《平面幾何中的向量方法》設(shè)計(jì)

6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握用向量方法解決簡單的幾何問題、力學(xué)問題等一些實(shí)際問題．2．體會向量是處理幾何問題、物理問題的重要工具．3．培養(yǎng)運(yùn)用向量知識解決實(shí)際問題和物理問題的能力．【教學(xué)重點(diǎn)】掌握用向量方法解決簡單的幾何問題、力學(xué)問題等一些實(shí)際問題．【教學(xué)難點(diǎn)】體會向量是處理幾何問題、物理問題的重要工具．【課時安排】1課時【教學(xué)過程】新知初探1用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題⑵通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的元素，如距離、夾角等問題.⑶把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.思考1用向量法如何證明平面幾何中AB⊥CD?[提示]法一：①選擇一組向量作基底；②用基底表示eq\o(AB,\s\up14(→))和eq\o(CD,\s\up14(→))；③證明eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(CD,\s\up14(→))的值為0；④給出幾何結(jié)論AB⊥CD.法二：先求eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))的坐標(biāo)，eq\o(AB,\s\up14(→))＝(x1，y1)，eq\o(CD,\s\up14(→))＝(x2，y2)，再計(jì)算eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(CD,\s\up14(→))的值為0，從而得到幾何結(jié)論AB⊥CD.思考2．用向量法如何證明平面幾何中AB∥CD?[提示]法一：①選擇一組向量作基底；②用基底表示eq\o(AB,\s\up14(→))和eq\o(CD,\s\up14(→))；③尋找實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(CD,\s\up14(→))，即eq\o(AB,\s\up14(→))∥eq\o(CD,\s\up14(→))；④給出幾何結(jié)論AB∥CD.法二：先求eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))的坐標(biāo)，eq\o(AB,\s\up14(→))＝(x1，y1)，eq\o(CD,\s\up14(→))＝(x2，y2)．利用向量共線的坐標(biāo)關(guān)系x1y2－x2y1＝0得到eq\o(AB,\s\up14(→))∥eq\o(CD,\s\up14(→))，再給出幾何結(jié)論AB∥CD.以上兩種方法，都是建立在A，B，C，D中任意三點(diǎn)都不共線的基礎(chǔ)上，才有eq\o(AB,\s\up14(→))∥eq\o(CD,\s\up14(→))得到AB∥CD.2.向量在物理中的應(yīng)用⑴物理問題中常見的向量有力、速度、位移等.⑵向量的加減法運(yùn)算體現(xiàn)在一些物理量的合成和分解中⑶動量是向量的數(shù)乘運(yùn)算.⑷功是力和位移的數(shù)量積思考3.向量的數(shù)量積與功有什么聯(lián)系？[提示]物理上力做功的實(shí)質(zhì)是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移距離的乘積，它的實(shí)質(zhì)是向量的數(shù)量積．小試牛刀1.若向量eq\o(OF1,\s\up10(→))＝(1,1)，eq\o(OF2,\s\up10(→))＝(－3，－2)分別表示兩個力F1，F(xiàn)2，則|F1＋F2|為()A．(5,0)B．(－5,0)C.eq\r(5)D．－eq\r(5)C解析：F1＋F2＝eq\o(OF1,\s\up10(→))＋eq\o(OF2,\s\up10(→))＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)．|F1＋F2|＝eq\r(－22＋－12)＝eq\r(5).已知點(diǎn)A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，則下列結(jié)論正確的是()A．A，B，C三點(diǎn)共線B.eq\o(AB,\s\up10(→))⊥eq\o(BC,\s\up10(→))C．A，B，C是等腰三角形的頂點(diǎn)D．A，B，C是鈍角三角形的頂點(diǎn)D解析：因?yàn)閑q\o(BC,\s\up10(→))＝(－2,0)，eq\o(AC,\s\up10(→))＝(2,4)，所以eq\o(BC,\s\up10(→))·eq\o(AC,\s\up10(→))＝－4<0，所以∠C是鈍角．4.力F＝(－1，－2)作用于質(zhì)點(diǎn)P，使P產(chǎn)生的位移為s＝(3，4)，則力F對質(zhì)點(diǎn)P做的功是________．－11解析：因?yàn)閃＝F·s＝(－1，－2)·(3，4)＝－11，則力F對質(zhì)點(diǎn)P做的功是－11.例題講授【例1】如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.【思路點(diǎn)撥】方法一：用一組基底表示，然后求解即得.方法二：以分別為建立直角坐標(biāo)系，求得坐標(biāo)，利用可得.[證明]證法一：設(shè)eq\o(AD,\s\up15(→))＝a，eq\o(AB,\s\up15(→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up15(→))＝eq\o(DA,\s\up15(→))＋eq\o(AE,\s\up15(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BF,\s\up15(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up15(→))·eq\o(DE,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0.故eq\o(AF,\s\up15(→))⊥eq\o(DE,\s\up15(→))，即AF⊥DE.證法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為2，則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，eq\o(AF,\s\up15(→))＝(2,1)，eq\o(DE,\s\up15(→))＝(1，－2)．因?yàn)閑q\o(AF,\s\up15(→))·eq\o(DE,\s\up15(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up15(→))⊥eq\o(DE,\s\up15(→))，即AF⊥DE.方法總結(jié)向量法解決平面幾何問題的兩種方法(1)基底法：選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知?