第八章 相關分析

相關分析是研究變量之間相互關系的密切程度和相互聯(lián)系方式的重要方法。本章詳細講述相關分析的概念、相關關系的確定、回歸方程的建立和應用等內(nèi)容。第八章相關分析本章主要內(nèi)容相關的意義和種類相關系數(shù)回歸分析一、相關分析：對兩變量間線性關系的描述與度量。解決的問題主要包括：變量間是否存在關系？如存在，則是什么關系？關系強度如何？樣本反映的變量間的關系能否代表總體變量間的關系？實際暗含對總體變量的假設：兩個變量均為隨即變量，而且二者間存在線性關系。第一節(jié)相關的意義和種類二、相關關系的概念函數(shù)關系：函數(shù)關系是一種嚴格的依存關系，這種關系可以用y=f（x）的方程來表現(xiàn)。相關關系：相關關系是一種不完全確定的隨機關系。函數(shù)關系與相關關系的聯(lián)系：對具有相關關系的現(xiàn)象進行分析時，必須利用相應的函數(shù)關系的數(shù)學表達式來表明現(xiàn)象之間的相關方程式。相關關系是相關分析的研究對象，而函數(shù)關系則是相關分析的工具。相關關系與函數(shù)關系的不同之處表現(xiàn)在：函數(shù)關系指變量之間的關系是確定的，而相關關系的兩變量的關系則是不確定的?？梢栽谝欢ǚ秶鷥?nèi)變動；函數(shù)關系變量之間的依存可以用一定的方程y=f(x)表現(xiàn)出來，可以給定自變量來推算因變量，而相關關系則不能用一定的方程表示。函數(shù)關系是相關關系的特例，即函數(shù)關系是完全的相關關系。三、相關的空間形式圖（散點圖P201）相關系數(shù)：測定兩個變量間線性關系強度的統(tǒng)計指標。1、相關系數(shù)的計算方法（線性相關系數(shù)）通過兩變量與各自平均值的離差的乘積來反映兩變量之間的相關程度。計算相關系數(shù)的簡化式：四、相關系數(shù)（1）相關系數(shù)有正負號，分別表示正相關和負相關。（2）相關系數(shù)的取值范圍在絕對值的之間。其值大小反映兩變量之間相關的密切程度。（3）相關系數(shù)表明兩變量完全相關；表明兩變量完全不相關；2、相關系數(shù)的性質(zhì)例：為了解營業(yè)員每人月平均銷售額（萬元）和利潤率（%）之間的關系，特從100家商店中隨機抽取10家，得到如下資料，試計算樣本相關系數(shù)。線性相關的判斷準則[解]列表計算如下：相關系數(shù)的計算分析則：答：人均銷售額與利潤率之間存在著高度的正相關關系。說明：相關系數(shù)是測定變量之間相關密切程度和相關方向的代表性指標。相關系數(shù)用符號“r”表示，其特點表現(xiàn)在：參與相關分析的兩個變量是對等的，不分自變量和因變量，因此相關系數(shù)只有一個。相關系數(shù)有正負號反映相關關系的方向，正號反映正相關，負號反映負相關。計算相關系數(shù)的兩個變量都是隨機變量。利用Excel中地函數(shù)可以直接計算兩組數(shù)據(jù)地相關系數(shù)：函數(shù)為CORREL(Array1，Array2)五、相關關系的顯著性檢驗（P205）提出假設計算統(tǒng)計量確定顯著性水平，確定臨界值做出決策一、回歸分析的意義對具有相關關系的兩個或兩個以上變量之間的數(shù)量變化的一般關系進行測定，確立一個相應的數(shù)學表達式，以便從一個已知量來推測另一個未知量，為估算預測提供一個重要的方法。二、回歸的種類按自變量的個數(shù)分一元回歸多元回歸按回歸線的形態(tài)分線性回歸非線性回歸第二節(jié)回歸分析三、回歸分析和相關分析的聯(lián)系和區(qū)別1、聯(lián)系理論和方法具有一致性；無相關就無回歸，相關程度越高，回歸越好；相關系數(shù)和回歸系數(shù)方向一致，可以互相推算。2、區(qū)別相關分析回歸分析x與y對等x與y要確定自變量和因變量x，y均為隨機變量只有y為隨機變量測定相關程度和方向用回歸模型進行預測和控制利用一元線性回歸方程進行回歸分析的前提：所分析的兩個變量之間必須存在相關關系，且相關程度在顯著相關以上。估計回歸線：在兩變量相關的散點圖中，引出一條最優(yōu)的直線，這條直線就是估計回歸線。它表明了兩變量數(shù)量變動的一般關系。四、一元線性回歸總體一元線性回歸模型的一般形式：Y的數(shù)學期望E（Y）隨機誤差稱為總體的一元線性回歸方程，是對應于自變量X某一取值時因變量Y的均值。未知參數(shù)樣本的一元線性回歸模型和回歸方程一元線性回歸模型一元線性回歸方程截距斜率（回歸系數(shù)）的理論假定相互獨立服從正態(tài)分布數(shù)學期望為0方差相同回歸系數(shù)的經(jīng)濟涵義：自變量變動一個單位時，因變量的平均變動值。擬合直線回歸方程的方法:擬合直線回歸方程的過程就是求解方程系數(shù)的過程，求解方法一般采用最小平方法（最小二乘法）。用最小平方法擬合回歸直線的基本思想是：在所有的相關點中，通過數(shù)學方法擬合一條較為理想的直線，這條直線必須滿足：原數(shù)列與趨勢線的離差平方和為最小值。即:據(jù)微積分極值定理求最小值，通過求b0、b1的一階偏導并分別令其為0，可求出b0、b1的聯(lián)立方程：解聯(lián)立方程得到：4544.6

