數(shù)理金融學(xué)導(dǎo)論補充練習(xí)及參考答案

PAGEPAGE26附錄：練習(xí)題目第一章練習(xí)及參考答案1.假設(shè)1期有兩個概率相等的狀態(tài)和。1期的兩個可能狀態(tài)的狀態(tài)價格分別為和。考慮一個參與者，他的稟賦為()。其效用函數(shù)是對數(shù)形式問：他的最優(yōu)消費／組合選擇是什么？解答：給定狀態(tài)價格和他的稟賦，他的總財富是。他的最優(yōu)化問題是其一階條件為：給定效用函數(shù)的形式，當(dāng)消費水平趨近于0時，邊際效用趨近于無窮。因此，參與者選擇的最優(yōu)消費在每一時期每一狀態(tài)都嚴(yán)格為正，即所有狀態(tài)價格嚴(yán)格為正。在這種情況下，我們可以在一階條件中去掉這些約束(以及對應(yīng)的乘子)而直接求解最優(yōu)。因此，。對于我們立即得到如下解：,,把的解代人預(yù)算約束，我們可以得到的解：最后，我們有,,可以看出，參與者把一半財富用作現(xiàn)在的消費，把另外一半財富作為未來的消費。某一狀態(tài)下的消費與對應(yīng)的狀態(tài)價格負(fù)相關(guān)。狀態(tài)價格高的狀態(tài)下的消費更昂貴。結(jié)果，參與者在這些狀態(tài)下選擇較低的消費。2.考慮一個經(jīng)濟，在1期有兩個概率相等的狀態(tài)和。經(jīng)濟的參與者有1和2，他們具有的稟賦分別為：，兩個參與者都具有如下形式的對數(shù)效用函數(shù)：在市場上存在一組完全的狀態(tài)或有證券可以交易。因為有兩個狀態(tài)，因而只有兩個狀態(tài)或有證券。試分析這個經(jīng)濟的均衡。解答：考慮一個經(jīng)濟，在1期有兩個概率相等的狀態(tài)和。經(jīng)濟中有參與者1和2，他們具有的稟賦分別為：兩個參與者都具有如下形式的對數(shù)效用函數(shù)：在市場上存在一組完全的狀態(tài)或有證券可以交易。因為有兩個狀態(tài)，因而只有兩個狀態(tài)或有證券。現(xiàn)在我們開始分析這個經(jīng)濟的均衡。從給定交易證券價格下參與者的最優(yōu)化問題開始。記為狀態(tài)價格(向量)，即兩個狀態(tài)或有證券的價格。我們可以定義每個參與者的財富為，這里；而是他的稟賦。這時，最優(yōu)化問題變成了：該問題的解為,,這里而。均衡由市場出清決定。有兩個交易證券，每一市場都應(yīng)該出清：均衡價格的解為和。參與者2的財富為。因此，參與者2和參與者1的財富相同，盡管他們的稟賦非常不同。均衡配置是。這并不奇怪。給定他們具有相同的偏好和財富，他們的消費計劃也應(yīng)該相同?，F(xiàn)在讓我們來看看均衡配置。對于每個參與者，他的相對邊際效用為這對于兩個參與者來說是一樣的。3．一個投資者有本金，可以投資的錢數(shù)在0到之間，如果投資了，則會以概率獲益，以損失。如果，投資者的效用函數(shù)是對數(shù)的，則投資者應(yīng)該投入多少？解：設(shè)投入金額是，，投資者的投資結(jié)果記為，它等于或，出現(xiàn)這兩種結(jié)果的概率分別是，，它們的期望效用為：。為求出的最優(yōu)值，對上式關(guān)于求導(dǎo)得：。令上式等于0，得：或。所以投資者每次都應(yīng)投資他現(xiàn)有財富的。例如，如果獲利的概率，則投資者應(yīng)該投資全部財富的20%。如果，他應(yīng)該投資40%。（當(dāng)時，容易證明最優(yōu)投資數(shù)量為0。）第二章練習(xí)及參考答案1.設(shè)當(dāng)前無風(fēng)險利率為6%，市場回報率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.10，0.20。如果給定股票的回報率與市場回報率的協(xié)方差為0.05，求該股票回報率的期望值。解：由于，所以。即股票的期望回報率為11%。第三章練習(xí)及參考答案1．考慮用100的資本投資兩種證券，它們回報率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：，；，。