第二章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析

第二章

時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析本章內(nèi)容：

2.1引言

2.2時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換

2.3時(shí)域離散信號(hào)的Z變換

2.4利用Z變換對(duì)信號(hào)和系統(tǒng)進(jìn)行分析2.1引言信號(hào)、系統(tǒng)分析信號(hào)在時(shí)間分布上的特性和運(yùn)算：直觀，物理概念會(huì)比較的清楚。分析信號(hào)在頻率分布上的特性和運(yùn)算：這給了我們換個(gè)視角觀察信號(hào)的機(jī)會(huì)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)許多在時(shí)間域上得不到的特性和運(yùn)算。時(shí)間域頻率域FT、ZTIFT、IZT返回2.2時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換返回2.2.1時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換的定義2.2.2周期信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)2.2.3周期信號(hào)的傅里葉變換2.2.4時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)2.2.1時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換的定義定義為時(shí)域離散信號(hào)x(n)的傅里葉變換，簡(jiǎn)稱FT(FourierTransform)。上式成立的條件是序列絕對(duì)可和，或者說序列的能量有限，即滿足下面的公式：對(duì)于不滿足上式的信號(hào)，可以引入奇異函數(shù)，使之能夠用傅里葉變換表示出來。(2.2.1)回到本節(jié)返回離散信號(hào)FT和模擬信號(hào)FT的比較：離散信號(hào)FT

模擬信號(hào)FT可以發(fā)現(xiàn)二者的實(shí)質(zhì)是一樣的，都是完成時(shí)間域頻域的轉(zhuǎn)換，不同處：時(shí)間變量：n取整數(shù)，求和運(yùn)算；t取連續(xù)變量，積分運(yùn)算。頻域變量：ω是數(shù)字頻率的連續(xù)變量，以2π為周期；Ω是模擬頻率的連續(xù)變量，無周期性?；氐奖竟?jié)返回2.2.2周期信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)是以N為周期的周期序列，具有周期性，能夠展成傅里葉級(jí)數(shù)，即：式中，ak是離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。為求系數(shù)ak，將上式兩邊乘以，并對(duì)n在一個(gè)周期N中求和，得到：(2.2.5)回到本節(jié)返回將上式右邊的兩個(gè)求和號(hào)交換位置，得到：式中回到本節(jié)返回因此得到上式中,k和n均取整數(shù)，當(dāng)k變化時(shí)，是周期為N的周期函數(shù)，所以ak是以N為周期的周期序列，即

ak=ak+ln令將式(2.2.7)代入上式，得到這里是以N為周期的周期序列。一般簡(jiǎn)稱為的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)，用DFS(Discrete

FrourierSeries)表示，即。(2.2.7)(2.2.10)(2.2.9)回到本節(jié)返回由式(2.2.5)和式(2.2.9)，我們能夠得到將式(2.2.7)和式(2.2.10)寫在一起，成為離散傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)。這里和均是周期為N的序列。(2.2.11)返回回到本節(jié)2.2.3周期信號(hào)的傅里葉變換復(fù)指數(shù)序列的傅里葉變換表達(dá)式在模擬系統(tǒng)中，的傅里葉變換是在處的一個(gè)沖激，強(qiáng)度為2π，即對(duì)于時(shí)域離散系統(tǒng)中的復(fù)指數(shù)序列，仍假設(shè)它的傅里葉變換是在處的一個(gè)沖激，強(qiáng)度為2π，考慮到時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的周期性，因此的傅里葉變換應(yīng)寫為：回到本節(jié)返回例2.1：令，為有理數(shù)，求其傅里葉變換。解:

將用歐拉公式展開為由得余弦序列的傅里葉變換為返回回到本節(jié)上式表明，余弦信號(hào)的傅里葉變換是在處的沖激函數(shù)，強(qiáng)度為，同時(shí)以2為周期進(jìn)行周期性延拓，如下圖所示。對(duì)于正弦序列，為有理數(shù)，它的傅里葉變換為回到本節(jié)返回2.2.4時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換的性質(zhì)時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換有很多重要的性質(zhì)，其中一些性質(zhì)和模擬信號(hào)的傅里葉變換性質(zhì)類似，參考教材中表2.2.2。本小節(jié)重點(diǎn)介紹：傅里葉變換的周期性頻域卷積定理傅里葉變換的對(duì)稱性回到本節(jié)返回傅里葉變換的周期性：頻域卷積定理：假設(shè)，，則交換積分的求和次序，我們同樣能夠得到該定理表明在時(shí)域兩序列相乘，轉(zhuǎn)換到頻域服從卷積關(guān)系。此定理亦稱為調(diào)制定理回到本節(jié)返回傅里葉變換的對(duì)稱性：一般不做特殊說明，序列x(n)就是復(fù)序列。用下標(biāo)r表示它的實(shí)部，用下標(biāo)i表示它的虛部：復(fù)序列中有共軛對(duì)稱序列和反共軛對(duì)稱序列，分別用下標(biāo)e和o表示共軛對(duì)稱序列滿足復(fù)反共軛對(duì)稱序列滿足回到本節(jié)返回一般序列傅里葉變換的對(duì)稱性質(zhì)一般序列可以表示為其實(shí)部的傅里葉變換可以用下式來表示將上式右面的ω加負(fù)號(hào)，在將右邊取共軛，右邊表達(dá)式不變，這說明實(shí)序列的傅里葉變換具有共軛對(duì)稱性質(zhì)，可以用表示。很容易證明，將j乘以實(shí)數(shù)序列