；驃A角的向量作為基底)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算．(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．一般地，題目中已建好坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的問題適合用坐標(biāo)法.當(dāng)堂練習(xí)1如圖所示，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DP，EF，求證：DP⊥EF.證明：方法一設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AE＝a(0<a<1)，則EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq\r(2)a，所以eq\o(DP,\s\up10(→))·eq\o(EF,\s\up10(→))＝(eq\o(DA,\s\up10(→))＋eq\o(AP,\s\up10(→)))·(eq\o(EP,\s\up10(→))＋eq\o(PF,\s\up10(→)))＝eq\o(DA,\s\up10(→))·eq\o(EP,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))·eq\o(PF,\s\up10(→))＋eq\o(AP,\s\up10(→))·eq\o(EP,\s\up10(→))＋eq\o(AP,\s\up10(→))·eq\o(PF,\s\up10(→))＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋eq\r(2)a×a×cos45°＋eq\r(2)a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.所以eq\o(DP,\s\up10(→))⊥eq\o(EF,\s\up10(→))，即DP⊥EF.方法二設(shè)正方形邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，x)，則D(0,1)，E(x,0)，F(xiàn)(1，x)，所以eq\o(DP,\s\up10(→))＝(x，x－1)，eq\o(EF,\s\up10(→))＝(1－x，x)，由于eq\o(DP,\s\up10(→))·eq\o(EF,\s\up10(→))＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，所以eq\o(DP,\s\up10(→))⊥eq\o(EF,\s\up10(→))，即DP⊥EF.【例2】如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，點(diǎn)D在線段BC上，且BD＝eq\f(1,2)DC.求：(1)AD的長；(2)∠DAC的大?。舅悸伏c(diǎn)撥】⑴向量用和表示，再由可得.⑵利用即得.【解】(1)設(shè)eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.所以|eq\o(AD,\s\up16(→))|2＝eq\o(AD,\s\up16(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,9)a2＋2·eq\f(2,9)a·b＋eq\f(1,9)b2＝eq\f(4,9)×9＋2×eq\f(2,9)×3×3×cos120°＋eq\f(1,9)×9＝3.故AD＝eq\r(3).(2)設(shè)∠DAC＝θ，則θ為向量eq\o(AD,\s\up16(→))與eq\o(AC,\s\up16(→))的夾角．因?yàn)閏osθ＝eq\f(\o(AD,\s\up16(→))·\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AD,\s\up16(→))||\o(AC,\s\up16(→))|)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(1,3)b))·b,\r(3)×3)＝eq\f(\f(1,3)b2＋\f(2,3)a·b,3\r(3))＝eq\f(\f(1,3)×9＋\f(2,3)×3×3×cos120°,3\r(3))＝0，所以θ＝90°，即∠DAC＝90°.方法總結(jié)利用向量法解決長度問題的方法(1)基向量法：利用圖形特點(diǎn)選擇基底，應(yīng)用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化公式求解.(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，若，則當(dāng)堂練習(xí)2在直角三角形ABC中，斜邊BC長為2，O是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))，則|eq\o(AP,\s\up16(→))|等于解析∵eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))，∴eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))，eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))，∴AP為Rt△ABC斜邊BC的中線.∴|eq\o(AP,\s\up16(→))|＝1.例3⑴兩個力F1＝i＋j，F(xiàn)2＝4i－5j作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A(20，15)移動到點(diǎn)B(7，0)(其中i，j分別是與x軸、y軸同方向的單位向量)．求：①F1，F(xiàn)2分別對該質(zhì)點(diǎn)做的功；②F1，F(xiàn)2的合力F對該質(zhì)點(diǎn)做的功.⑵一條寬為eq\r(,3)km的河，水流速度為2km/h，在河兩岸有兩個碼頭A，B，已知AB＝eq\r(,3)km，船在水中最大航速為4km/h；問怎樣安排航行速度，可使該船從A碼頭最快到達(dá)彼岸B碼頭？用時多少？[思路探究](1)eq\x(求出合力、位移的坐標(biāo)表示)→eq\x(利用數(shù)量積求功)⑵應(yīng)用平行四邊形法則可得【解】⑴eq\o(AB,\s\up16(→))＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.①F1做的功W1＝F1·s＝F1·eq\o(AB,\s\up16(→))＝(i＋j)·(－13i－15j)＝－28.F2做的功W2＝F2·s＝F2·eq\o(AB,\s\up16(→))＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23.②F＝F1＋F2＝5i－4j，所以F做的功W＝F·s＝F·eq\o(AB,\s\up16(→))＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5.⑵如圖所示，設(shè)eq\o(AC,\s\up14(→))為水流速度，eq\o(AD,\s\up14(→))為航行速度，以AC和AD為鄰邊作?ACED，當(dāng)AE與AB重合時能最快到達(dá)彼岸．根據(jù)題意知AC⊥AE，在Rt△ADE和?ACED中，