研一上課程高等流體力學(xué)第2講

高等流體力學(xué)第2講

歐拉描述和拉格朗日描述描述流體流動(dòng)的方法1.方法概要

一、歐拉描述(歐拉的眼睛)

著眼于流場中各空間點(diǎn)，通過了解流場中所有空間點(diǎn)物理量(流速、溫度、密度等)的變化規(guī)律，來獲得整個(gè)流場的信息。2.研究對象:

某一時(shí)刻空間各點(diǎn)的流速分布流場：充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間

流場：二維速度剖面(也屬于流場速度分布):

u

＝u(x,y)3.描述流體速度空間分布的不同方式xyxy與時(shí)間無關(guān)的流場與時(shí)間有關(guān)的流場tt1t2t31.方法概要二、拉格朗日描述(拉格朗日的眼睛)2.研究對象

流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位置或速度分布它著眼于流體質(zhì)點(diǎn)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡，研究各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)歷程yxr(t)（t為自變量，a,b,c

為流體質(zhì)點(diǎn)的初始坐標(biāo)

）流體質(zhì)點(diǎn)速度：流體質(zhì)點(diǎn)加速度：

應(yīng)用跡線描述流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)跡線方程:xy三.跡線與流線1、跡線流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。（t為自變量，x,y,z

為t

的函數(shù)

）應(yīng)用跡線描述流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)2.流線流線是表示流體流動(dòng)趨勢的一條曲線.在同一瞬間，位于某條線上每一個(gè)流體微團(tuán)的速度矢量都與此線在該點(diǎn)的切線重合，則這條線稱為流線。適于歐拉方法(t0

為參數(shù)）流線的性質(zhì)（1）流線彼此不能相交(除了源和匯)（2）流線是一條光滑的曲線，不可能出現(xiàn)折點(diǎn)(除了激波問題)（3）定常流動(dòng)時(shí)流線形狀不變，非定常流動(dòng)時(shí)流線形狀發(fā)生變化v1v2s1s2交點(diǎn)v1v2折點(diǎn)s[例1]

由速度分布求質(zhì)點(diǎn)軌跡求：初始(t

=0)位置是（a,b）的流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡對某時(shí)刻t位于坐標(biāo)點(diǎn)上(x,y)的質(zhì)點(diǎn)

解：求解一階常微分方程（a）可得已知:

已知用歐拉法表示的流場速度分布規(guī)律為討論：本例說明雖然給出的是速度分布式（歐拉法），即各空間點(diǎn)上速度分量變化規(guī)律，仍然可由此求出一指定流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻經(jīng)歷的空間位置，即運(yùn)動(dòng)軌跡（拉格朗日法）。上式中c1，c2

為積分常數(shù)，由t=0時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)位于可確定，代入(b)式，可得參數(shù)形式的流體質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為:例2:如果已知用拉格朗日法表示的流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)為:解:由速度表達(dá)式:(1)(2)試求該流動(dòng)的歐拉描述與流線方程?討論：本例說明雖然給出的是流體質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻經(jīng)歷的空間位置，即運(yùn)動(dòng)軌跡,即可由此求出空間各點(diǎn)速度分布式（歐拉法），即各空間點(diǎn)上速度分量隨時(shí)間的變化規(guī)律。此例中空間流場分布與時(shí)間無關(guān),屬于定常流場.由于在歐拉法中速度只和當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)以及時(shí)間有關(guān),所以必須消去初始座標(biāo),觀察(1)式和(2)式可得:相應(yīng)的流線方程是:xy作業(yè)3:已知流速場為:試求:(1)流線方程,并繪出流場示意圖;(2)t=0時(shí)通過(1,1,0)點(diǎn)的跡線方程作業(yè)2:已知流速場為:試求:t=0時(shí)通過(1,1,0)點(diǎn)的跡線方程習(xí)題1:已知空間流場的速度分布(歐拉法)如果已知流體質(zhì)點(diǎn)在t=0

時(shí),初始位置是(1

,0

,0),試求(1)該流體質(zhì)點(diǎn)的跡線方程;(2)流線方程.§3.2

流體的加速度一.流體的加速度加速度是流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度變化(拉格朗日意義上).流體質(zhì)點(diǎn)加速度：

流體質(zhì)點(diǎn)速度：如果給定歐拉描述,

如何去求各空間位置流體質(zhì)點(diǎn)的加速度?