的傅里葉變換具有共軛反對(duì)稱性質(zhì)，用表示。返回回到本節(jié)這樣式中這樣我們能夠得到結(jié)論：一般序列的傅里葉變換分成共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量?jī)刹糠郑渲泄曹棇?duì)稱分量對(duì)應(yīng)序列的實(shí)部，而共軛反對(duì)稱分量對(duì)應(yīng)這序列的虛部（包括j）。返回回到本節(jié)如果將序列分為共軛對(duì)稱和共軛反對(duì)稱兩部分，即由我們得到對(duì)上面兩式分別求傅里葉變換，得到返回回到本節(jié)這樣我們能夠得到結(jié)論:傅里葉變換的實(shí)部對(duì)應(yīng)序列的共軛對(duì)稱部分，而它的虛部(包括j)對(duì)應(yīng)序列的共軛反對(duì)稱部分。值得注意：在一般實(shí)際應(yīng)用中，我們常常遇到的序列是實(shí)序列，實(shí)序列相當(dāng)于一般的序列中只有實(shí)部，沒有虛部，因此實(shí)序列的傅里葉變換具有共軛對(duì)稱性質(zhì)，它的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。如果實(shí)序列還是偶對(duì)稱的，其傅里葉變換應(yīng)該是實(shí)偶對(duì)稱函數(shù)；如果實(shí)序列是奇對(duì)稱的，那么其傅里葉變換是虛對(duì)稱的，且是純虛函數(shù)。返回回到本節(jié)2.3時(shí)域離散信號(hào)的Z變換在模擬系統(tǒng)中，用傅里葉變換進(jìn)行頻域分析，而拉普拉斯變換是傅里葉變換的推廣，用于對(duì)信號(hào)在復(fù)頻域的分析。在數(shù)字域中，用序列傅里葉變換進(jìn)行頻域分析，Z變換是其推廣，用于對(duì)信號(hào)在復(fù)頻域中的分析。本節(jié)主要講述:返回

2.3.1時(shí)域離散信號(hào)的Z變換的定義及其與傅里葉變換的關(guān)系

2.3.2Z變換的收斂域與序列特性之間的關(guān)系

2.3.3逆Z變換

2.3.4Z變換的性質(zhì)和定理2.3.1時(shí)域離散信號(hào)的Z變換的定義及其與傅里葉變換的關(guān)系Z變換的定義定義序列X(n)的Z變換為式中，Z是復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為Z平面。這里求和極限為-∞～+∞，故亦稱為雙邊Z變換，當(dāng)求和極限為0～+∞時(shí)，為單邊Z變換，本書不做說明時(shí)均為雙邊Z變換。Z變換存在的充分條件為

返回回到本節(jié)Z變換的收斂域?yàn)槭筞變換存在的的取值域，稱為X(z)的收斂域。收斂域一般用環(huán)狀域表示，即Rx-<|z|<Rx+，Rx-和Rx+分別稱為收斂域的最小收斂半徑和最大收斂半徑。上圖所示的陰影部分即為收斂半徑。最小半徑可以達(dá)到0，而最大半徑可以達(dá)到+∞。收斂域是Z變換非常重要不可缺少的一部分回到本節(jié)返回Z變換和傅里葉變換之間的關(guān)系Z變換令上式中的，得到式中，r是z的模，ω是它的相位，也就是數(shù)字頻率。這樣，就是序列x(n)乘以實(shí)指數(shù)序列r-n后的傅里葉變換?；氐奖竟?jié)返回如果r==1，Z變換就變成了傅里葉變換了，即r=1指的是Z平面上的單位圓，因此傅里葉變換就是Z平面單位圓上的Z變換。單位圓必須包含在收斂域中，否則單位圓上的Z變換不存在，傅里葉變換也就不存在。回到本節(jié)返回2.4利用Z變換對(duì)信號(hào)和系統(tǒng)進(jìn)行分析傅里葉變換和Z變換都是對(duì)信號(hào)和系統(tǒng)進(jìn)行分析的重要數(shù)學(xué)工具。信號(hào)的頻域分析指的是信號(hào)的傅里葉變換，Z變換則是分析域更為擴(kuò)大的一種變換，Z變換比傅里葉變換的應(yīng)用更廣泛。本節(jié)主要講述