若兩個回報率的相關(guān)系數(shù)，投資者的效用函數(shù)為：求這兩個證券的最優(yōu)組合。解：設(shè)，，由式得：。又由于，由式得：。所以我們應(yīng)該選擇，使下式的值達(dá)到最大：或等價的，最大化。簡單計算后得知取下值時，上式達(dá)到最大：。即，當(dāng)投資15.789于證券1，投資84.211于證券2時，期末財富的期望效用達(dá)到最大。將代入前面等式，得，，最大期望效用等于：。這可以和下述投資組合的效用比較一下：將100全部投資到證券1時，期望效用為0.3904；當(dāng)100全部投資到證券2時，期望效用為0.4413。2.給投資人一個機會，他可以在6年之后取得20000美元。假如他能取得10％的回報，那么現(xiàn)在他最多愿意付多少錢來取得這個機會?解答：為了回答這一問題，必須以10％的折現(xiàn)率計算6年之后收到的20000美元的現(xiàn)值。為20000，為10％，即0．1，為6年。為0．564。1美元的現(xiàn)值(PVIF)既然這兩個值在考慮了時間因素后是等價的，那么這意味著對能夠從她的投資中取得10％的回報來說，選擇現(xiàn)在收到11280美元還是選擇6年之后得到20000美元并沒什么不同。換句話說，投資人可以在今天以10％的利率投資11280美元，那么在6年之后就會得到20000美元。3.計算利率為4％時，750美元6個月的單利終值是多少？解答：其中，，且。于是并且4.如果你借款1000美元，并以年利率8%按每季度計息1次的復(fù)利形式支付利息，借期1年，那么1年后你欠了多少錢？解：每季度計息一次的8%的年復(fù)合利率，等價于每個季度以2%的單利利率支付一次利息，而每個季度索要的利息，不僅要考慮原有的本金，而且還要加上累計到該時刻的利息。因此，一個季度后你的欠款為：；兩個季度后你的欠款為：；三個季度后你的欠款為：；四個季度后你的欠款為：。5．許多信用卡公司均是按每月計息1次的18%的年復(fù)合利率索要利息的。如果在1年的年初支付金額為，而在這1年中并沒有發(fā)生支付，那么在這1年的年末欠款將是什么？解：這樣的復(fù)合利率相當(dāng)于每個月以月利率支付利息，而累計的利息將加到下一個月所欠的本金中。因此，一年后你的欠款為：。6．如果一家銀行所提供的利息是以名義利率5%連續(xù)地計算利息，那么每年的有效利率應(yīng)該是多少？解：有效利率應(yīng)為：。即有效利率是每年。7．一家公司在未來的5年中需要一種特定型號的機器。這家公司當(dāng)前有1臺這種機器，價值6000美元，未來3年內(nèi)每年折舊2000美元，在第三年年末報廢。該機器開始使用后第一年運轉(zhuǎn)費用在該年年初值為9000美元，之后在此基礎(chǔ)上每年增加2000美元。在每年的年初可以按固定價格22000美元購買1臺新機器。1臺新機器的壽命是6年，在最初使用的兩年中每年折舊3000美元，這之后每年折舊4000美元。新機器在第一年的運轉(zhuǎn)成本是6000美元，在隨后的每年中將增加1000美元。如果利率為10%，公司應(yīng)在何時購買新機器？解：這家公司可以在第1、2、3、4年的年初購買新機器，其對應(yīng)的六年現(xiàn)金流如下（以1000美元為單位）：在第一年的年初購買新機器：22，7，8，9，10，-4；在第二年的年初購買新機器：9，24，7，8，9，-8；在第三年的年初購買新機器：9，11，26，7，8，-12；在第四年的年初購買新機器：9，11，13，28，7，-16。為了驗證上面所列現(xiàn)金流的正確性，假設(shè)公司將在第三年的年初購買新機器，則公司在第一年的成本為舊機器9000美元的運轉(zhuǎn)成本；在第二年的成本為舊機器11000的運轉(zhuǎn)成本；在第三年的成本為新機器22000的購買成本，加上6000美元的運轉(zhuǎn)成本，再減去從替換機器中得到的2000美元；在第四年的成本是7000美元的運轉(zhuǎn)成本；在第五年的成本是8000美元的運轉(zhuǎn)成本；在第六年的成本是-12000美元，它是已經(jīng)使用了三年的機器價值的負(fù)值。