《離散型隨機(jī)變量的方差》示范公開(kāi)課教案【高中數(shù)學(xué)北師大】

《離散型隨機(jī)變量的方差》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量方差的含義，通過(guò)比較了解隨機(jī)變量的方差與樣本方差的區(qū)別與聯(lián)系；2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差；3.體會(huì)均值與方差是從不同角度刻畫(huà)隨機(jī)變量的重要指標(biāo)，并能利用他們解決一些實(shí)際問(wèn)題．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)離散型隨機(jī)變量的方差的概念和求法的理解．教學(xué)難點(diǎn)：利用離散型隨機(jī)變量的方差解釋隨機(jī)現(xiàn)象，解決實(shí)際問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程 教學(xué)過(guò)程一、情境導(dǎo)入有A、B兩種不同類(lèi)型的燈泡，通過(guò)抽樣，獲得了他們的“壽命”分別為X、Y（單位：h），已知X、Y的分布列如下表：X95010001050Y70010001300P121P121問(wèn)題1：該情境中，兩類(lèi)燈泡的“壽命”X、Y均是離散型隨機(jī)變量，你能結(jié)合上節(jié)課所學(xué)的隨機(jī)變量均值的知識(shí)來(lái)簡(jiǎn)單比較兩類(lèi)燈泡之類(lèi)的好壞嗎？答案：離散型隨機(jī)變量的均值，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，在該問(wèn)題中，均值越大，則燈泡的平均“壽命”越長(zhǎng)，均值越小，則燈泡的平均“壽命”越短．根據(jù)離散型隨機(jī)變量均值的計(jì)算公式為EX=EX=950×16EY=700×1因?yàn)镋X=EY，兩個(gè)均值相等，也就是說(shuō)這兩種燈泡的平均壽命都是1000h，那么我們僅通過(guò)均值就無(wú)法來(lái)比較兩種燈泡的質(zhì)量好壞．問(wèn)題2：那能否由EX=EY判定兩類(lèi)燈泡壽命數(shù)據(jù)無(wú)差別呢？也就是說(shuō)，是不是可以由均值相等，說(shuō)明兩類(lèi)燈泡質(zhì)量相同？答案：進(jìn)一步觀察數(shù)據(jù)，我們可以發(fā)現(xiàn)，A類(lèi)燈泡的壽命介于950h~1050h，B類(lèi)燈泡的壽命介于700h~1300h，直觀上看，A類(lèi)燈泡的壽命時(shí)長(zhǎng)要分布更為集中一些，即X與其均值的偏離程度要小一些．即，雖然均值相同，但是兩個(gè)變量X、Y的取值卻存在較大的差異．也就是說(shuō)，并不能直接由均值相等就判定兩個(gè)變量取值無(wú)差異．二、新知探究問(wèn)題3：基于以上問(wèn)題，我們?yōu)榱伺袛酂襞葙|(zhì)量的好壞，還需要進(jìn)一步考查燈泡壽命X與其均值EX的偏離程度．若偏離程度小，則燈泡的壽命比較穩(wěn)定；若偏離程度大，則燈泡壽命的穩(wěn)定性比較差．那么，怎樣定量刻畫(huà)離散型隨機(jī)變量取值的離散程度呢？答案：我們知道，在統(tǒng)計(jì)中，樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度，它是通過(guò)計(jì)算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來(lái)實(shí)現(xiàn)的．比如，一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，設(shè)其均值為x，則其方差即為(x1-x)s2=1一個(gè)自然的想法是，隨機(jī)變量的離散程度能否用可能取值與均值“偏差平方的平均值”來(lái)度量呢？設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn考慮X所有可能取值xi與EX的偏差的平方x1-EX2，x2-EX2，…，xn-EX2就描述了x我們稱DX=E=∑ni=1xi-EX2pi為隨機(jī)變量這樣，隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以反映隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度．方差（標(biāo)準(zhǔn)差）越小，隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小，取值越集中；方差（標(biāo)準(zhǔn)差）越大，隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越大，取值越分散．．問(wèn)題4：根據(jù)以上方差的知識(shí)，來(lái)評(píng)價(jià)一下情境中兩類(lèi)燈泡的質(zhì)量吧．答案：根據(jù)數(shù)據(jù)，EX=EY=1000hDX=E(X-EX)B類(lèi)型燈泡的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為DY=E(Y-EY)因?yàn)镈X<DY（等價(jià)地，σX<σY），所以問(wèn)題5：觀察隨機(jī)變量方差的表達(dá)式，嘗試一下能否進(jìn)行簡(jiǎn)化？答案：DX==在以上的式子中，∑ni=1xi2pi即為X2的均值，(EX)2問(wèn)題6：離散型隨機(jī)變量的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會(huì)見(jiàn)到aX+b這樣的變量，它與變量X存在線性關(guān)系，那么它的方差又與X的方差有何關(guān)系？