計(jì)3-線性代數(shù)及其作用1-4ml

行列式Determinant故本課件中行列式一般用大寫字母D表示?！靶辛惺健币辉~的英文是determinant，D第四節(jié)行列式內(nèi)容提要 一、二階與三階行列式 二、排列及其逆序數(shù) 三、

n

階行列式的定義 四、

行列式的性質(zhì)和計(jì)算 五、

方陣取行列式

行列式的概念.行列式是線性代數(shù)的一種工具！學(xué)習(xí)行列式主要就是要能計(jì)算行列式的值.行列式的計(jì)算.一、二階與三階行列式我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式.（一）二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組由消元法，得當(dāng)時(shí)，該方程組有唯一解求解公式為二元線性方程組

請觀察，此公式有何特點(diǎn)？分母相同，由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.分子、分母都是四個(gè)數(shù)分成兩對相乘再相減而得.其求解公式為二元線性方程組我們引進(jìn)新的符號來表示“四個(gè)數(shù)分成兩對相乘再相減”.記號數(shù)表表達(dá)式稱為由該數(shù)表所確定的二階行列式，即其中，稱為元素.i為行標(biāo)，表明元素位于第i行；j為列標(biāo)，表明元素位于第j

列.二階行列式的計(jì)算主對角線副對角線即：主對角線上兩元素之積－副對角線上兩元素之積——對角線法則二元線性方程組若令(方程組的系數(shù)行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為例1求解二元線性方程組解因?yàn)樗裕ǘ┤A行列式定義

設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表引進(jìn)記號稱為三階行列式.主對角線副對角線三階行列式的計(jì)算——對角線法則注意：對角線法則只適用于二階與三階行列式.實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積冠正號，

虛線上的三個(gè)元素的乘積冠負(fù)號.

三階行列式包括3!項(xiàng),每一項(xiàng)都是位于不同行,不同列的三個(gè)元素的乘積,其中三項(xiàng)為正,三項(xiàng)為負(fù).沙路法

例2

計(jì)算行列式解按對角線法則，有方程左端解由得例3

求解方程練習(xí)：計(jì)算行列式

n階行列式的定義定義三、行列式的性質(zhì)行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記請大家計(jì)算下列行列式：（用對角線法）從中得到結(jié)論：性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.例如推論

如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有觀察：性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．知識點(diǎn)比較性質(zhì)４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明觀察：性質(zhì)5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可以寫成兩個(gè)行列式之和。則D等于下列兩個(gè)行列式之和：例如知識點(diǎn)比較觀察：性質(zhì)６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一常數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如例如四、余子式與代數(shù)余子式在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如結(jié)論三階行列式可以用二階行列式表示.思考題任意一個(gè)行列式是否都可以用較低階的行列式表示？降階法引理

一個(gè)n階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如定理行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即證行列式按行（列）展開法則：例1

計(jì)算行列式解根據(jù)展開式，按照第一行元素展開，有：推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證同理相同例5：已知，求展開式逆行展開定理：例2

計(jì)算行列式解按第二行展開，得例

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計(jì)算行列式解：例4同理可得下三角行列式證明對角行列式練習(xí)：利用行列式性質(zhì)計(jì)算下列行列式：例１五、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上（下）三角形行列式，從而算得行列式的值．解例2按行（列）展開式，通常選擇含0最多的行（列）“行列式性質(zhì)+展開定理”雙劍合璧：打洞例3

計(jì)算階行列式解將第都加到第一列得特點(diǎn)是每一行元素的和都相同練習(xí)：計(jì)算解思考題=－2（n－2）！

證用數(shù)學(xué)歸納法例4證明范德蒙德(Vandermonde)行列式n-1階范德蒙德行列式例5*（拉普拉斯定理）證明證明計(jì)算解：例定義行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)證明則稱為矩陣的伴隨矩陣.故同理可得2、方陣的行列式定義

由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算性質(zhì)

二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.對角線法則二階與三階行列式的計(jì)算六、小結(jié)行列式的性質(zhì)1)

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.即互換行列式的兩行(列),行列式變號.2)行列式等于零。行列式有兩行(列)對應(yīng)元素相等時(shí)，該3)到行列式號外面。行列式中某一行（列）中的公因子可以提4)行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為0。推論行列式具有分行(列)相加性，5)行列式某一行(列)各元素乘以同一個(gè)數(shù)加6)到另一行(列)對應(yīng)元素上，行列式不變。(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立).

計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為三角形行列式，從而算得行列式的值．(3)降階法：利用性質(zhì)結(jié)合展開式，將行列式的某一行（列）的元素盡可能多的化為0，再用展開式計(jì)算。通常選擇含0較多的行（列）。行列式的6個(gè)性質(zhì)思考題矩陣與行列式的有何區(qū)別?思考題解答

矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)算式，一個(gè)數(shù)字行列式經(jīng)過計(jì)算可求得其值，而矩陣僅僅是一個(gè)數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)可以不同.思考題思考題解答