張海論文數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的滲透分析

數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的滲透分析【摘要】高中數(shù)學(xué)是一門邏輯性較強(qiáng)、抽象性較突出的學(xué)科，在新課改的背景下，各大學(xué)校特別重視高中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)化。而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，將數(shù)學(xué)思想方法融入于高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，能夠便于學(xué)生解題，使學(xué)生到達(dá)舉一反三的學(xué)習(xí)目標(biāo)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化學(xué)習(xí)。本文從數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想以及分類討論思想三大方面對(duì)數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透進(jìn)行分析，以期為高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的優(yōu)化提供有效憑據(jù)?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想方法；高中數(shù)學(xué)；滲透0.引言數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，從本質(zhì)上來講，數(shù)學(xué)思想能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)有一個(gè)整體性的認(rèn)識(shí)，通過歸納總結(jié)，能夠從同類數(shù)學(xué)問題中獲得“共通性〞[1]。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，充分應(yīng)用思想思想，能夠到達(dá)優(yōu)化解題、優(yōu)化學(xué)習(xí)的目的。為了使高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量得到有效提升，本文對(duì)“數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的滲透〞進(jìn)行分析意義重大。1.數(shù)形結(jié)合思想的滲透我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。〞結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)形結(jié)合是一類非常重要的思想方法。通過借助數(shù)形結(jié)合思想，能夠到達(dá)“以形解數(shù)〞與“以數(shù)解形〞的目的，使一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單化，使一些抽象的問題變得形象化。數(shù)學(xué)中兩大研究對(duì)象“數(shù)〞與“形〞的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)開展的內(nèi)在因素，數(shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)開展歷史長河中的一條主線，并且使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛和深入。一方面，借助于圖形的性質(zhì)可以將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化，給人以直覺的啟示。另一方面，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，以獲得精確的結(jié)論。通過數(shù)形結(jié)合，能夠使一些抽象的數(shù)量關(guān)系，以平面或者空間的形式展現(xiàn)出來，在使數(shù)學(xué)問題形象化的情況下，進(jìn)而到達(dá)優(yōu)化解題的目的。例題1：在高中數(shù)學(xué)課堂練習(xí)過程中，對(duì)y＝〔cosθ-cosα＋3〕2＋〔sinθ-sinα-2〕2的最值〔θ，a∈R〕進(jìn)行求解時(shí)，采取傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)解題方法往往會(huì)使學(xué)生無從下手。這時(shí)，【分析】可看成求兩動(dòng)點(diǎn)P〔cosθ，sinθ〕與Q〔cosα-3，sinα+2〕之間距離的最值問題.

解：兩動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：x2+y2=1和〔x+3〕2+〔y-2〕2=1，轉(zhuǎn)化為求兩曲線上兩點(diǎn)之間距離的最值問題.如圖：教師便可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合思想，通過距離函數(shù)模型進(jìn)而將上述問題解決。

