線性代數(shù)課件：001-第一章-矩陣-(1-1-1-2)

引言線性代數(shù)的起源：1.一個(gè)簡單的“雞兔同籠”問題線性代數(shù)有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)有8個(gè)頭；從下面數(shù)有26只腳。求籠中各有幾只雞和兔？算術(shù)方法：每一個(gè)動(dòng)物砍掉兩條腿，一共去砍16條腿；還剩下10條腿，雞沒有腿了，每只兔還剩2條腿；所以兔有5只，雞有3只。這類簡單問題靠我們的心算就可以解決，再復(fù)雜些，單我們的心力是不行了。所以要建立新的數(shù)學(xué)工具，延長我們的智力。線性代數(shù)方法：用字母代替未知數(shù)，建立代數(shù)關(guān)系式設(shè)雞有只，兔有只，則有等式：采用消元法：設(shè)雞有只，兔有只，則有等式：采用消元法：雞沒有了腿，兔有兩條腿所以得同解方程組線性代數(shù)方法：用字母代替未知數(shù)和已知數(shù)，建立一般代數(shù)關(guān)系式最一般的線性方程組：高斯消元法：線性程組做三種變換，新老方程組是有相同的解。為使新方程組簡單，高斯的思想是：消去方程組中的未知數(shù)，使方程組成為階梯形的較為簡單的同解方程組。由于線性方程組的全部信息都在以下的矩形數(shù)據(jù)塊中，所以，線性代數(shù)的研究對象為矩形數(shù)據(jù)塊---矩陣。1.1矩陣的定義1.2矩陣的運(yùn)算1.3逆矩陣1.5矩陣的初等變換1.6初等矩陣1.4分塊矩陣第一章矩陣1.問題的提出2.矩陣的定義3.特殊矩陣1.問題的提出線性方程組：決定線性方程組的是三個(gè)數(shù)據(jù)塊：系數(shù)數(shù)據(jù)塊未知數(shù)據(jù)塊數(shù)據(jù)塊第一章矩陣§1矩陣的定義

2.矩陣的定義1.元素是來自實(shí)數(shù)域的矩陣，稱為實(shí)矩陣；2.元素是來自復(fù)數(shù)域的矩陣，稱為復(fù)矩陣；3.元素是{0,1}的矩陣，稱為布爾矩陣。第一章矩陣§1矩陣的定義

矩陣的記號：（1）任意矩陣用大寫字母表示，如：（2）顯示階數(shù)的矩陣表示，如：（3）顯示元素的矩陣表示，如：第一章矩陣§1矩陣的定義

注意：不同階數(shù)的零矩陣是不相等的，因此零矩陣不只一個(gè)。例如3.特殊矩陣（1）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，階零矩陣記作或。第一章矩陣§1矩陣的定義

注意：3.特殊矩陣（2）行矩陣、列矩陣。只有一行的矩陣稱為行矩陣，或行向量。只有一列的矩陣稱為列矩陣，或列向量。只有一行、一列的矩陣就是一個(gè)數(shù)，省去括號。第一章矩陣§1矩陣的定義

例如是一個(gè)實(shí)矩陣,是一個(gè)復(fù)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣,通常寫為一個(gè)數(shù)4.3.特殊矩陣（3）行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣也可記作上三角矩陣第一章矩陣§1矩陣的定義

下三角矩陣：例：對角矩陣：形如的方陣,不全為0記作數(shù)量矩陣：單位矩陣稱為單位矩陣（或單位陣）.全為1第一章矩陣1.矩陣的相等2.矩陣的線性運(yùn)算3.矩陣的乘法運(yùn)算4.矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算5.矩陣的共軛運(yùn)算6.矩陣的多項(xiàng)式1.1矩陣的定義

1.2矩陣的運(yùn)算1.3逆矩陣1.5矩陣的初等變換1.6初等矩陣1.4分塊矩陣兩個(gè)矩陣的相等：矩陣同階：1.矩陣的相等第一章矩陣§2矩陣的運(yùn)算

矩陣的對應(yīng)元素相等：例2設(shè)解矩陣之間的加法運(yùn)算2.矩陣的線性運(yùn)算（簡捷表示）（詳細(xì)表示）第一章矩陣§2矩陣的運(yùn)算

說明

只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.例如第一章矩陣§2矩陣的運(yùn)算

矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律第一章矩陣§2矩陣的運(yùn)算

矩陣與數(shù)的乘法運(yùn)算第一章矩陣§2矩陣的運(yùn)算

數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律矩陣之間相加與矩陣與數(shù)相乘，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.（設(shè)為矩陣，為數(shù)）第一章矩陣§2矩陣的運(yùn)算

行矩陣與列矩陣的乘積：3.矩陣的乘法運(yùn)算線性方程有了矩陣形式：第一章矩陣§2矩陣的運(yùn)算

矩陣與列矩陣的乘積：線性方程組有了矩陣形式：第一章矩陣§2矩陣的運(yùn)算

矩陣與矩陣的乘積：有了矩陣方程：第一章矩陣§2矩陣的運(yùn)算

矩陣與矩陣的乘積定義：第一章矩陣§2矩陣的運(yùn)算

例１設(shè)例2故解矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律：（其中為數(shù)）;若A是階矩陣，則為A的次冪，即并且第一章矩陣§2矩陣的運(yùn)算

注1只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘。例如不能相乘注2矩陣不滿足交換律，即：例設(shè)則但也有例外，比如設(shè)則有1.ＡＢ＝０推不出A=0或B=0。2.AB=AC,推不出B=C。注3

矩陣不滿足消去律，即：例1：例2：例3：第一章矩陣§2矩陣的運(yùn)算

例3

計(jì)算下列乘積：解解=(）或表示的是一個(gè)方程組：4.矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)例5已知解法1解法2對稱矩陣、反對稱矩陣定義設(shè)為階方陣，如果滿足，即那末稱為對稱陣.對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等。說明例6設(shè)列矩陣滿足

證明例7

證明任一階矩陣都可表示成對稱陣與反對稱陣之和.5.方陣的多項(xiàng)式方陣的多項(xiàng)式因式分解：分解成加余項(xiàng)例1矩陣的因式分解先寫出其特征方程，將其因式分解：再將r換回成矩陣：例2方陣分解成因式加余式其中，余式的低于因式。對角陣的多項(xiàng)式計(jì)算：則例：則練習(xí)一1.設(shè)C=AB，問矩陣A，B，C的行數(shù)、列數(shù)之間關(guān)系。2.設(shè)A為反對稱矩陣，問是怎樣的矩陣。3.求所有與