2018-2019學(xué)年同步指導(dǎo)人教B版數(shù)學(xué)選修4-5導(dǎo)學(xué)案：1.2　基本不等式（二）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2基本不等式（二)1.理解定理3、定理4,會(huì)用兩個(gè)定理解決函數(shù)的最值或值域問題。2。能運(yùn)用三個(gè)正數(shù)的平均值不等式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.自學(xué)導(dǎo)引1.當(dāng)a、b、c∈R＋時(shí),eq\f（a＋b＋c，3）≥eq\r(3，abc)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立，稱eq\f(a＋b＋c，3)為正數(shù)a，b，c的算術(shù)平均值，eq\r（3,abc)為正數(shù)a、b、c的幾何平均值.2。如果a1,a2，…,an為n個(gè)正數(shù),則eq\f（a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r（n,a1a2…an)，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí),等號(hào)成立.基礎(chǔ)自測(cè)1.設(shè)a、b、c∈R，下列各不等式中成立的是()A.a2＋b2≥2｜ab| B.a＋b≥2eq\r（ab)C。a3＋b3＋c3≥3abc D.eq\f（a＋b＋c，3）≥eq\r（3,abc)解析由a2＋b2－2｜ab｜＝｜a|2－2｜ab|＋|b|2＝（｜a|－｜b｜）2≥0，故選A.答案A2。函數(shù)y＝x2·（1－5x)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0≤x≤\f(1，5））)的最大值為（）A。eq\f(4，675） B。eq\f（2，657）C。eq\f(4,645） D.eq\f(2，675）解析由y＝x2·（1－5x)＝eq\f(4,25）·eq\f(5，2）x·eq\f（5，2)x(1－5x)≤eq\f(4，25）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\f（5，2）x＋\f（5,2）x＋1－5x，3））)eq\s\up12(3）＝eq\f(4,675)。答案A3.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1,則a的最大值是________。解析利用不等式求解。因?yàn)閍＋b＋c＝0,所以b＋c＝－a.因?yàn)閍2＋b2＋c2＝1,所以－a2＋1＝b2＋c2＝（b＋c）2－2bc＝a2－2bc,所以2a2－1＝2bc≤b2＋c2＝1－a2，所以3a2≤2，所以a2≤eq\f(2，3)，所以－eq\f（\r(6）,3)≤a≤eq\f（\r（6）,3)，所以amax＝eq\f(\r(6），3)。答案eq\f（\r(6)，3）知識(shí)點(diǎn)1利用平均值不等式證明不等式【例1】已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求證:eq\f（1，a＋b)＋eq\f(1,b＋c）＋eq\f(1，c＋a）≥eq\f（9,2）.證明a＋b＋c＝1?(a＋b)＋（b＋c）＋（c＋a)＝2，［(a＋b）＋（b＋c)＋（c＋a)]eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋b)＋\f(1,b＋c)＋\f(1，c＋a)）)≥3eq\r（3,（a＋b）（b＋c）（c＋a））·3eq\f(1,\r（3,(a＋b）(b＋c）（c＋a）))＝9?eq\f（1,a＋b）＋eq\f（1,b＋c）＋eq\f（1，c＋a）≥eq\f(9,2）.●反思感悟：認(rèn)真觀察要證的不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活利用已知條件構(gòu)造出能利用平均值不等式的式子.1.證明(a＋b＋c）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，a＋b)＋\f(1,b＋c）＋\f（1，a＋c)))≥eq\f(9,2)（a，b,c∈R＋）.證明∵(a＋b）＋(b＋c）＋（c＋a）≥3eq\r（3，（a＋b)（b＋c)(c＋a）)，eq\f(1,a＋b）＋eq\f(1，b＋c)＋eq\f（1，a＋c）≥3eq\r(3,\f（1,a＋b)·\f(1,b＋c）·\f（1，a＋c）)，∴(a＋b＋c）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，a＋b)＋\f（1，b＋c)＋\f(1,a＋c)））≥eq\f（9,2)。當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí),等號(hào)成立。知識(shí)點(diǎn)2利用平均值不等式求最值【例2】若正數(shù)a,b滿足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范圍.解方法一:∵a、b∈R＋，且ab＝a＋b＋3≥3eq\r（3，3ab），∴a3b3≥81ab。又ab〉0，∴a2b2≥81?！