第一講算符及其本征值與本征函數(shù)

第一講算符及其本征值、本征函數(shù)量子力學中的力學量這一章主要介紹量子力學如何處理力學量。主要特點是力學量與算符對應(yīng)。它涉及到量子力學特有的一整套處理力學量的基本原理與數(shù)學方法。這一章構(gòu)成了量子力學基本理論框架的主要部分。一、算符的引入在量子力學中，當微觀粒子處于某一狀態(tài)時，它的力學量（如坐標、動量、角動量、能量等）一般不具有確定的數(shù)值，而是有一系列可能值，每個可能值以一定的幾率出現(xiàn)。當粒子所處狀態(tài)確定時，力學量具有某一可能值的幾率也就完全確定了。例如氫原子中的電子處于某一束縛態(tài)時，它的坐標和動量都沒有確定值。但是這兩個量具有某一量的確定值的幾率卻是可以確定的。對經(jīng)典物理來說沒有這些特點，所以，為了表述這些特點，量子力學引入算符來表示力學量。算符是對波函數(shù)進行某種數(shù)學運算的符號。

在推導薛定諤方程時，我們曾經(jīng)得到過：以及定態(tài)薛定諤方程：從這兩個等式我們可以發(fā)現(xiàn)一種等效關(guān)系：也就是等式左邊的符號作用于波函數(shù)的結(jié)果等效于右邊的能量作用于波函數(shù)的結(jié)果。

對于定態(tài)的薛定諤方程，當勢能不顯含時間t，可以認為E=H=T+U，恰好是經(jīng)典力學中的哈密頓量。在量子力學中出現(xiàn)的力學量，都有與該力學量運算效果上等效的算符。因此通過對比，我們可以歸納出下列的幾個等效關(guān)系：對于其它力學量的算符都可以由以上算符導出因為任何經(jīng)典力學量總是r和p的函數(shù)。當力學量A(r)只是r的函數(shù)，它的算符就是它本身，即：當一個力學量A的經(jīng)典表達式既是r的函數(shù)，又是動量p的函數(shù)，則它的算符只需要把它的動量換成動量算符即可。即：二、本征函數(shù)與本征值算符作用于函數(shù)f(r)上，得出另一個函數(shù)。若算符作用于某些特殊的函數(shù)U(r)得到的結(jié)果等于某一常量乘以同一函數(shù)U(r)，即：則常數(shù)A稱為算符的本征值；U(r)稱為屬于這個本征值的本征函數(shù)。上式也被稱為算符的本征方程。在量子力學中，一個力學量所可能取的數(shù)值，就是它的算符的全部本征值。本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)就是這個算符的本征態(tài)。在自己的本征態(tài)中，這個力學量取確定值，即這個本征態(tài)所屬的本征值。簡并度不同的算符一般有不同的本征函數(shù)系和本征值譜，因為算符不同，本征方程的數(shù)學形式不同，因而方程解的函數(shù)形式不同。當解的本征方程時，可能得出的某一本征值對應(yīng)的不止一個是一個本征函數(shù)，而是f個線性無關(guān)的本征函數(shù)，則稱該本征值有f度簡并，并且屬于該本征值的本征函數(shù)也有f個。這時，當粒子處于該f個態(tài)中的任何一個，力學量的值都是一樣的。即：補充：動量算符的本征函數(shù)我們前面給出了動量算符的本征方程，那么它們的本征函數(shù)是什么？其中C為歸一化系數(shù)。由于本征值是連續(xù)分布的，本征函數(shù)模平方在整個空間積分不能歸一化為一，而只能歸一化為δ函數(shù)。統(tǒng)一說法，也說這C為歸一化系數(shù)。

歸一化系數(shù)C求法。已歸一化了的四個本征函數(shù)為：三、算符運算規(guī)則及線性厄米算符一、算符相等：對任意函數(shù)Ψ，若則：二、算符和與差：三、算符乘：四、線性算符：五、泊松括號與算符對易：A：泊松括號：B：

若成立，則

是線性算符。補充說明算符相加滿足交換律、結(jié)合律：算符相乘不滿足交換律：算符相乘滿足結(jié)合律：例：計算對易關(guān)系：

所以：類似有：一般寫成：的含義是：六、厄米共軛算符六、厄米算符：，即

，其中ψ、φ是

任意函數(shù)，則稱

為厄米算符。厄米算符反映某一類算符的特性。

若

若算符

滿足：

其中ψ、φ是任意函數(shù)，則稱

是

的厄米共軛算符，記為：

在量子力學中表示力學量的算符必須是厄米算符因為力學量算符本征值的物理意義是該力學量在本征態(tài)中的取值，所以本征值必須是實數(shù)，而厄米算符可以保證這一點，其本征值肯定是實數(shù)。證明：設(shè)為厄米算符，其本征值為λ，相應(yīng)的本征函數(shù)為ψ，由厄米算符定義：補充——波函數(shù)的內(nèi)積符號波函數(shù)的內(nèi)積：性質(zhì)：上式簡單證明：所以：量子力學中代表力學量的算符必須是線性厄米算符例：證明是厄米算符。設(shè)：是粒子的兩個任意波函數(shù)，按定義證明即：所以，的確是厄米算符。式中利用了：因為粒子應(yīng)該在有限范圍內(nèi)運動，所以在處，波函數(shù)都為零。練習如是厄米算符，則：也是厄米算符。另外對于線性厄米算符有如下關(guān)系若為厄米算符，a和b為實數(shù)。則有但是，一般不是厄米算符。任何規(guī)定為以x的實函數(shù)相乘的算符顯然也是厄米的，所以勢V（x）也是厄米函數(shù)。這意味著哈密頓算符也是厄米的。厄米算符本征函數(shù)的正交性和

完全性厄米算符的本征函數(shù)具有正交性和完全性，這是厄米算符的兩個重要性質(zhì)，運用這兩個性質(zhì)可以使一些計算過程簡化。1，正交性：在數(shù)學上，如果兩個函數(shù)滿足：就稱這兩個函數(shù)正交。先證明本征值無簡并的情況下厄米算符的本征函數(shù)之間互相正交。設(shè)：厄米算符的本征函數(shù)為：本征值（無簡并）為：根據(jù)：為厄米算符

按定義：對于本征值有簡并說明設(shè)：的某一本征值為f度簡并，屬于的本征函數(shù)有f個：這f個本征函數(shù)之間有可能并不正交。即：

但是可以證明，這f個本征函數(shù)線性可以組合成f個獨立的新函數(shù)：并且這些新函數(shù)之間互相正交：

為疊加系數(shù)，顯然，各仍是的函數(shù)。即：總之，當為厄米算符，不管其本征函數(shù)是否簡并，都可以得到正交歸一的本征函數(shù)系。正交性和歸一性可以合并表示為：式中稱為符號，它代表的含義是：2，完全性定義：當為厄米算符，其本征態(tài)為則對于粒子的任意一可能態(tài)，可以用本征態(tài)的線性疊加，把完全準確的表示出來，即有：這稱為任意態(tài)用本征態(tài)展開。上式實際上就是態(tài)的疊加原理的數(shù)學表示式。Cn為疊加系數(shù)。求