方法I:

(1)先通過歐拉描述求出跡線的參數(shù)方程;(2)由跡線的參數(shù)方程對時(shí)間求二階微分;(3)再把加速度表達(dá)式還原為x,y,z,t的歐拉描述。

方法II:[例3]

由速度分布求加速度求各空間位置上流體質(zhì)點(diǎn)的加速度對某時(shí)刻t位于坐標(biāo)點(diǎn)上(x,y)的質(zhì)點(diǎn)

解：求解一階常微分方程（a）可得已知:

已知用歐拉法表示的流場速度分布規(guī)律為非均勻變化率:在同一瞬時(shí),由于空間位置變化而引起的速度變化率.為不同位置上的速度差異引起的變化率（遷移），反映各空間位置的速度分布不均勻性之影響[例3]

由速度分布求加速度求各空間位置上流體質(zhì)點(diǎn)的加速度對某時(shí)刻t位于坐標(biāo)點(diǎn)上(x,y)的質(zhì)點(diǎn)

解：求解一階常微分方程（a）可得已知:

已知用歐拉法表示的流場速度分布規(guī)律為非定常變化率:各空間位置點(diǎn)速度隨時(shí)間變化而引起的質(zhì)點(diǎn)速度的變化；反映隨時(shí)間變化的速度分布之影響[例3]

由速度分布求加速度求各空間位置上流體質(zhì)點(diǎn)的加速度對某時(shí)刻t位于坐標(biāo)點(diǎn)上(x,y)的質(zhì)點(diǎn)

解：求解一階常微分方程（a）可得已知:

已知用歐拉法表示的流場速度分布規(guī)律為

假設(shè)z=f(t,

x,y)

是一個(gè)關(guān)于x和y的可微函數(shù),而x=g(t)

和y=h(t)均為t的可微函數(shù),就有:引子:多元函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t

假設(shè)z=f(x,y)

是一個(gè)關(guān)于x和y的可微函數(shù),而x=g(t)

和y=h(t)均為t的可微函數(shù),就有:兩種方法求得的加速度等價(jià)tt+Δt(x,y,z)(x+Δx,y+Δy,z+Δz)xyz每一空間點(diǎn)上的流體質(zhì)點(diǎn)都可視為跡線上的一點(diǎn).那么歐拉法中的空間位置坐標(biāo)(x,y,z)轉(zhuǎn)換為流體質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻所在的坐標(biāo):

(x,y,z)

(x(t),y(t),z(t))引入梯度算子:非定常變化率。各空間位置點(diǎn)速度隨時(shí)間變化而引起的質(zhì)點(diǎn)速度的變化；反映隨時(shí)間變化的速度分布之影響非均勻變化率。在同一瞬時(shí),由于空間位置變化而引起的速度變化率.為不同位置上的速度差異引起的變化率（遷移），反映各空間位置的速度分布不均勻性之影響總加速度（隨體加速度）。表示流體質(zhì)點(diǎn)的速度隨時(shí)間的變化率二.其他物理量的時(shí)間變化率通常,物理量其變化率為:為各位置的物理量B隨時(shí)間的變化率，反映流場的不定常性之影響為不同位置（遷移）上物理量的差異引起的變化率，反映流場的不均勻性之影響在一固定空間點(diǎn),由于時(shí)間變化而引起的流體粒子溫度變化；反映溫度場的非定常性之影響不同位置上的溫度分布不均勻引起的流體粒子溫度變化流體粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)溫度的變化率；溫度：