其他的三個現(xiàn)金流序列可以通過相似的方法推得。對于年利率，第一個現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值為。其他現(xiàn)金流的現(xiàn)值可用同樣的方法計算出。這四個現(xiàn)金流的現(xiàn)值分別是46.083，43.794，43.760，45.627．因此，公司應(yīng)在兩年后購買新機器。8．一個打算在20年后退休的人，決定在今后240個月的每月月初在銀行存款，使得他可以在隨后的360個月的每月月初提款1000美元。假設(shè)每月計息1次的名義年利率為6%，那么的值應(yīng)該為多少？解：是月利率。令，他所有存款的現(xiàn)值為。類似地，如果是在隨后的360個月中每月的提款額，那么所有的提款額的現(xiàn)值為。這樣，如果滿足以下等式，他就可以實現(xiàn)所有的提款（同時他的賬戶中也不再有任何錢）：。對于，，可以得到。這就是說，在240個月中每月存款361美元，就可以使得他在隨后的360個月中每月提取1000美元。注在這個例子中，我們使用了以下的代數(shù)恒等式：。為了證明這個等式，我們令注意到。因此，，這就證明了該等式。利用相同的方法，或者令趨向于無窮，可以證明當(dāng)時有。9．終身年金給其持有者在未來每一年年末領(lǐng)取數(shù)額款項的權(quán)利。這就是說，對于每一個，在第年的年末要向持有者支付。如果利率為，每年計息1次，那么這個現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值是多少？解：該現(xiàn)金流可以被復(fù)制為初始時刻在銀行存入本金，并在每一年的年末提取所得的利息（保留本金不動），但是在初始階段存入任何少于的金額都無法復(fù)制這個現(xiàn)金流，因此這個無限期現(xiàn)金流的現(xiàn)值為。這個結(jié)論可以由下式推得：。第四章練習(xí)及參考答案1.考慮3個資產(chǎn)、以及。它們具有如下的風(fēng)險特征：它們年收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為50％；值分別為0、1.5以及-1.5。另外，市場年收益率的均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，無風(fēng)險利率為4％。由CAPM，這三個資產(chǎn)的風(fēng)險溢價是多少?解答：首先，市場組合的風(fēng)險溢價是。我們有盡管資產(chǎn)有相對較高的波動率，但它全是剩余風(fēng)險，因而沒有溢價。它的期望收益將和無風(fēng)險利率一樣，都是4％。資產(chǎn)和的資產(chǎn)收益波動率有很大一部分來自市場風(fēng)險。特別地，市場回歸的都是。然而，它們的溢價卻不相同。資產(chǎn)有正的12％的溢價，而資產(chǎn)有負(fù)的12％的溢價。如用收益的方差來度量，盡管三個資產(chǎn)有完全相同的總風(fēng)險，但是風(fēng)險的構(gòu)成是不一樣的。資產(chǎn)的風(fēng)險與市場風(fēng)險完全無關(guān)。因此，它沒有風(fēng)險溢價。資產(chǎn)和都有很大的市場風(fēng)險。但是，它們的風(fēng)險溢價不同。資產(chǎn)的值為正，因而它的收益與市場收益正相關(guān)。給定參與者都持有市場組合，資產(chǎn)的風(fēng)險是不受歡迎的。因此，它有正的溢價。資產(chǎn)的值為負(fù)，即它的收益與市場收益負(fù)相關(guān)。也就是說，當(dāng)市場表現(xiàn)好時它的收益較低，但市場表現(xiàn)差時它的收益反而較高。對于一個持有市場組合的參與者來說，資產(chǎn)實際上提供了一個保險。因此，它有負(fù)的溢價。也就是說，參與者愿意為了持有它而付出一個溢價。事實上，資產(chǎn)的期望收益是，它是負(fù)的。也就是說，排除了不確定性，資產(chǎn)得到的平均回報是每年，而市場中的無風(fēng)險收益率是4％。