郺b≥9（當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，取等號(hào))?！郺b的取值范圍是［9，＋∞)。方法二:∵ab－3＝a＋b≥2eq\r(ab),∴ab－2eq\r(ab)－3≥0且ab>0，∴eq\r(ab）≥3，即ab≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))∴ab的取值范圍是[9，＋∞）.●反思感悟：注意平均值不等式應(yīng)用的條件是三個(gè)正數(shù)在求最值時(shí)，一定要求出等號(hào)成立時(shí)未知數(shù)的值，如果不存在使等號(hào)成立的未知數(shù)的值，則最值不存在.2.求y＝sinxcos2x，x∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（π,2）)）的最大值.解∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2））),∴sinx〉0,y〉0。y2＝sin2xcos4x＝eq\f(2sin2xcos2xcos2x,2)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2sin2x＋cos2x＋cos2x，3）)）eq\s\up12(3）＝eq\f（1,2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2，3））)eq\s\up12(3）＝eq\f（8,54）＝eq\f（4，27）.故y≤eq\r(\f（4,27)）＝eq\f(2\r（3），9），此時(shí)，2sin2x＝cos2x,tan2x＝eq\f(1,2），y有最大值eq\f(2\r（3),9）.知識(shí)點(diǎn)3平均值不等式的實(shí)際應(yīng)用【例3】某產(chǎn)品今后四年的市場(chǎng)需求量依次構(gòu)成數(shù)列｛an｝，n＝1，2，3，4,并預(yù)測(cè)到年需求量第二年比第一年增長(zhǎng)的百分率為P1,第三年比第二年增長(zhǎng)的百分率為P2,第四年比第三年增長(zhǎng)的百分率為P3，且P1＋P2＋P3＝1.給出如下數(shù)據(jù):①eq\f（2,7),②eq\f（2，5），③eq\f（1,3），④eq\f（1,2)，⑤eq\f（2，3)，則其中可能成為這四年間市場(chǎng)需求量的年平均增長(zhǎng)率的是()A.①② B。①③C.②③④ D。②⑤解析設(shè)這四年間市場(chǎng)年需求量的年平均增長(zhǎng)率為x（x>0），則a4＝a1(1＋x)3＝a1(1＋P1)(1＋P2)（1＋P3），∴（1＋x)3＝(1＋P1）(1＋P2）(1＋P3),∴(1＋x）3＝(1＋P1)（1＋P2)(1＋P3)≤eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1＋P1＋1＋P2＋1＋P3,3）））eq\s\up12（3)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(4,3))）eq\s\up12(3）?！?＋x≤eq\f(4，3），即x≤eq\f(1,3)，對(duì)比所給數(shù)據(jù)，只有①③滿足條件，故選B.答案B3。設(shè)長(zhǎng)方體的體積為1000cm3，則它的表面積的最小值為__________cm2.解析設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則abc＝1000，且a〉0，b〉0,c〉0?！嗨谋砻娣eS＝2(ab＋bc＋ca)≥2×3eq\r（3，(abc）2）＝600.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝10（cm）時(shí)取“＝”號(hào).所以它的表面積S的最小值為600cm2.答案600課堂小結(jié)利用基本不等式解決實(shí)際問題的步驟：(1)理解題意，設(shè)出變量，一般設(shè)變量時(shí)，把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；（4）回答實(shí)際問題.隨堂演練1。設(shè)f（x）＝lnx，0＜a＜b，若p＝f（eq\r（ab)),q＝feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2）)），r＝eq\f（1,2)(f（a)＋f（b)），則下列關(guān)系式中正確的是（）A.q＝r＜p B.p＝r＜qC。q＝r＞p D.p＝r＞q解析利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷p，q,r之間的相等與不等關(guān)系。因?yàn)閎>a〉0，故eq\f（a＋b,2)<eq\r(ab）.又f（x）＝lnx(x〉0）為增函數(shù)，所以feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(a＋b，2）)）>f（eq\r(ab）)，即q>p.又r＝eq\f(1,2)(f（a)＋f(b）)＝eq\f(1，2）(lna＋lnb)＝lneq\r(ab）＝p.答案B2.已知x≥eq\f(5,2),則f(x)＝eq\f（x2－4x＋5，2x－4)有()A.