這樣，不但讓學(xué)生順利解答數(shù)學(xué)問題，而且還認(rèn)識(shí)到了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的價(jià)值作用，從而引發(fā)思想，在今后的數(shù)學(xué)里能夠靈活應(yīng)用。2.化歸思想的滲透化歸思想是解題數(shù)學(xué)問題非常有效的思想方法之一。除極簡單的數(shù)學(xué)問題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為的問題實(shí)現(xiàn)的。從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問題就是從未知向轉(zhuǎn)化的過程。化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題的過程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的表達(dá)。即將需解答的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為已解答的數(shù)學(xué)問題，從而使原問題得到有效解答。將化歸思想融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，能夠讓學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題變得更加簡單、快速以及高效。在的展開式中x的系數(shù)為()．(A)160(B)240(C)360(D)800分析與解：此題要求展開式中x的系數(shù)，而我們只學(xué)習(xí)過多項(xiàng)式乘法法那么及二項(xiàng)展開式定理，因此，就要把對(duì)x系數(shù)的計(jì)算用上述兩種思路進(jìn)行轉(zhuǎn)化：思路1：直接運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法那么和兩個(gè)根本原理求解，那么展開式是一個(gè)關(guān)于x的10次多項(xiàng)式，=(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)(x2+3x+2)，它的展開式中的一次項(xiàng)只能從5個(gè)括號(hào)中的一個(gè)中選取一次項(xiàng)3x并在其余四個(gè)括號(hào)中均選擇常數(shù)項(xiàng)2相乘得到，故為·(3x)··24=5×3×16x=240x，所以應(yīng)選(B)．思路2利用二項(xiàng)式定理把三項(xiàng)式乘冪轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理再進(jìn)行計(jì)算，∵x2+3x+2=x2+(3x+2)=(x2+2)+3x=(x2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，∴這條思路下又有四種不同的化歸與轉(zhuǎn)化方法．①如利用x2+3x+2=x2+(3x+2)轉(zhuǎn)化，可以發(fā)現(xiàn)只有(3x+2)5中會(huì)有x項(xiàng)，即(3x)·24=240x，應(yīng)選(B)；②如利用x2+3x+2=(x2+2)+3x進(jìn)行轉(zhuǎn)化，那么只(x2+2)4·3x中含有x一次項(xiàng)，即·3x·C44·24=240x；③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就只有·(x2+3x)·24中會(huì)有x項(xiàng)，即240x；④如選擇x2+3x+2=(1+x)(2+x)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，=×展開式中的一次項(xiàng)x只能由(1+x)5中的一次項(xiàng)乘以(2+x)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)加上(2+x)5展開式中的一次項(xiàng)乘以(1+x)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)后得到，即為x·25+?24?x??15=160x+80x=240x，應(yīng)選(B)．又如：例題2：函數(shù)f〔x〕=4x2-ax+1在〔0,1〕中至少存在1個(gè)零點(diǎn)，試求a的取值范圍？結(jié)合上述題干條件，對(duì)a的取值范圍進(jìn)行求解會(huì)讓學(xué)生感到無從下手。針對(duì)這一問題，在課堂教學(xué)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生引入化歸數(shù)學(xué)思想，將正面數(shù)學(xué)問題從反面著手，即理解在〔0,1〕內(nèi)無零點(diǎn)存在，進(jìn)而得出在此區(qū)間沒有a的取值范圍，進(jìn)一步所獲取的a的相反值那么為例題2中要求解的答案。解：當(dāng)f〔x〕=4x2-ax+1在〔0,1〕時(shí)，沒有零點(diǎn)；那么4x2-ax+1=0在〔0，1〕沒有實(shí)根；即a≠4x+，X∈〔0，1〕，4x+≥22=4；可得4x+∈[4，+∞〕；∴當(dāng)a＜4時(shí)a≠4x+成立根據(jù)題目中的要求可知，函數(shù)是在〔0,1〕中至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以a的取值范圍為[4，+∞〕。