如果理解了資產(chǎn)提供的實質(zhì)上是對市場風(fēng)險的一個保險，那么這個結(jié)論就不足為奇了。2.計算在超常增長時期末股票的價格。如果股票第3年的股利為：其中，試求3年期末股票的價格。解答：股利的現(xiàn)值因為股票的價格為：所以股票價格的現(xiàn)值將得到的這兩個現(xiàn)值相加得到普通股的價值。3．（股票定價）企業(yè)1在時期將發(fā)行100股股票，該種股票在時期的價值為隨機變量。企業(yè)的資金都是通過發(fā)行這種股票而籌集的，以至于股票持有者有資格獲得完全的收益流。最后給出的有關(guān)數(shù)據(jù)是，，，試用資本資產(chǎn)基本定價方程求出該股票的合理價值。解：應(yīng)用證券市場線性方程。即普通股所需的收益率為15%，這就意味著市場將以15%的貼現(xiàn)，以確定股票在時期1的市場價格，于是我們有。以15%貼現(xiàn)，，因有100股，故每股價值為7.83$。第五章練習(xí)及參考答案1.二項分布的期望值。一個三期的二叉樹，股價的參數(shù)為,,,,如果期權(quán)在到期日的收益為：求其期望值。解答：的可能值為26.62、21.78、17.82、14.58，分別對應(yīng)于取值3、2、1、0．將這些值代人公式(5—18)求得概率為0.512、0.374、0.096、0.008．到期時期權(quán)的收益分別為5.62、0.78、0、0，因此期望收益是(美元)2.考慮一個普通股，在開始的兩年內(nèi)其股利預(yù)期增長率為25％，隨后，預(yù)期增長率下降到5％。上期支付股利為2美元。投資者希望取得12％的回報。計算該股票的價值。解答：考慮一個普通股，在開始的兩年內(nèi)其股利預(yù)期增長率為25％，隨后，預(yù)期增長率下降到5％。上期支付股利為2美元。投資者希望取得12％的回報。為了計算該股票的價值，可采用如下步驟：第一步，計算在超常增長時期的股利，并求出其現(xiàn)值。假定為2美元，為15％，為12％：或股利的現(xiàn)值第二步，計算在超常增長時期末股票的價格。第三年的股利為：其中，因此股票的價格為：股票價格的現(xiàn)值第三步，將從步驟1和步驟2得到的這兩個現(xiàn)值相加得到普通股的價值。3．股票現(xiàn)在的價值是50元。一年后，它的價值可能是55元或40元。一年期利率是4％。假設(shè)希望計算兩種看漲期權(quán)的價格，一種的執(zhí)行價為48元，另一種的執(zhí)行價為53元。我們也希望一執(zhí)行價為45元的看漲期權(quán)。問，應(yīng)該如何用求出這三個價格？其中的、和如圖解答：股票現(xiàn)在的價值為50美元。一年后，它的價值可能是55美元或40美元。一年期利率為4%。假設(shè)我們希望計算兩種看漲期權(quán)的價格，一種執(zhí)行價格為48美元，另一種執(zhí)行價為53美元。我們也希望為一種執(zhí)行價為45美元的看漲（書中是“漲”字）期權(quán)定價。第1步：從股票二叉圖得到。由于55從50我們得到40所以第2步：對衍生產(chǎn)品價值和求平均。如果看漲期權(quán)執(zhí)行價為48美元，那么以及，看漲期權(quán)的價格為：如果看漲期權(quán)執(zhí)行價為53美元，那么，看漲期權(quán)的價格為：如果看跌期權(quán)執(zhí)行價為45美元，那么以及，看跌期權(quán)的價格為：4．我們考慮這樣的期權(quán)定價問題：股票的初始價格是100并且假設(shè)一段時間后股票的價格只可能是200或者50。如果在0時刻我們能以每股的價格買入一個期權(quán)，這個期權(quán)使我們在時刻1能以每股150的價格購買股票，那么當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r穩(wěn)贏的賭博不可能存在？解：在本章的背景下，試驗的結(jié)果是時刻1時的股票價格，因此，有兩種可能的結(jié)果。與此同時也存在兩種不同的賭博：買（或者賣）股票和買（或者賣）期權(quán)。