復(fù)試信號(hào)與系統(tǒng)第三章

第三章

周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)主要內(nèi)容對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的簡(jiǎn)短復(fù)習(xí)LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)數(shù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表示傅立葉級(jí)數(shù)表示的確定–頻譜截?cái)嗟母盗⑷~級(jí)數(shù)---吉伯斯現(xiàn)象濾波器與濾波復(fù)指數(shù)信號(hào)在連續(xù)時(shí)間域:參數(shù)當(dāng)σ=0

,復(fù)指數(shù)信號(hào)是周期為T(mén)的周期信號(hào)。復(fù)指數(shù)信號(hào)有時(shí)，稱ejωt

復(fù)正弦信號(hào)。歐拉公式:當(dāng)σ>0x(t)

遞增當(dāng)σ<0x(t)

衰減返回3.2LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)對(duì)LTI系統(tǒng)，如果輸入信號(hào)為復(fù)指數(shù)信號(hào)，輸出同樣為復(fù)指數(shù)信號(hào)，僅僅是幅度發(fā)生了改變。

LTI系統(tǒng)

LTI系統(tǒng)3.2LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)為什么?

h(t)令結(jié)論:對(duì)LTI系統(tǒng)，如果輸入信號(hào)為復(fù)指數(shù)信號(hào)，則起輸出反應(yīng)為以H(s)修正過(guò)的相同復(fù)指數(shù)信號(hào)。

3.2LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)此結(jié)論對(duì)離散LTI系統(tǒng)同樣適用。3.2LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)因此我們可以容易地寫(xiě)出系統(tǒng)的輸出。令

LTI系統(tǒng)對(duì)于LTI系統(tǒng)的分析，我們通常是把一般的信號(hào)借助于復(fù)指數(shù)這樣一種特征函數(shù)來(lái)分解。3.2LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)這意味著：將信號(hào)表示成復(fù)指數(shù)的線性組合就會(huì)導(dǎo)致一個(gè)LTI系統(tǒng)響應(yīng)的方便表達(dá)式。

LTI系統(tǒng)3.2LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)在離散時(shí)間域，同理，若一個(gè)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的輸入表示成復(fù)指數(shù)的線性組合，即：則輸出就一定為：3.2LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)如果輸入為x(t)=ej2t,確定輸出信號(hào)y(t)及特征值H(s)。例3.1

考慮輸入x(t)和輸出y(t)是一個(gè)延時(shí)為3的LTI系統(tǒng)。對(duì)比3.2LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)如果系統(tǒng)的輸入為一正弦信號(hào)的線性組合:輸出為：利用歐拉公式：可知3.2LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)特征值:3.2LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)通過(guò)歐拉公式，得到輸出為：3.2LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)從這個(gè)例子，我們可以看到，如果作用于LTI系統(tǒng)的輸入是復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合，那么相應(yīng)的輸出響應(yīng)也是相同復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合。3.2LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)如果輸入是正弦信號(hào)的線性組合，則輸出也是相同正弦信號(hào)的組合。x(t)

是{est}或者{sin(t)/cos(t)}的線性組合。返回3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)3.3.1成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合如第一章定義,一個(gè)信號(hào)是周期的,則存在某個(gè)正值的T,有:對(duì)所有的t值x(t)

的基波周期就是滿足上式的最小非零正值T。3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)基波頻率定義如下：弧度/秒前面講述了兩種基本的周期信號(hào)：正弦信號(hào)和周期復(fù)指數(shù)信號(hào)?；ㄖ芷诨l率3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)集定義為：可以利用成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合來(lái)構(gòu)建一周期信號(hào)x(t):周期信號(hào)3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)考慮一個(gè)信號(hào)x(t)，基波分量二次諧波分量直流分量3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)現(xiàn)給出周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式表示和三角函數(shù)形式表示：復(fù)指數(shù)傅立葉級(jí)數(shù):三角函數(shù)傅立葉級(jí)數(shù):3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)的存在條件:一個(gè)周期信號(hào)x(t)

滿足下述的狄里赫利條件，則存在傅立葉級(jí)數(shù)：1.在任意周期內(nèi)，x(t)