流體速度場和溫度場的聯(lián)立描述1.非定常的均勻流場,各物理量不隨空間變化,僅隨時(shí)間變化:非定常的均勻場加速度為:加速度即為當(dāng)?shù)刈兓蕩追N特殊流場加速度簡化表達(dá)式2.定常流動(dòng):定常流動(dòng)的加速度為:即為遷移加速度3.一維流動(dòng)作業(yè)1:已知流速場為:求流體質(zhì)點(diǎn)的加速度表達(dá)式,并予以說明流場的特點(diǎn)(是定常流動(dòng)嗎?及加速度的含義?)求流體質(zhì)點(diǎn)的加速度表達(dá)式,并予以說明流場的特點(diǎn)(是定常流動(dòng)嗎?及加速度的含義?)作業(yè)2:已知流速場為:四、兩種方法的比較

拉格朗日法歐拉法分別描述有限質(zhì)點(diǎn)的軌跡表達(dá)式復(fù)雜不能直接反映參數(shù)的空間分布不適合描述流體微元的運(yùn)動(dòng)變形特性拉格朗日觀點(diǎn)是非常重要的同時(shí)描述所有質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)參數(shù)表達(dá)式簡單直接反映參數(shù)的空間分布適合描述流體微元的運(yùn)動(dòng)變形特性

流體力學(xué)最常用的分析方法描述方法隨體法全局法拉格朗日法

歐拉法質(zhì)點(diǎn)軌跡：物理量分布:B=B（x,y,z,t）

§3.3

流動(dòng)的分類A.定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)B.急變流和緩變流C.層流與湍流D.一維流動(dòng),二維流動(dòng)和三維流動(dòng)一.定常流動(dòng)和非定常流動(dòng)1.

定常流動(dòng)流動(dòng)參量不隨時(shí)間變化的流動(dòng)。特點(diǎn)：流場內(nèi)的速度、壓強(qiáng)、密度等參量只是坐標(biāo)的函數(shù)，而與時(shí)間無關(guān)。即：2.

非定常流動(dòng)流動(dòng)參量隨時(shí)間變化的流動(dòng)。特點(diǎn)：流場內(nèi)的速度、壓強(qiáng)、密度等參量不僅是坐標(biāo)的函數(shù)，而且與時(shí)間有關(guān)。即：a定常流動(dòng)b

準(zhǔn)定常流動(dòng)c周期性諧波脈動(dòng)流d

周期性非諧波脈動(dòng)流（體內(nèi)流）

e

非周期性脈動(dòng)流(衰減流）f

隨機(jī)流動(dòng)（湍流）觀測任一小區(qū)域的流速變化二、一維流動(dòng)、二維流動(dòng)和三維流動(dòng)1.流動(dòng)參量是幾個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)，即為幾維流動(dòng)。一維流動(dòng)二維流動(dòng)2.實(shí)際流體力學(xué)問題均為三元流動(dòng)工程中一般根據(jù)具體情況加以簡化三、緩變流急變流緩變流：急變流：緩變流急變流緩變流急變流急變流緩變流急變流緩變流緩變流§3.4

流管流束流量1、流管流束流管：在流場內(nèi)任意作一封閉曲線（不是流線），通過封閉曲線上所有各點(diǎn)作流線，所形成的一個(gè)封閉的管狀曲面稱為流管。流束：流管內(nèi)部的流體稱為流束。封閉曲線無限小時(shí)所形成的流管微元流管：封閉曲線無限小時(shí)所形成的流管,其極限為流線質(zhì)量流量:如果不考慮流速分布:體積流量:質(zhì)量流量:如果考慮流速分布:體積流量:2、有效截面流量平均流速

3、濕周水力半徑

1.濕周在有效截面上，流體同固體邊界接觸部分的周長2.水力半徑R=2R=AB+BC+CDABCD=ABCABC有效截面積與濕周之比稱為水力半徑§3.5

系統(tǒng)與控制體一、流體力學(xué)中的系統(tǒng)與控制體概念1.系統(tǒng)(system)、控制質(zhì)量(controlmass)

一團(tuán)流體質(zhì)點(diǎn)的集合，拉格朗日法研究流體運(yùn)動(dòng)的研究對象2.控制體、控制體積

(controlvolume)