2.4.1系統(tǒng)的傳輸函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)

2.4.2根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性

2.4.3用Z變換求解系統(tǒng)的輸出相應(yīng)

2.4.4

根據(jù)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性返回2.4.1系統(tǒng)的傳輸函數(shù)和系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的時(shí)域特性用單位脈沖響應(yīng)表示，對(duì)進(jìn)行傅里葉變換，得到稱為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，所以又稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。將進(jìn)行Z變換，得到一般稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征系統(tǒng)的復(fù)頻域特性?；氐奖竟?jié)返回如果的收斂域包含單位圓=1，則和之間的關(guān)系為因此系統(tǒng)的傳輸函數(shù)是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)在單位圓上的Z變換。它們之間有區(qū)別，但有時(shí)為了簡(jiǎn)單，也可以都稱為傳輸函數(shù)。設(shè)系統(tǒng)的輸入x(n)=，對(duì)于因果穩(wěn)定系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)輸出為式中上式中稱為幅頻特性，稱為相頻特性?；氐奖竟?jié)返回2.4.2根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性如果系統(tǒng)用N階差分方程表示，即將上式進(jìn)行Z變換，得到系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)回到本節(jié)返回將上式進(jìn)行因式分解，得到式中，是的零點(diǎn)，是它的極點(diǎn)，A是常數(shù)。A僅決定幅度大小，不影響頻率特性的實(shí)質(zhì)。系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布都會(huì)影響系統(tǒng)的頻率特性，而影響系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性的只是極點(diǎn)分布?；氐奖竟?jié)返回系統(tǒng)的因果性指的是系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性，如果系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)，它的單位脈沖響應(yīng)一定是因果序列。而因果序列Z變換的極點(diǎn)均集中在以為半經(jīng)的圓內(nèi)。因此得到結(jié)論，因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)均在某個(gè)圓內(nèi)，收斂域包含∞點(diǎn)。

回到本節(jié)返回如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求，按照Z變換的定義

因此得到結(jié)論:系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域一定包含單位圓，或者說系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)不能位于單位圓上。綜上所述，得出系統(tǒng)因果穩(wěn)定的條件:的極點(diǎn)應(yīng)集中在單位圓內(nèi)?；氐奖竟?jié)返回2.4.4根據(jù)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性系統(tǒng)用N階差分方程描述，系統(tǒng)函數(shù)如下式所示式中，和分別是系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，共有M個(gè)點(diǎn)和N個(gè)極點(diǎn)。系統(tǒng)的頻響特性主要取決于系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分布，系數(shù)A只影響幅度大小?；氐奖竟?jié)返回下面介紹用幾何方法分析研究零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的影響。將系統(tǒng)函數(shù)分子、分母同乘以，得到上式中如果，表示延時(shí)(N-M)個(gè)單位，，則表示超前(N-M)個(gè)單位?；氐奖竟?jié)返回設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將代入上式，得到

對(duì)于，在Z平面上可以用坐標(biāo)原點(diǎn)O到單位圓上B點(diǎn)的失量OB來表示，該矢量的長(zhǎng)度是1，相角ω就是和水平坐標(biāo)之間的夾角。(2.4.20)回到本節(jié)返回當(dāng)頻率ω由0連續(xù)增大，經(jīng)過再到2時(shí)，矢量OB便圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈，如下圖(a)所示。對(duì)于極點(diǎn)z=，在Z平面上則用坐標(biāo)原點(diǎn)O到的矢量表示。相應(yīng)的零點(diǎn)用表示?；氐奖竟?jié)返回對(duì)于，則用從極點(diǎn)到單位圓上一點(diǎn)B的矢量表示，該矢量稱為極點(diǎn)矢量。極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度用表示，矢量的相位，就是矢量和水平坐標(biāo)之間的夾角，用表示。對(duì)于零點(diǎn)，有零點(diǎn)矢量，用表示，零點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度用表示，相位用表示。零極點(diǎn)矢量如下圖(b)所示。回到本節(jié)返回將零極點(diǎn)矢量用下式表示，用上面兩式表示，得到回到本節(jié)返回式(2.4.22)說明，系統(tǒng)的幅頻特性等于系統(tǒng)零點(diǎn)矢量長(zhǎng)度之積除以極點(diǎn)矢量長(zhǎng)度之積。式(2.4.23)說明，相頻特性等于與零點(diǎn)矢量的相角之和減去極點(diǎn)矢量的相角之和（設(shè)A>0）。(2.4.22)(2.4.23)幅頻特性：相頻特性：回到本節(jié)返回當(dāng)頻率ω由0變化到2時(shí)，這些零、極點(diǎn)矢量的終點(diǎn)B沿單