、2為廣義坐標(biāo)，OkkllllACB2r12則桿的角速度為圓盤的角速度為所以，系統(tǒng)的動(dòng)能為1212.解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，且為保守系統(tǒng)。選1、2為廣義坐標(biāo)155∴系統(tǒng)的勢(shì)能為OkACkllll2rB2m1gm1gm1gm1gm2gm2gm2gm2g1l1l1F1F2l1l1l1l1∵重力與振動(dòng)方向相同，系統(tǒng)受力如圖，∴系統(tǒng)的動(dòng)勢(shì)為F1F2F1F2F1F2∴取平衡位置處為零勢(shì)點(diǎn)，彈性力變形從平衡位置處計(jì)算，可以不計(jì)重力勢(shì)能！.∴系統(tǒng)的勢(shì)能為OkACkllll2rB2m1gm1gm1g156代入保守系統(tǒng)的拉氏方程可見，圓盤的角加速度為零！圓盤作平動(dòng)！系統(tǒng)的固有頻率為得所以O(shè)kACkllll2rB2m1gm1gm1gm1gm2gm2gm2gm2g1l1l1F1F2l1l1l1l1F1F2F1F2F1F2.代入保守系統(tǒng)的拉氏方程可見，圓盤的角加速度為零！圓盤作平動(dòng)！157例5

桿OA與AB以鉸鏈相連，且OA=a，AB=b，O懸掛于圓柱鉸鏈上，A、B處質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量分別為m1和m2，各處摩擦及兩桿質(zhì)量均不計(jì)，求系統(tǒng)微幅擺動(dòng)的微分方程。m1bam2OAB.例5桿OA與AB以鉸鏈相連，且OA=a，AB=b，O158vAvAvAvAbaOAB12則解系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，選1、2為廣義坐標(biāo)，∴系統(tǒng)動(dòng)能為vAvB2－1vBA12vAvB2－1vBA12vAvB2－1vBA12vAvB2－1vBA∵系統(tǒng)作微幅擺動(dòng)，∴cos(2－1)≈1.vAvAvAvAbaOAB12則解系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，1591221系統(tǒng)受力如圖。m2g求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)2的廣義力：112XOYOm2gm1g2m1gm2gXOYOm1gYOm2gXOm1gm2gYOm1gXO1122b2b2b2a1a1a1a1a1a1給1，則給2，則求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)1的廣義力：.1221系統(tǒng)受力如圖。m2g求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)2的160代入Lagrange方程：化簡(jiǎn)得.代入Lagrange方程：化簡(jiǎn)得.161..162..163..164..165..166..167..168..169..1703.動(dòng)能的廣義速度表達(dá)式質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能拉格朗日方程是關(guān)于廣義坐標(biāo)的二階微分方程組。應(yīng)用拉格朗日方程時(shí),須先計(jì)算出以廣義坐標(biāo)和廣義速度表示的系統(tǒng)的動(dòng)能。為便于應(yīng)用拉格朗日方程,一般可將質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能表示為廣義速度的代數(shù)齊次式結(jié)構(gòu)的形式。.3.動(dòng)能的廣義速度表達(dá)式質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能171

由于r是廣義坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù),所以akj,bk,c也是廣義坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù)。令.由于r是廣義坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù),所以akj,bk,172于是,動(dòng)能T可表示為再設(shè)

可見,T2是廣義速度的二次齊次式,T1是廣義速度的一次齊次式，T0是廣義速度的零次齊次式。這樣,質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能T可看成是由以上三種不同次的廣義速度的代數(shù)齊次式構(gòu)成..于是,動(dòng)能T可表示為再設(shè)可見,T2是廣義173..174..1754.拉格朗日方程的初積分(首次積分）求解二階微分方程組的積分時(shí)常會(huì)遇到數(shù)學(xué)上的困難,但對(duì)于保守系統(tǒng),在某些條件下,卻很容易求得其初積分,使方程組的求解變得簡(jiǎn)單起來(lái).現(xiàn)在,我們?cè)谏弦还?jié)闡明的動(dòng)能的廣義坐標(biāo)表達(dá)式的基礎(chǔ)上,來(lái)討論拉格朗日方程的初積分。由于勢(shì)能函數(shù)V

僅是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，因此它是廣義速度的零次函數(shù)。設(shè)

L2=T2，L1=T1，