74.4172.0248.0418.0575.0805.2972.01280.0104214

3844739664001210013225174241822525600207.54

1.444.009.6114.4425.0037.2151.8464.00

880

36.4∑

628680110115132135160

1.22.03.13.85.06.17.28.012345678生產(chǎn)費用

月產(chǎn)量序號據(jù)前面例題資料擬合生產(chǎn)費用依產(chǎn)量變化的回歸方程：則回歸方程為:回歸系數(shù)b的涵義:月產(chǎn)量每增加1000噸,生產(chǎn)費用平均增加12.9萬元。計算得到：

670

8290100114140144耐用消費品銷售額（萬元）

2820

340380450470560620人均年收入（元）合計199019911992199319941995時間要求：分析兩變量相關密切程度，若為顯著相關以上，則對兩變量進行回歸分析。例：某地區(qū)人均年收入與耐用消費品銷售額資料：答案：相關系數(shù)r=0.98b1=0.24b0=-1.13

回歸系數(shù)涵義:人均年收入每增加一元,耐用消費品銷售額平均增加0.24萬元。用Excel進行回歸分析選擇（工具）下拉菜單選擇（數(shù)據(jù)分析）選項在分析工具中選擇（回歸），單擊（確定）在彈出的對話框中輸入變量數(shù)據(jù)區(qū)域、置信度、輸出區(qū)域等。上例輸出結(jié)果為：因為：所以：即：1、回歸系數(shù)與相關系數(shù)的關系月份產(chǎn)量（千件）單位成本（元）１２７３２３７２３４７１４３７３５４６９６５６８例：某企業(yè)上半年產(chǎn)品產(chǎn)量與單位成本資料如下：（１）計算相關系數(shù)，說明兩個變量相關的密切程度。（２）配合回歸方程，指出產(chǎn)量每增加1000件時，單位成本平均變動多少？（３）假定產(chǎn)量為6000件時，單位成本為多少元？解：計算相關系數(shù)時，兩個變量都是隨機變量，不須區(qū)分自變量和因變量?？紤]到要配合回歸方程，所以這里設產(chǎn)量為自變量（ｘ），單位成本為因變量（ｙ）列表計算如下：月份產(chǎn)量（千件）單位成本ｎｘ（元）ｙｘｙ

１２７３４５３２９１４６２３７２９５１８４２１６３４７１１６５０４１２８４４３７３９５３２９２１９５４６９１６４７６１２７６６５６８２５４６２４３４０合計２１４２６７９３０２６８１４８１（１）計算相關系數(shù)

，說明產(chǎn)量和單位成本之間存在高度負相關（２）擬合回歸方程回歸方程為：=-1.82=77.37

（３）當產(chǎn)量為6000件時，即ｘ＝6，代入回歸方程：ｙ＝77.37－1.82×6＝66.45（元）（1）估計標準誤的涵義：衡量因變量的估計值與觀測值之間的平均誤差大小的指標。利用此指標可以說明回歸方程的代表性。（2）估計標準誤的計算公式：簡化公式：2、估計標準誤例：根據(jù)某部門8個企業(yè)產(chǎn)品銷售額和銷售利潤的資料得出以下計算結(jié)果：要求:（1）計算產(chǎn)品銷售額與利潤額的相關關系;（2）建立以利潤額為因變量的直線回歸方程并說明回歸系數(shù)的經(jīng)濟意義；（3）計算估計標準誤差。解：（１）計算相關系數(shù)=0.9934

（２）配合回歸方程=0.0742=-7.2773回歸方程為：ｙ＝-7.2773+0.0742ｘ

（3）估計標準誤：

=2.8493

判定系數(shù)（R2）：是對回歸模型擬合優(yōu)度的評價。xY總平方和=回歸平方和+殘差平方和

R2表示總平方和有百分之幾的偏差可由X與Y的回歸關系來解釋。r的符號同b總平方和分解：在一元回歸中，3、一元線性回歸模型擬合優(yōu)度的評價（1）回歸系數(shù)b1的檢驗(t檢驗):設總體回歸系數(shù)為β

H0：β=0；H1：β≠0n≥30時

檢驗統(tǒng)計量:

（β=0）

給定顯著性水平α，查正態(tài)表可知其臨界值。n＜30時

給定顯著性水平α，查t表可知其臨界值。4、一元線性回歸模型的顯著性檢驗（2）回歸模型整體的F檢驗

檢驗統(tǒng)計量F檢驗假設n≥30時：給定X0，Yf置信度（1-α）的置信區(qū)間為：xYX00給定的X0越接，Y值估計的精確度越高。n＜30時：5、預測二元線性回歸模型：總體多元線性回歸模型的一般形式Y(jié)的數(shù)學期望E（Y）隨機誤差表明自變量共同變動引起的Y的平均變動。常數(shù)項，和Y構成的平面與Y軸的截距.偏回歸系數(shù)，表示在固定時每變化一個單位引起的Y的平均變動；*五、多元線性回歸模型偏回歸系數(shù)，表示在固定時每變化一個單位引起的Y的平均變動；隨機誤差，其理論假定與一元線性回歸模型中的一樣。在多元回歸模型中，還要求各自變量之間不存在顯著相關.樣本多元線性回歸模型的一般形式二元線性回歸模型為：其數(shù)學期望