第二講 非線性方程求根

第二章方程求根主要內(nèi)容1.二分法2.迭代法3.牛頓法4.割線法

2.1引言一.問題

代數(shù)方程超越方程對于超越方程，一般而言必須用數(shù)值方法求它的解。求根問題包括：根的存在性、根的范圍和根的精確化。單根與重根關(guān)于代數(shù)方程，有代數(shù)學(xué)基本定理：n次代數(shù)方程有n個根（實根與復(fù)根）?，F(xiàn)在理論上已證明，對于次數(shù)n<=4的多項式方程,它的根可以用公式表示,而次數(shù)>=5的多項式方程,它的根一般不能用解析表達式表示。常用的求根方法分為區(qū)間法和迭代法兩大類。求根方法中最直觀最簡單的區(qū)間方法是二分法。二.方法

2.2二分法一.二分法的原理與步驟二.二分法的優(yōu)缺點

例題1二分法對函數(shù)要求不高，計算過程簡單，程序容易實現(xiàn)，可在大范圍內(nèi)求根。但該方法收斂較慢,且不能求重根和復(fù)根。解：nanbnXn+1f(xn+1)的符號01.01.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51.31251.32811.3203-

2.3迭代法一.迭代法的基本思想（1）（2）構(gòu)造遞推公式（3）（4）迭代函數(shù)迭代格式迭代序列迭代收斂二.迭代法的幾何意義上述兩圖均為迭代收斂的情況上述兩圖為迭代發(fā)散的情況例題1從上面的圖中可以看出，并不是每一個迭代都能夠得到方程的根。收斂充分性定理(一、1)分別取如下三種不同的迭代函數(shù)k0123456789(1)37-33-1073-1151313(2)343.23.8103.3263.6993.4053.6323.4543.592(3)33.5713.531迭代法要考慮的問題：收斂性，收斂速度，誤差估計定理1.三.迭代法的收斂性(全局收斂性)證:由條件(1)由介值定理,由知由微分中值定理證畢.問題：迭代過程何時停止？在事后估計法中，如果迭代次數(shù)超過預(yù)先指定的次數(shù)N，仍達不到精度要求，則認(rèn)為方法發(fā)散。事后估計法事前估計法因此迭代格式收斂。用迭代法求方程的近似解,精確到小數(shù)點后6位解:迭代函數(shù)采用如下構(gòu)造形式例題2因此原方程的解為x1=0.1000000x5=0.0905265x2=0.0894829x6=0.0905250x3=0.0906391x7=0.0905251x4=0.0905126定理1給出的是迭代法在區(qū)間[a,b]上的全局（整體）收斂性。下面討論在不動點x*附近的收斂性問題，即局部收斂性。

定義1設(shè)在某區(qū)間I有不動點x*，若存在x*的一個閉鄰域，對任意的迭代格式產(chǎn)生的序列均收斂于x*，則稱迭代法局部收斂。

2.4迭代法的收斂速度和加速收斂方法

一、迭代法的局部收斂性：二、迭代法的收斂速度：所謂收斂速度，是指在接近收斂時迭代誤差的下降速度。當(dāng)p=1，迭代稱為是線性收斂的，p>1時為超線性收斂的，p=2時為平方收斂或二次收斂。顯然，p越大，迭代收斂的速度越快。定理3

對于迭代過程如果迭代函數(shù)

在所求根的鄰近有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且

則有

（1）當(dāng)時，迭代過程為線性收斂；（2）當(dāng)時，迭代過程為平方收斂；證明故該迭代過程為線性收斂。即迭代過程為平方收斂。三、迭代法的加速則有理由認(rèn)為是一個比更好的近似值。迭代加速公式上面的公式也可以看作由下面方法得到取相應(yīng)的迭代公式為上式還可以寫為分別用迭代法和加速收斂的方法求方程解:例題3在x=0.5附近的近似解,精確到小數(shù)點后3位計算結(jié)果如下頁表格所示迭代迭代加速kxkk

xk00.50000.50010.60710.56720.54520.56730.580340.560450.571560.565670.568780.567890.5679斯蒂芬森(Steffensen)加速收斂方法可證明是二階收斂方法

2.5牛頓法一、牛頓法迭代格式的建立牛頓法實際上是一種線性化方法。這就是牛頓法迭代格式牛頓法在局部至少是平方收斂的方法，這是因為二、牛頓法的幾何意義牛頓法也可以通過以下方法得到三、牛頓法的收斂性定理例題4則由牛頓迭代格式與精確值的前十位已經(jīng)完全相同解1、優(yōu)點：牛頓迭代法具有平方收斂的速度，所以在迭代過程中只要迭代幾次就會得到很精確的解。這是牛頓迭代法優(yōu)越的地方。四.牛頓迭代法的優(yōu)缺點2、缺點：選定的初值要接近方程的解，否則有可能得不到收斂的結(jié)果。再者，牛頓迭代法計算量比較大，因每次迭代除計算函數(shù)值外還要計算微商值。

2.6割線法及牛頓法的其它變形Newton迭代法需要求每個迭代點處的導(dǎo)數(shù)計算量增大這種格式稱為簡化Newton迭代法精度稍低則Newton迭代法變?yōu)檫@種格式稱為割線法(弦截法）。收斂階約為1.618幾何意義分別用Newton法和弦截法求方程解:的根，并進行比較。弦截法例題4Newton迭代法x0=0.5;x1=0.4;x2=0.3430962343x3=0.3473897274x4=0.3472965093x5=0.3472963553x6=0