流場中某一確定的空間區(qū)域，歐拉法研究流體運(yùn)動(dòng)的研究對象

始終包含確定的流體質(zhì)點(diǎn)有確定的質(zhì)量系統(tǒng)的表面常常是不斷變形

控制體的周界稱為控制面一旦選定后，其形狀和位置就固定不變控制體積(controlvolume)

方法的特點(diǎn):(1)形狀和體積不變;(2)可通過控制面和外界有質(zhì)量和能量交換,也有力的相互作用;(3)控制體保持固定不動(dòng)或勻速運(yùn)動(dòng)流動(dòng)功(也稱推擠功):P1A1ΔxPAh當(dāng)物質(zhì)移入具有一定壓強(qiáng)的體系時(shí)需要做功,P而且是外界對體系做功飛機(jī)噴管的地面風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)臺(tái)噴管需要解決的問題是:運(yùn)動(dòng)的流體對固壁的作用力定常流動(dòng)控制體內(nèi)流體動(dòng)量的變化率為零但是噴管所受的力并不為零t時(shí)刻t+Δt時(shí)刻問題1:控制體內(nèi)的物理量變化和流體粒子集合(系統(tǒng))

物理量變化并不總是等同控制體系統(tǒng)IIIIII控制體系統(tǒng)MMMII+MIIIMI+MII

=MI+M

–MIII下面需要澄清三個(gè)問題:問題2:我們的目標(biāo)是什么?如果給定的是流場或溫度場(即物理量的分布),即可知控制體中物理量的變化率,那么如何推得流體粒子集合物理量的變化率?需在這兩者之間架設(shè)橋梁!流體粒子系統(tǒng)物理量的變化率質(zhì)量守恒動(dòng)量方程能量方程動(dòng)量變化率等于流體粒子系統(tǒng)所受的外力能量變化率等于流體粒子系統(tǒng)外力所做的功率控制體中的流體物理量的變化率質(zhì)量守恒動(dòng)量方程能量方程動(dòng)量方程單個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)群(拉格朗日的眼睛)定常流動(dòng)控制體內(nèi)流體動(dòng)量的變化率為零但是噴管所受的力并不為零

某一時(shí)刻流場,其物理量分布函數(shù)為f(r,t),則t時(shí)刻流體在空間V上總物理量是:(1).

密度分布函數(shù)

ρ(r,t)

在空間區(qū)域V上的總流體質(zhì)量是:(2).

在空間V上的總流體動(dòng)量是:(3).

在空間V上的總流體動(dòng)能是:t時(shí)刻t+Δt時(shí)刻系統(tǒng)控制體xyzoVzxynv2nv1βaoV3V2V1二、流體系統(tǒng)(大量粒子的集合)輸運(yùn)方程

(transportequation)N

:

t時(shí)刻流體系統(tǒng)的某種物理量（如質(zhì)量、動(dòng)量、能量等）f(r,t):

單位質(zhì)量流體所具有的物理量(f(r,t)是屬于歐拉描述)于是流體系統(tǒng)物理量的積分相應(yīng)為:推導(dǎo)過程：現(xiàn)分別計(jì)算右端三個(gè)極限:1.Δt時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)物理量的變化2.此式實(shí)際上是敘述在Δt時(shí)間內(nèi)流出控制體的物理量,與物理量的移出的速率有關(guān),請看下式:3.同理可得:此式敘述的是在Δt

時(shí)間內(nèi)流入控制體的物理量,與物理量的移出的速率有關(guān),

某一時(shí)刻流場,其物理量分布函數(shù)為f(r,t),則t時(shí)刻流體在空間V上總物理量是:(1).

密度分布函數(shù)

ρ(r,t)

在空間區(qū)域V上的總流體質(zhì)量是:(2).

在空間V上的總流體動(dòng)量是:(3).