必須絕對(duì)可積，即：例3周期信號(hào)，周期為1，不滿足此條件。條件1:在一周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)2.在任意有限區(qū)間內(nèi)，x(t)具有有限個(gè)起伏變化，即在任何單個(gè)周期內(nèi)，x(t)的最大值和最小值的數(shù)目有限。例2不滿足條件2的一個(gè)函數(shù)是對(duì)此函數(shù)，其周期為1，有條件2：在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)3.在x(t)的任何有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，而且在這些不連續(xù)點(diǎn)上，函數(shù)是有限值。例3不滿足條件1的例子如下圖所示，這個(gè)信號(hào)的周期為8，它是這樣組成的：后一個(gè)階梯的高度和寬度是前一個(gè)階梯的一半?？梢?jiàn)在一個(gè)周期內(nèi)它的面積不會(huì)超過(guò)8，但不連續(xù)點(diǎn)的數(shù)目是無(wú)窮多個(gè)。條件3：在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)例3.2

考慮一個(gè)周期信號(hào)x(t),

基波頻率為2π,表示如下：其中將x(t)表示為三角函數(shù)形式。3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)將ak

代入到x(t)可以得到：3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)x(t)

圖象描述如下:3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)從這個(gè)例子可知，x(t)

是實(shí)周期信號(hào)，對(duì)任意實(shí)周期信號(hào)x(t)

有：將上述求和式里的k

變換為–k，有：因此得到：or并且，當(dāng)ak為實(shí)數(shù)，則：3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)實(shí)際上，三角函數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)可以通過(guò)系數(shù)之間的關(guān)系得到。3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系：返回3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)3.3.2連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)表示的確定給定一連續(xù)周期信號(hào)x(t),

如果滿足狄里赫利條件，則其存在傅立葉級(jí)數(shù)：ak

為復(fù)數(shù)。3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)這對(duì)公式定義了連續(xù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)：T

為基波周期，ω0

為基波頻率。分析公式綜合公式3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)考察傅立葉級(jí)數(shù)綜合公式：系數(shù){ak}

成為傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)，或者x(t)的頻譜系數(shù)。3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)這表明，一個(gè)連續(xù)周期信號(hào)可以看作為一個(gè)由無(wú)限成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)分量構(gòu)成的線性組合。通常，我們用條線圖來(lái)描述在不同頻率的諧波分量的幅值。觀察下述例子。3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)例-3.3

考慮信號(hào)

x(t)=sinω0t確定其傅立葉級(jí)數(shù)表示。解答:

利用歐拉公式，有：3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)利用條線圖表示頻譜如：3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)例-3.4

令利用歐拉公式：3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)可見(jiàn)：3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)利用條線圖描述信號(hào)如下：3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)利用MATLAB

描繪出其幅度頻譜和相位頻譜如下：3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)例-3.5

考慮如下周期性方波：其基波周期為T(mén),基波頻率為ω0=2π/T。3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)計(jì)算其傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)如下：3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)當(dāng)T=8T1，其幅度頻譜描述如下圖：3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)定義一重要函數(shù)：現(xiàn)在，詳細(xì)討論周期性方波x(t)的傅立葉系數(shù)ak。3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)Sa(x)

稱為“抽樣函數(shù)”。Sa(x)

的重要有用性質(zhì)：1.Sa(x)的積分特性或者2.Sa(x)

是關(guān)于變量x的偶函數(shù)。當(dāng)獨(dú)立變量x=±π,±2π,

±3π,…,±nπ,

…

,Sa(x)

的函數(shù)值為0。3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)π2π3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)還有同類函數(shù)定義如下：3.3連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)從例3.5,我們可以看到，周期性方波的諧波分量的幅值所形成的包絡(luò)就是sinc

函數(shù)。返回吉布斯現(xiàn)象周期性信號(hào)x(t)的傅立葉級(jí)數(shù)通常是一個(gè)無(wú)限級(jí)數(shù)，這也表明其頻率分量是無(wú)限的。實(shí)際上，我們通常利用有限個(gè)頻率分量來(lái)對(duì)原信號(hào)x(t)進(jìn)行逼近。吉布斯現(xiàn)象x(t)

的傅立葉級(jí)數(shù)的部分和稱為x(t)的截?cái)喔盗⑷~級(jí)數(shù)。其含義為xN(t)

僅僅包含x(t)的低頻分量。因此，x(t)

和xN(t)

之間的誤差得以引出。吉布斯現(xiàn)象重新考慮周期性方波。首先看關(guān)于吉布斯現(xiàn)象的MATLAB程序：clear,closeallt1=10;dt=0.005;t=-t1:dt:t1;T=2;T1=T/4;x1=u(t+T1)-u(t-T1);x=0fori=-2:2;

x=x+u(t-i*T+T1)-u(t-i*T-T1);endN=input('TypeinthenumberofharmoniccomponentsN=');吉布斯現(xiàn)象%====================================%ComputationoftheFourierseriescoefficients%====================================L=2*N+1;%Thenumberofcoefficientsk=-N:N;forr=1:L;

an(r)=(1/T)*x1*exp(-j*((-N+r-1)*2*pi/T)*t')*dt;end%Synthesisofsignaly=0;forq=1:L;

y=y+an(q)*exp(j*((-N+q-1)*2*pi*t/T);end;吉布斯現(xiàn)象N=23吉布斯現(xiàn)象N=11吉布斯現(xiàn)象N=7吉布斯現(xiàn)象N=3吉布斯現(xiàn)象從上可以得到：1.