最大值eq\f（5，4) B。最小值eq\f(5,4)C.最大值1 D。最小值1解析f(x)＝eq\f((x－2)2＋1，2（x－2））＝eq\f（1,2）eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（(x－2）＋\f（1，（x－2））））,又∵x≥eq\f（5,2），x－2≥eq\f(1，2），則f(x)≥eq\f(1,2）·2eq\r（（x－2）\f(1,（x－2））)＝1.答案D3。函數(shù)y＝x2·(1－3x）在eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,3)）)上的最大值是________.解析由y＝x2·(1－3x)＝eq\f（4，9)·eq\f（3，2)x·eq\f（3,2)x(1－3x）≤eq\f（4,9)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\f（3，2）x＋\f(3,2）x＋1－3x,3)))eq\s\up12(3）＝eq\f（3，243）。答案eq\f(3，243)4.用長(zhǎng)為16cm的鐵絲圍成一個(gè)矩形，則可圍成的矩形的最大面積是________cm2。解析設(shè)矩形長(zhǎng)為xcm(0〈x〈8），則寬為(8－x)cm，面積S＝x（8－x).由于x〉0，8－x〉0，可得S≤eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(x＋8－x,2)）)eq\s\up12（2)＝16，當(dāng)且僅當(dāng)x＝8－x即x＝4時(shí)，Smax＝16.所以矩形的最大面積是16cm2。答案16基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1。若x〉0,則4x＋eq\f(9,x2)的最小值是()A.9 B。3eq\r(3,36）C.13 D.不存在解析∵x>0，∴4x＋eq\f(9,x2）＝2x·2x·eq\f（9,x2）≥3eq\r（3,2x·2x·\f(9，x2)）＝3eq\r(3，36).答案B2。設(shè)a，b，c∈（0，＋∞)且a＋b＋c＝1,令x＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－1)）·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,b）－1))eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,c)－1)）,則x的取值范圍為（）A.eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f(1,8))） B.eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，1)）C.［1,8) D。［8，＋∞)解析∵x＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,a)－1）)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,b）－1））eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,c)－1）)＝eq\f(1－a，a)·eq\f(1－b,b)·eq\f(1－c,c)＝eq\f((b＋c)(c＋a）（a＋b），abc)≥eq\f（2\r(bc)·2\r(ca）·2\r（ab），abc)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào),∴x≥8。答案D3。已知x，y都為正數(shù)，且eq\f（1,x)＋eq\f（4,y）＝1，則xy有(）A.最小值16 B。最大值16C。最小值eq\f(1,16) D.最大值eq\f（1,16)解析∵x，y∈(0，＋∞）且eq\f(1，x）＋eq\f（4，y）＝1，∴1＝eq\f（1,x）＋eq\f（4，y）≥2eq\r（\f(4,xy））＝eq\f(4，\r（xy)）,∴eq\r(xy）≥4，∴xy≥16,當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(\f（1,x）＝\f(4,y)，,\f（1，x）＋\f(4,y）＝1，，x,y∈(0，＋∞），）)即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝2,,y＝8，））時(shí)取等號(hào)，此時(shí)（xy）min＝16.答案A4.已知a，b，∈R＊，則eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（a,b）＋\f(b,c)＋\f(c，a））)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（b,a)＋\f(c，b)＋\f(a，c）))≥________.