在空間V上的總流體動(dòng)能是:dAnαvvndAα進(jìn)口截面出口截面即書上的公式:因此:上述方程傳達(dá)了這樣的觀念：流體系統(tǒng)(大量粒子的集合)某一物理量的時(shí)間全變化率是由兩部分組成:(1)控制體內(nèi)該物理量的時(shí)間變化率;(2)單位時(shí)間內(nèi)通過控制面的該物理量的流量。如果是流動(dòng)是定常流動(dòng)：在定常流動(dòng)條件下，整個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部的流體所具有的物理量的變化率只與通過控制面的流動(dòng)有關(guān)，而不必知道系統(tǒng)內(nèi)部流動(dòng)的詳細(xì)情況。§3.6

質(zhì)量守恒方程(連續(xù)方程)單位質(zhì)量:系統(tǒng)的質(zhì)量:控制質(zhì)量方法控制體積方法歐拉描述拉格朗日描述一旦給出空間速度分布,即可求得上述質(zhì)量平衡關(guān)系式相互轉(zhuǎn)譯二、連續(xù)方程的其它形式定常流動(dòng)：定常流動(dòng)條件下，通過控制面的流體質(zhì)量等于零一維定常流：不可壓縮一維定常流：在定常流動(dòng)條件下，通過流管的任意有效截面的質(zhì)量流量是常量。在定常流動(dòng)條件下，通過流管的任意有效截面的體積流量是常量。一、動(dòng)量方程本質(zhì)：動(dòng)量定理§3.7

動(dòng)量方程1.單位質(zhì)量流體的動(dòng)量2.流體系統(tǒng)的動(dòng)量3.系統(tǒng)上外力的矢量和動(dòng)量流量的變化率等于外力的矢量和4.控制體內(nèi)和界面上的動(dòng)量流量變化:由動(dòng)量定理可得:定常流動(dòng)的動(dòng)量方程如果進(jìn)出口截面的平均流速為，如果速度均勻：可得：控制質(zhì)量方法控制體積方法歐拉描述拉格朗日描述一旦給出空間速度分布,即可求得上述質(zhì)量平衡關(guān)系式相互轉(zhuǎn)譯[例4]固定噴管的受力問題解：取圖中虛線所示控制體，有兩個(gè)出入口,

且為定常流動(dòng)。 可得設(shè)一固定噴管,恒定流量是0.02m3,入口直徑為9cm,入口表壓強(qiáng)為5atm,出口直徑為3cm,出口為大氣壓強(qiáng),并假設(shè)流體在截面上速度分布均勻,ρ=103kg/m3,

試求固定噴管所受的力.控制體出口截面動(dòng)量流量: 控制體進(jìn)口截面動(dòng)量流量: 由于是定常流動(dòng),控制體內(nèi)動(dòng)量變化為0:由動(dòng)量定理可得,只需列出x方向的動(dòng)量方程:所以,噴管給流體施加的力是:流體給噴管施加的力與上式大小相等,方向相反[例5]彎管的流動(dòng)受力問題已知:設(shè)水流流過一圓形彎曲管道,流動(dòng)為定常流動(dòng)，彎管的偏轉(zhuǎn)角為θ,進(jìn)出口面積A相同，進(jìn)出口兩端的表壓分別為p1,p2，流速為V，忽略重力和粘性作用，并假設(shè)進(jìn)出口截面速度分布和壓力分布均勻。求：水流對彎管水平方向和垂直方向的作用力F的表達(dá)式