在不連續(xù)點(diǎn)附近，部分和的波形呈現(xiàn)起伏。2.

若不連續(xù)點(diǎn)處的高度為1，則部分和所呈現(xiàn)的起伏峰值的最大值為1.09,即有9%的超量。3.

所呈現(xiàn)的起伏峰值的最大值不隨N的增大而下降，即9%

的超量保持不變。這就是吉布斯現(xiàn)象。吉布斯現(xiàn)象注意：對(duì)在任意周期內(nèi)沒(méi)有不連續(xù)點(diǎn)的周期信號(hào)而言，吉布斯現(xiàn)象不存在。為理解吉布斯現(xiàn)象，觀察關(guān)于吉布斯現(xiàn)象的matlab實(shí)驗(yàn)結(jié)果。返回3.8傅立葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)傅立葉級(jí)數(shù)表示可以用來(lái)構(gòu)造任何離散時(shí)間周期信號(hào)，以及在實(shí)際上具有重要意義的幾乎所有連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)。另外，一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合的響應(yīng)具有特別簡(jiǎn)單的形式。3.8傅立葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)如下闡述:LTI系統(tǒng)其中，h(t)為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng),H(s)稱為系統(tǒng)函數(shù)。3.8傅立葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)因?yàn)椋到y(tǒng)函數(shù)和單位沖激響應(yīng)為一對(duì)一的映射，所以，我們可以利用系統(tǒng)函數(shù)唯一表示LTI系統(tǒng)。一對(duì)一影射H(s)3.8傅立葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)對(duì)一種特殊情況:LTI系統(tǒng)當(dāng)s=jω,系統(tǒng)函數(shù)變?yōu)镠(jω),成為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。令則3.8傅立葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)考慮連續(xù)時(shí)間的情況，令x(t)為周期性信號(hào)，其傅立葉級(jí)數(shù)表示如下：

LTI系統(tǒng)輸出響應(yīng):3.8傅立葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)因此，y(t)也是周期信號(hào)，與x(t)具有相同的基波頻率。而且,如果{ak}

是x(t)

的一組傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)，那么

{akH(jkω0)}

是y(t)的一組傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù).3.8傅立葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)例3.16

假設(shè)在例3.2討論的周期信號(hào)x(t)是某個(gè)LTI系統(tǒng)的輸入信號(hào)，該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為：確定系統(tǒng)的輸出響應(yīng)y(t)。3.8傅立葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)解答:其頻率響應(yīng)為：從x(t)的表示，得知起基波頻率為：3.8傅立葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)令因此，可求得傅立葉系數(shù){bk}:3.8傅立葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)現(xiàn)在，轉(zhuǎn)移我們的注意力到LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)上來(lái)。定義:其為h(t)的傅立葉變換。3.8傅立葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)例考慮RC級(jí)聯(lián)電路。3.8傅立葉級(jí)數(shù)與LTI系統(tǒng)理解頻率響應(yīng)的物理意義：頻率響應(yīng)表明了LTI系統(tǒng)的頻域特征。頻率響應(yīng)H(j)表示了LTI系統(tǒng)是怎樣作用于輸入信號(hào)的。返回3.9濾波在各種不同的應(yīng)用中，改變一個(gè)信號(hào)中各頻率分量的相對(duì)大小，或者全部消除某些頻率分量這樣一類要求常常是頗為關(guān)注的，這樣一種過(guò)程成為濾波。用于改變頻譜形狀的LTI系統(tǒng)稱之為頻率成形濾波器。3.9濾波不過(guò),我們的注意力應(yīng)該集中到另一種濾波器上,即,頻率選擇濾波器。3.9.2頻率選擇濾波器頻率選擇濾波器是一類專門(mén)用于完全地或者近似地選取某些頻率范圍內(nèi)的信號(hào)和除掉其它頻帶范圍內(nèi)信號(hào)的濾波器。通過(guò)低通濾波器仿真，可知：3.9濾波低通濾波器為通過(guò)低頻分量，衰減或阻止高頻分量。為什么?LTIH(jω)3.9濾波如前闡述，當(dāng)周期信號(hào)x(t)通過(guò)LTI系統(tǒng)，x(t)