由套利定理我們知道，如果在結(jié)果集上存在概率使得這兩種賭博的期望收益現(xiàn)值為零，那么就不會有穩(wěn)贏的情況出現(xiàn)。購買一股該股票收益的現(xiàn)值為：收益=如果在時刻1時的價格是200，收益=如果在時刻1時的價格是50。因此，若在時刻1時股票價格是200的概率為，那么。令這個式子等于零，我們就得到：。由此可見，若賭博為購買股票，那么使得該賭博的期望收益是零的概率向量只可能是。此外，購買一個期權(quán)收益的現(xiàn)值為：收益=如果在時刻1時的價格是200，收益=如果在時刻1時的價格是50。因此，當(dāng)時，購買一個期權(quán)的期望收益是：。根據(jù)套利定理，我們就得到了不可能存在穩(wěn)贏策略時的唯一值是：；即，，5．假設(shè)一個證券現(xiàn)在的售價是30，名義利率是8%（單位時間為1年），這種證券的波動率是0.20。求一個3個月后到期且執(zhí)行價為34的買入期權(quán)的無套利價格。解：本題中的參數(shù)是：，，，，，所以我們就有。由此得到。這個期權(quán)合適的價格就應(yīng)該是24美分。6．函數(shù)稱為是凸的是指，如果對所有的和，以及，都有函數(shù)凸性的幾何解釋是，是和連線上的點，它給的權(quán)重與在和的連線上的點所給予點的權(quán)重是相同的。因此，凸性的幾何解釋又是，連接曲線上任意兩點的直線總在這段曲線之上。試證明下面的結(jié)論。命題令是以某種特定證券為標(biāo)的買入期權(quán)的價格，這個期權(quán)的敲定價為，到期日為。（a)對于固定的到期日，關(guān)于是凸的非增函數(shù)。（b)對于任意的，有。解：凸函數(shù)的幾何意義如下圖所示●●●●凸函數(shù)的幾何意義如果用來表示標(biāo)的證券在時刻的價格，那么在時刻買入期權(quán)的回報是：期權(quán)的回報=若，期權(quán)的回報=若。這就是說，，其中，（稱為的正部）定義為：當(dāng)時取值，當(dāng)時取值0。對于固定的，從回報函數(shù)的圖像，它是關(guān)于的凸函數(shù)。函數(shù)的圖像為了證明是關(guān)于的凸函數(shù)，假設(shè)，?，F(xiàn)在考慮以下兩個投資：購買買入期權(quán)。購買買入期權(quán)和買入期權(quán)。因為投資1）在時刻的回報為，而投資2）在時刻的回報為，由函數(shù)的凸性可知，投資2）的回報至少應(yīng)該和投資1）的回報一樣大。因此，由廣義一價律，要么投資2）的成本至少和投資1）的成本相等，要么存在套利。這就是說，要么要么存在套利。這證明了函數(shù)的凸性。對于關(guān)于的非增函數(shù)的證明，作為練習(xí)留給讀者。要證明部分，應(yīng)該注意到，如果，那么通過賣出一個時刻到期、敲定價為的買入期權(quán)，并買入一個時刻到期、敲定價為的買入期權(quán)，就可以得到套利機會。因為敲定價為的期權(quán)的回報比敲定價為的期權(quán)的回報，最多多出，因此從這個投資組合總會得到正的利潤。第六章練習(xí)及答案1.計算與每月按復(fù)利計息的5％的利率等價的有效利率。解答：在一年中，有效利率為的1期終值為，按5％的利率每月計息的復(fù)利終值為。令得出或2.假設(shè)我們對債券市場建立模型．選擇和,我們知道今天的利率是．那么5年和10年的零息券的今日價格分別是多少?這些債券的當(dāng)前收益率是多少?解答：價格只受到到期日的影響，我們?nèi)『汀?年債券：所以。就是說，一張面值為1000美元的5年債券今天的價格應(yīng)該是738美元．它的當(dāng)前收益率是0.30375／5=0.0607，持有至到期日的年收益率是6.07％．10年債券：所以．就是說，一張面值為1000美元的10年債券今天的價格應(yīng)該是538美元．它的當(dāng)前收益率是0.62/10，持有至到期目的年收益率是6.2％．3.計算等價于5％的有效利率的按復(fù)利每季計息的名義利率。解答：在一年中，按的利率每季計息的復(fù)利終值為，并且有效利率為5％的1其終值為1.05。