xy注意y軸的方向解：首先選定圖中虛線所示的控制體定常流動(dòng)量方程為：則流體在X方向和Y方向所受的總力為：Fx,Fy是管壁作用在流體上未知力。于是：流體作用在圓管上的力（Rx,Ry)與（Fsx,Fsy)是一對作用力與反作用力討論：計(jì)算結(jié)果表明水流對河流轉(zhuǎn)彎處有沖擊力。例6設(shè)一噴氣飛機(jī)以200m/s的速度在8000米的高空飛行,空氣密度是0.526kg/m3,進(jìn)氣速度是200m/s,如圖所示,發(fā)動(dòng)機(jī)入口截面的直徑為0.86m,排出氣體相對于飛機(jī)的出口速度為650m/s,按不可壓縮流體處理,試求發(fā)動(dòng)機(jī)的推力.噴氣式飛機(jī)示意圖所選取的控制體解：取圖中虛線所示控制體，有兩個(gè)出入口 注意控制體以勻速運(yùn)動(dòng)行進(jìn)V1V2yx如果是勻速運(yùn)動(dòng)的控制體絕對速度相對速度(取飛機(jī)為坐標(biāo)系)(取地面為坐標(biāo)系)按進(jìn)口尺寸及飛行速度和飛行高度,很容易把質(zhì)量流量推算出來:于是推力:控制體如果是運(yùn)動(dòng)的,需按相對速度計(jì)算流量和動(dòng)量的變化。實(shí)際計(jì)算中要考慮可壓縮效應(yīng)對氣體密度的影響,流量系數(shù),粘性阻力以及前后端的壓差等因素的影響。3、動(dòng)量矩方程左邊等于作用在系統(tǒng)上的外力矩之和定常流動(dòng)，控制體內(nèi)流體的動(dòng)量矩隨時(shí)間不變力矩Fr動(dòng)量定理：動(dòng)量矩定理：牽連速度：絕對速度：相對速度：泵出口處的流量：泵出口處的流體動(dòng)量矩：即有：該力矩傳給流體的軸功率為：本質(zhì)：能量守恒定理§3.8

管流能量方程控制體進(jìn)口的能量單位時(shí)間外力對系統(tǒng)所做的功機(jī)械能：高品位動(dòng)能：位置勢能：內(nèi)能：流動(dòng)功：低品位動(dòng)能：位置勢能：內(nèi)能：流動(dòng)功：低品位控制體出口的能量機(jī)械能：高品位單位時(shí)間外力對系統(tǒng)所做的功如果是定常流動(dòng)，控制體內(nèi)部儲(chǔ)存能量變化為0定常流動(dòng)（開口系統(tǒng)穩(wěn)定流動(dòng)）能量守恒方程可寫為：假定控制體絕熱，這樣好討論整理可得：軸功率Ws一般是由風(fēng)扇、水泵、壓氣機(jī)、渦輪等流體裝置來進(jìn)行如果進(jìn)出口速度不均勻：常見的情況：一維流動(dòng)管路１.如果假定管路進(jìn)出口流速是均勻的由于所以定常流動(dòng)的能量輸運(yùn)方程可化簡為：2.如果給定管路進(jìn)出口的流速分布這里把流體由于粘性而損失的能量都集中于Wv項(xiàng)中,轉(zhuǎn)化為內(nèi)能動(dòng)能修正系數(shù)：規(guī)定：流體對外做功外界對流體做功比較:A.工程熱力學(xué)中穩(wěn)定流動(dòng)方程B.流體力學(xué)工程熱力學(xué)：通過氣體熱力狀態(tài)的變化對外做功研究對象：氣體目的：工程流體力學(xué)：研究對象：流體閉口系統(tǒng)：開口系統(tǒng)：如果是液體，無密度的改變，只有壓強(qiáng)的變化一維均勻流動(dòng)管路如果無軸功和熱量輸入和輸出,那么由于流動(dòng)管路均勻,

v2=v1,z2=z1,那么hL稱為流動(dòng)管路單位質(zhì)量流量的水頭損失有用能、機(jī)械能高品位能量熱能低品位能量漩渦、摩擦[例8]自來水廠中水泵加壓問題

自來水以0.3m3/s的流量流過水泵,水泵入口處面積為0.5m2,出口處的面積為0.5

m2,進(jìn)口處的絕對壓強(qiáng)是2×105pa,進(jìn)出口高度相同,水泵加給水的功率為1000W,整個(gè)管路的功率損失是100W,不考慮向外散失的熱量,求出口壓強(qiáng)?(ρ=1000kg/m3)解：取控制體,列定常流動(dòng)能量方程由于z1=z2,q=0,α1=α2=1.0進(jìn)口速度是:出口速度是:水泵加給水的功率是:整個(gè)裝置的功率損失是:代入能量方程可得:即可求得p2求：(1)有用功的增量Δw解：取控制體,列定常流動(dòng)能量方程[例8]

軸流式風(fēng)扇的效率問題

(2)能