上述例題2,很好地利用了化歸數(shù)學(xué)思想，將未知的函數(shù)問題跟有效結(jié)合起來，進(jìn)而使未知問題得到有效解決?？傊?，這是一種“將未知轉(zhuǎn)化為〞的化歸思想，使學(xué)生更易掌握此類型數(shù)學(xué)題的解題方法，進(jìn)而到達(dá)優(yōu)化學(xué)習(xí)的目的。3.分類討論思想的滲透分類討論是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)將一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解為等價(jià)的假設(shè)干個(gè)相對(duì)簡單的子問題，通過對(duì)子問題的解答，使得原復(fù)雜問題得到解決的方法。每個(gè)數(shù)學(xué)定理具有特定的條件，其使用具有自己的特定范圍。對(duì)于具體的問題，如果求解的問題與要采用的數(shù)學(xué)結(jié)論的使用范圍不一致，那么就要求對(duì)求解的問題進(jìn)行分類討論。有些數(shù)學(xué)問題并非只有一個(gè)解，有些數(shù)學(xué)問題沒有同意的定論，還有一些數(shù)學(xué)問題需借助字母才能夠?qū)⒔獗硎境鰜?。在這里，分類討論數(shù)學(xué)思想便起到了至關(guān)重要的作用[2]。將分類討論思想融入數(shù)學(xué)課題教學(xué)中，需遵循一定的原那么，即為：其一，每級(jí)分類按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；其二，分類需逐級(jí)進(jìn)行；其三，同級(jí)保持互斥關(guān)系，不能出現(xiàn)越級(jí)的現(xiàn)象。例題3：{an}是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和.〔1〕用Sn表示Sn+1;〔2〕是否存在自然數(shù)c和k，使得成立.命題意圖：此題主要考查等比數(shù)列、不等式知識(shí)以及探索和論證存在性問題的能力，屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：解決此題依據(jù)不等式的分析法轉(zhuǎn)化，放縮、解簡單的分式不等式；數(shù)列的根本性質(zhì).錯(cuò)解分析：第2問中不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，不能確定出.技巧與方法：此題屬于探索性題型，是高考試題的熱點(diǎn)題型.在探討第2問的解法時(shí)，采取優(yōu)化結(jié)論的策略，并靈活運(yùn)用分類討論的思想：即對(duì)雙參數(shù)k,c輪流分類討論，從而獲得答案.解：〔1〕由Sn=4(1–〕，得，(n∈N*)〔2〕要使，只要因?yàn)樗裕?k∈N*)故只要Sk–2＜c＜Sk，〔k∈N*〕因?yàn)镾k+1＞Sk，(k∈N*)①所以Sk–2≥S1–2=1.又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.當(dāng)c=2時(shí)，因?yàn)镾1=2，所以當(dāng)k=1時(shí)，c＜Sk不成立，從而①不成立.當(dāng)k≥2時(shí)，因?yàn)椋蒘k＜Sk+1(k∈N*)得Sk–2＜Sk+1–2故當(dāng)k≥2時(shí)，Sk–2＞c，從而①不成立.當(dāng)c=3時(shí)，因?yàn)镾1=2，S2=3，所以當(dāng)k=1，k=2時(shí)，c＜Sk不成立，從而①不成立因?yàn)椋諷k–2＜Sk+1–2所以當(dāng)k≥3時(shí)，Sk–2＞c，從而①成立.綜上所述，不存在自然數(shù)c,k,使成立.樹立分類討論思想，應(yīng)注重理解和掌握分類的原那么、方法與技巧、做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類不重復(fù)、不遺漏的分析討論.〞再比方函數(shù)f〔x〕＝Inx-a2x2＋ax〔a∈R〕。試求：〔1〕f〔x〕的單調(diào)區(qū)間及極值；〔2〕如果此函數(shù)基于區(qū)間〔1，＋∞〕上呈單調(diào)遞減，試求實(shí)數(shù)a的范圍大小。根據(jù)例題3，在滲透分類討論思想后，需形成以下討論內(nèi)容：討論一：明確切入點(diǎn)函數(shù)f〔x〕，以解答單調(diào)區(qū)間以及極值的步驟，進(jìn)而完成求解。將函數(shù)f〔x〕中所具備的參數(shù)a作為關(guān)注點(diǎn)，進(jìn)而針對(duì)a進(jìn)行進(jìn)一步的分類討論。討論二：首先需明確求解切入點(diǎn)，以討論一中的單調(diào)減區(qū)間作為依據(jù)，進(jìn)而列出不等式組，進(jìn)而完成求解。其次，需明確關(guān)注點(diǎn)，即以討論一的情況為依據(jù)，進(jìn)而完成分類討論。4.結(jié)論本文從數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、分類討論思想三大數(shù)學(xué)思想方法出發(fā)，對(duì)這些數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)