令得到于是或4.已知,求出收益曲線和現(xiàn)值函數(shù)。解：改寫為，，則可以給出以下的收益曲線。因此，現(xiàn)值函數(shù)為。5．（債券定價）有一個面值為100元的債券，約定到期付息8％，假定在債券有效期內(nèi)有70％的時間可以贖回本金并獲得利息，30％的時間不能還本付息，但將制伏0元的承保金，即可將債券在時期2的價值表示為設(shè)，其它數(shù)據(jù)如上題，試確定債券在時期1的合理價值。解由證券市場線性方程可得確定等價定價公式由此結(jié)果得債券在時期1的合理價值。市場所需的期望收益率為第七章練習(xí)及參考答案1．某公司在時期1的市場價值為900元。現(xiàn)有一項目，其在時期2的期望收益為，，公司現(xiàn)在考慮一個新的投資項目，其單位成本為60元。在時期2的現(xiàn)金收益流為，，試回答，該公司管理者應(yīng)該怎樣考慮這個項目？解由確定等價定價公式，得。求解上式得。又，故。又，假如投資新項目，那么公司在時期1的總收入（不考慮投資成本）是。因為公司市場價值比原來的上漲了100$，而投資成本為60$，故可以得到補償，所以可以投資新項目。2.一家企業(yè)面臨一項確定性的投資項目，現(xiàn)在投資的資金流出和未來的收入現(xiàn)金流都是確定的。假如這個項目是1階段的，在時期需要投資10000元，到時期(1年后)便可以確定性地收入13000元?，F(xiàn)在金融市場上1年期的無風(fēng)險證券的收益率是15％。問：如何做出投資決策?解答：記現(xiàn)在的投資現(xiàn)金流出為元，1年后的收入現(xiàn)金流為元。這個項目的投資是無風(fēng)險的，因為將來發(fā)生的現(xiàn)金流是確定的。所以，機會成本應(yīng)該是1年期無風(fēng)險證券的收益率15％。下面分別計算所發(fā)生的現(xiàn)金流的現(xiàn)值和凈現(xiàn)值：(元)，(元)(元)結(jié)論是：此項投資可行，投資結(jié)果將使企業(yè)價值增大1300元。顯而易見，現(xiàn)值的計算與現(xiàn)金流發(fā)生的時點有緊密的聯(lián)系。因此，對于資產(chǎn)估值與定價來說，時間是金融決策的一項基本要素。3.如果上題的項目未來時期(1年后)發(fā)生的收入現(xiàn)金流是不確定的(有風(fēng)險的)，其預(yù)期值(概率平均值)為13000元，問：如何做出投資決策?解答：此時需要測算該項目的機會成本，假設(shè)測得機會成本為35％，則可計算所發(fā)生的現(xiàn)值和凈現(xiàn)值為：(元)，(元)(元)結(jié)論是：此項投資不可行，如果進(jìn)行投資，企業(yè)的價值(請注意：企業(yè)的價值是市場價值，即企業(yè)的現(xiàn)值)將會減少370元。因此，現(xiàn)值的計算取決于現(xiàn)金流的風(fēng)險。對于資產(chǎn)估值與定價來說，風(fēng)險是金融決策的另一項基本要素。的研究發(fā)現(xiàn)凈現(xiàn)值法判據(jù)的不足之處，從而作為重大的改進(jìn)提出了實物期權(quán)方法。第八章練習(xí)及參考答案1.假設(shè)你向銀行借款100000美元買房，負(fù)責(zé)貸款的經(jīng)理告訴你可以以0.6%的月利率貸款15年，每月分期償還。如果銀行要收取貸款初始費用600美元，房屋檢驗費400美元，以及貸款額的1個百分點，那么銀行提供的貸款的實際年利率是多少？解答：解：首先我們考慮這個貸款的每月抵押支付，記之為。由于100000美元的貸款需要在未來的180個月中以月利率0.6%償還，所以，其中。因此，。因此如果你實際得到了100000美元，在180個月中每月償還910.05美元，那么實際月利率應(yīng)該是0.6%。但是考慮到銀行收取的初始貸款費用、房屋檢驗費以及一個百分點的貸款額（這意味著收到貸款時，銀行將收取名義貸款額100000美元的1%），你實際只得到了98000美元。因此有效月利率應(yīng)該滿足下式的的值：，其中。因此，或者，由得。利用實驗誤差法求上面方程的數(shù)值解（由于，很容易計算）得出：