解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（a，b)＋\f(b，c)＋\f（c,a))）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（b，a）＋\f（c，b)＋\f(a,c)））＝1＋1＋1＋eq\f(ac,b2)＋eq\f(a2,bc）＋eq\f(b2,ac）＋eq\f(ab,c2)＋eq\f（bc，a2）＋eq\f（c2，ab)≥3＋2eq\r（\f(ac，b2）·\f（b2，ac)）＋2eq\r(\f(a2,bc)·\f(bc,a2)）＋2eq\r(\f（ab，c2)＋\f(c2，ab)）＝9。答案95。要制作一個(gè)容積為4m3，高為1m的無蓋長(zhǎng)方體容器。已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是________(單位:元).解析利用均值(基本)不等式解決問題.設(shè)該長(zhǎng)方體容器的長(zhǎng)為xm，則寬為eq\f(4，x)m。又設(shè)該容器的造價(jià)為y元，則y＝20×4＋2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))×10,即y＝80＋20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x）)）(x〉0）.因?yàn)閤＋eq\f（4,x）≥2eq\r(x·\f(4,x））＝4eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（當(dāng)且僅當(dāng)x＝\f（4,x)，即x＝2時(shí)取“＝”）)，所以ymin＝80＋20×4＝160(元)。答案1606.已知關(guān)于x的不等式|x＋a｜＜b的解集為{x｜2＜x＜4｝.（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求eq\r（at＋12）＋eq\r（bt)的最大值.解（1）由|x＋a｜＜b，得－b－a＜x＜b－a，則eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(－b－a＝2，,b－a＝4，）)解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，，b＝1.））(2）eq\r（－3t＋12)＋eq\r(t)＝eq\r（3）eq\r(4－t)＋eq\r(t）≤eq\r([(\r(3)）2＋12][（\r(4－t））2＋(\r（t)）2］)＝2eq\r（4－t＋t）＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f（\r(4－t)，\r(3))＝eq\f（\r（t)，1),即t＝1時(shí)等號(hào)成立，故（eq\r（－3t＋12）＋eq\r(t)）max＝4.綜合提高7.已知圓柱的軸截面周長(zhǎng)為6，體積為V，則下列關(guān)系式總成立的是（)A。V≥π B。V≤πC.V≥eq\f（1,8）π D。V≤eq\f（1，8)π解析設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題意得：4r＋2h＝6，即2r＋h＝3,于是有V＝πr2h≤π·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（r＋r＋h,3)）)eq\s\up12(3）＝πeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3，3)))eq\s\up12（3）＝π，當(dāng)且僅當(dāng)r＝h時(shí)取等號(hào)。答案B8。如果圓柱的軸截面周長(zhǎng)l為定值，那么圓柱的體積最大值是（)A.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（l，6)))eq\s\up12（3）π B。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(l，3))）eq\s\up12(3)πC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(l,4））)eq\s\up12（3)π D.eq\f（1，4)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（l，4））)eq\s\up12(3)π解析l＝4r＋2h,即2r＋h＝eq\f(l,2），V＝πr2h≤eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（r＋r＋h,3）))eq\s\up12(3）π＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l，6））)eq\s\up12(3）π.答案A9.定義運(yùn)算“?":x?y＝eq\f(x2－y2,xy)（x，y∈R，xy≠0)，當(dāng)x＞0,y＞0時(shí)，x?y＋(2y)?x的最小值為________.解析先利用新定義寫出解析式，再利用重要不等式求最值.因?yàn)閤?y＝eq\f（x2－y2，xy),所以(2y)?x＝eq\f(4y2－x2,2xy）。又x>0，y>0，故x?y＋(2y)?x＝eq\f（x2－y2,xy)＋eq\f(4y2－x2，2xy)＝eq\f（x2＋2y2，2xy)≥eq\f（2\r（2）xy,2xy）＝eq\r(2），當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r（2)y時(shí)，等號(hào)成立.