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習(xí)題課

重積分的計(jì)算及相關(guān)問題基本內(nèi)容重積分{三重積分二重積分應(yīng)用{{{幾何：面積、體積、曲面面積物理：質(zhì)量、重心、引力、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量性質(zhì)計(jì)算直角坐標(biāo)法極坐標(biāo)法換元法性質(zhì)計(jì)算直角坐標(biāo)法球面坐標(biāo)法柱面坐標(biāo)法{重積分計(jì)算的關(guān)鍵:1.選擇坐標(biāo)系2.確定積分次序和積分限基本內(nèi)容：一、積分坐標(biāo)系的選擇及積分順序的確定二、積分定義及性質(zhì)的應(yīng)用三、換元法的使用四、對(duì)稱性的利用一、積分坐標(biāo)系的選擇及積分順序例1分析:由積分限先定出積分區(qū)域D，然后再交換積分順序.解例2

證分析：從改變積分次序入手．例3證明:采用極坐標(biāo)將式中r的換成x,即得證.由對(duì)稱性知例4

解1

解2注記:本題的兩種不同坐標(biāo)系的解法難度相差不大,但對(duì)于一般的題目當(dāng)積分曲域和被積函數(shù)要求用不同的坐標(biāo)系時(shí)其計(jì)算法是有差別的,請(qǐng)多加注意.例5解采用柱坐標(biāo)例6分析:體積可用定積分、二重積分和三重積分計(jì)算，選擇時(shí)要根據(jù)區(qū)域而定.解:選擇三重積分,并采用球面坐標(biāo).二、積分定義及性質(zhì)的應(yīng)用例7證同理注:本題采用的方法具有代表性,希望同學(xué)們能靈活應(yīng)用.例8證例9證明例10使用換元法需注意的兩個(gè)方面:方法:三、換元法的使用廣義極坐標(biāo):廣義球坐標(biāo):例11分析:區(qū)域的邊界較復(fù)雜,考慮換元.解例12解1例2解2A例13四、對(duì)稱性的利用例14解1解2

解一截面法例15

解二換元法例15作業(yè)(總習(xí)題九)P150:1(3),2(2)(3),3,4,6(1)(3),8,9*.四、對(duì)稱性的利用(一)、二重積分的對(duì)稱性使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于二個(gè)積分變量的奇偶性.使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸

(三個(gè)變量)的奇偶性.(二)、三重積分的對(duì)稱性例1

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