的每個(gè)分量必須由H(jω)加權(quán)。頻率響應(yīng)能對(duì)頻率選擇起決定性作用。在實(shí)際應(yīng)用中，有四種基本類型的頻率選擇濾波器，即，低通濾波器,

高通濾波器,帶通濾波器，帶阻濾波器。3.9濾波上述四種頻率選擇性濾波器的頻率響應(yīng)如下所示：理想低通濾波器理想高通濾波器理想帶通濾波器理想帶阻濾波器3.9濾波上述濾波器為理想頻率選擇濾波器。理想頻率選擇濾波器：無(wú)失真地通過(guò)一組頻率上的復(fù)指數(shù)信號(hào)，并全部阻止掉所有其它頻率的信號(hào)。3.9濾波濾波器相關(guān)術(shù)語(yǔ)通帶阻帶截止頻率理想低通濾波器的頻率響應(yīng)表示如下：通帶阻帶阻帶3.9濾波例：考慮周期性方波。給定一個(gè)理想低通濾波器，其截止頻率為ωC=6π弧度/秒,當(dāng)周期性方波作用于理想低通濾波器，確定其輸出響應(yīng)y(t)。ωC=6π

弧度/秒3.9濾波解答:

為方便計(jì)算，假設(shè)，直流分量3.9濾波ωC=6π

弧度/秒3.9濾波輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的頻譜圖描繪如下圖所示：理想低通濾波器輸出信號(hào)的頻譜3.9濾波輸出響應(yīng)為：3.9濾波輸出信號(hào)y(t)

描述如下所示：3.9濾波從此例可知：理想低通濾波器能夠通過(guò)在通帶(-

6π≤ω≤6π)范圍內(nèi)的所有頻率分量，阻止帶外所有頻率分量。注：理想濾波器不可能實(shí)現(xiàn)。3.10用微分方程描述的連續(xù)

時(shí)間濾波器舉例什么樣的濾波器可以實(shí)現(xiàn)？因?yàn)?，因果性表明了可?shí)現(xiàn)性。因此，如果一個(gè)LTI系統(tǒng)是因果的，則其是可實(shí)現(xiàn)的。3.10用微分方程描述的連續(xù)

時(shí)間濾波器舉例3.10.1簡(jiǎn)單RC

低通濾波器此為一階濾波器。輸入:vs(t)輸出:vC(t)為理解其頻率選擇性，我們必須先確定其頻率響應(yīng)H(jω)

。3.10用微分方程描述的連續(xù)

時(shí)間濾波器舉例通過(guò)分析求得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：---幅頻響應(yīng)---相頻響應(yīng)---極坐標(biāo)形式3.10用微分方程描述的連續(xù)

時(shí)間濾波器舉例相頻響應(yīng)為：幅頻響應(yīng)為：0.707返回3.10用微分方程描述的連續(xù)

時(shí)間濾波器舉例現(xiàn)簡(jiǎn)要考慮一下電路的時(shí)域特性。為確定其單位沖激響應(yīng)，令vs(t)=δ(t),則其微分方程為：當(dāng)t>0,3.10用微分方程描述的連續(xù)

時(shí)間濾波器舉例單位沖激響應(yīng):特征方程:特征根:利用系統(tǒng)的初始條件確定系數(shù)A。3.10用微分方程描述的連續(xù)

時(shí)間濾波器舉例系數(shù)A的確定觀察微分方程:假設(shè)3.10用微分方程描述的連續(xù)

時(shí)間濾波器舉例單位沖激響應(yīng)：因此，可計(jì)算系數(shù)A的值：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)：3.10用微分方程描述的連續(xù)

時(shí)間濾波器舉例根據(jù)頻率響應(yīng)的定義:3.10用微分方程描述的連續(xù)

時(shí)間濾波器舉例3.10.2簡(jiǎn)單RC

高通濾波器選擇電阻兩端的電壓作為電路的輸出。在這種情況下，微分方程如下：3.10用微分方程描述的連續(xù)

時(shí)間濾波器舉例為確定頻率響應(yīng)G(jω),代入

vs(t)=ejωt

和vR(t)=G(jω)ejωt

到微分方程，有：3.10用微分方程描述的連續(xù)

時(shí)間濾波器舉例頻率響應(yīng)為：根據(jù)幅頻響應(yīng)，可知系統(tǒng)為高通濾波器。3.10用微分方程描述的連續(xù)

時(shí)間濾波器舉例如同低通濾波器，電路參數(shù)既控制了高通濾波器的頻率響應(yīng)，又控制了它的時(shí)間響應(yīng)特性。因?yàn)椋?