答案eq\r(2）10.某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F（單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí)）與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛,單位：米/秒)、平均車長(zhǎng)l（單位：米)的值有關(guān)，其公式為F＝eq\f(76000v，v2＋18v＋20l).(1)如果不限定車型，l＝6。05,則最大車流量為______輛/時(shí);（2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比（1)中的最大車流量增加________輛/時(shí).解析把所給l值代入，分子分母同除以v,構(gòu)造基本不等式的形式求最值。(1)當(dāng)l＝6。05時(shí),F＝eq\f（76000v，v2＋18v＋121)＝eq\f（76000,v＋\f(121，v)＋18)≤eq\f（76000,2\r（v·\f（121，v））)＋18＝eq\f（76000,22＋18)＝1900.當(dāng)且僅當(dāng)v＝11米/秒時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)車流量最大為1900輛/時(shí).（2）當(dāng)l＝5時(shí)，F(xiàn)＝eq\f(76000v，v2＋18v＋100）＝eq\f(76000，v＋\f（100，v）＋18）≤eq\f(76000，2\r（v·\f(100，v）)＋18）＝eq\f（76000,20＋18）＝2000。當(dāng)且僅當(dāng)v＝10米/秒時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)車流量最大為2000輛/時(shí)，比（1)中的最大車流量增加100輛/時(shí).答案(1）1900(2)10011.如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN,要求B在AM上,D在AN上且對(duì)角線MN過C點(diǎn)，已知｜AB|＝3米，|AD|＝2米.（1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米,則AN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？(2)當(dāng)AN的長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形AMPN的面積最?。坎⑶笞钚∶娣e；（3）若AN的長(zhǎng)度不少于6米，則當(dāng)AN的長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形AMPN的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e.解設(shè)AN的長(zhǎng)為x米（x>2)，矩形AMPN的面積為y.∵eq\f(|DN|，|AN|）＝eq\f（|DC|，｜AM｜),∴|AM｜＝eq\f(3x，x－2），∴S矩形AMPN＝|AN｜·|AM|＝eq\f（3x2,x－2）(x>2)(1)由S矩形AMPN〉32得eq\f（3x2，x－2)>32，∵x>2，∴3x2－32x＋64〉0，即（3x－8）（x－8)>0，∴2〈x<eq\f（8，3）或x〉8，即AN的長(zhǎng)的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（2，\f（8，3))）∪(8，＋∞)。（2)令y＝eq\f(3x2，x－2）＝eq\f(3(x－2）2＋12(x－2）＋12，x－2）＝3（x－2）＋eq\f（12,x－2)＋12≥2eq\r（3(x－2）·\f（12,x－2)）＋12＝24，當(dāng)且僅當(dāng)3（x－2）＝eq\f（12，x－2），即x＝4時(shí)，y＝eq\f(3x2,x－2）取得最小值，即S矩形AMPN取得最小值24平方米。(3）令g(x）＝3x＋eq\f（12,x）（x≥4），設(shè)x1〉x2≥4，則g(x1)－g(x2）＝3（x1－x2）＋eq\f(12(x2－x1）,x1x2)＝eq\f(3（x1－x2）(x1x2－4),x1x2）,∵x1〉x2≥4，∴x1－x2>0，x1x2>16，∴g(x1）－g（x2)〉0，∴g（x)在［4，＋∞)上遞增.∴y＝3（x－2）＋eq\f（12,x－2)＋12在[6,＋∞）上遞增?！喈?dāng)x＝6時(shí)，y取得最小值，即S矩形AMPN取得最小值27平方米.12。甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過ckm/h，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位）由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(km/h）的平方成正比,比例常數(shù)為b，固定部分為a元。(1）把全程運(yùn)輸成本y元表示為速度v（km/h)的函數(shù),并指出函數(shù)的定義域