這種關(guān)系與兩者期望的關(guān)系有什么不同？答案：這個(gè)問(wèn)題我們分三個(gè)層次來(lái)探究．①離散型隨機(jī)變量X加上一個(gè)常數(shù)b，僅僅使X的值產(chǎn)生一個(gè)平移，不改變X與其均值的離散程度，故方差保持不變，即D(X+b)=DX；②離散型隨機(jī)變量X乘以一個(gè)常數(shù)a，則D=即，DaX=a2DX，aX③類(lèi)似于上面的，可以證明DaX+b=a2DX，即與離散型隨機(jī)變量X存在線性依賴關(guān)系的變量aX+b三、應(yīng)用舉例例1拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點(diǎn)數(shù)X的方差和標(biāo)準(zhǔn)差．解：擲出點(diǎn)數(shù)X的分布列如下：X123456P111111EXDX=σX例2甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，設(shè)ξ，η分別表示甲、乙兩人所加工出的次品件數(shù)，且ξξ012η012P313P131試比較這兩名工人誰(shuí)的技術(shù)水平更高．解：因?yàn)镋ξ=0×3Eη=0×1即Eξ=Eη，說(shuō)明甲、乙兩名工人所加工出的平均次品件數(shù)相同，可以認(rèn)為他們的技術(shù)水平相當(dāng)．又因?yàn)镈ξ=Dη=所以Dξ>Dη，說(shuō)明工人乙的技術(shù)比較穩(wěn)定．例3醫(yī)學(xué)上發(fā)現(xiàn)，某種病毒侵入人體后，人的體溫會(huì)升高．記病毒侵入人體的平均體溫為X℃（攝氏度），醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，X的分布列如下：X37383940P0.10.50.30.1（1）求出EX，（2）已知人體體溫為X℃時(shí)，相當(dāng)于Y=1.8X+32℉（華氏度），求EY解：（1）EX=37×0.1+38×0.5+39×0.3+40×0.1=38.4，根據(jù)DX=∑DX=37（2）EYDY思考：隨機(jī)變量的均值、方差與分布列有何關(guān)系？答案：隨機(jī)變量的分布列全面刻畫(huà)了隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，隨機(jī)變量的均值和方差從不同的角度刻畫(huà)了隨機(jī)變量的特征，反映了隨機(jī)變量的重要信息．分布列確定了，均值和方差也就確定了；但是反過(guò)來(lái)，僅僅知道均值或方差等數(shù)字特征，并不能完全確定隨機(jī)變量的分布列．因此，均值、方差與分布列是部分和整體的關(guān)系．四、課堂練習(xí)1.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，求DX．解：依題意，隨機(jī)變量X的分布列如下表：X10Pp1-pEX=1?p+0?1-pDX=1-p2.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表，求DX和σX01234P0.10.20.40.20.1解：因?yàn)镋X=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2所以DX=0-22所以σX3.投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如下表所示．股票A收益的分布列股票B收益的分布列收益X/元-102收益Y/元012概率0.10.30.6概率0.30.40.3（1）投資哪種股票的期望收益大？（2）投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)較高？分析：股票投資收益是隨機(jī)變量，期望收益就是隨機(jī)變量的均值，投資風(fēng)險(xiǎn)是指收益的不確定性，在兩種股票期望收益相差不大的情況下，可以用收益的方差來(lái)度量它們的投資風(fēng)險(xiǎn)高低，方差越大風(fēng)險(xiǎn)越高，方差越小風(fēng)險(xiǎn)越低．解：（1）股票A的投資收益期望為EX=-1股票B的投資收益期望為EY=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1．因?yàn)镋X>EY，所以投資股票A的期望收益較大．（2）股票A的投資收益方差為DX=-1股票B的投資收益方差為DY=0因?yàn)镋X和EY相差不大，且DX>DY，所以投資股票A比投資股票說(shuō)明：在實(shí)際中，可以選擇適當(dāng)?shù)谋壤顿Y兩種股票，使期望收益最大或風(fēng)險(xiǎn)最?。?、梳理小結(jié)問(wèn)題1：我們是如何定量的刻畫(huà)一個(gè)離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性的？答案：我們通過(guò)離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)刻畫(huà)其取值的穩(wěn)定性．離散型隨機(jī)變量X的方差的定義是：其每個(gè)取值與均值的差的平方的均值，即DX=離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差指的方差的算術(shù)平方根，即σX離散型隨機(jī)變量的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）