變化率與導(dǎo)數(shù)

會計學(xué)1變化率與導(dǎo)數(shù)在吹氣球的過程中,可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢.從數(shù)學(xué)的角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?第1頁/共40頁第2頁/共40頁操作驗(yàn)證：利用函數(shù)圖象計算：r(0)=_________r(1)≈_______r(2)≈________r(2.5)≈_______r(4)≈_________所以：r(1)-r(0)1-0≈_____(dm/L)r(2)-r(1)2-1≈_____(dm/L)r(2.5)-r(2)2.5-2≈_____(dm/L)r(4)-r(2.5)4-2.5≈_____(dm/L)所以，隨著氣球體積逐漸變大，它的____________逐漸變小了。00.620.780.8510.620.160.140.10平均膨脹率函數(shù)r(V)=(0≤V≤5)的圖象為:第3頁/共40頁問題2高臺跳水在跳水運(yùn)動中，運(yùn)動員相對于水面高度h（單位:m）與起跳后的時間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系：h(t)=-4.9t2+6.5t+10（如圖）h(0.5)-h(0)0.5-0t:00.5時,

v=t:12時,

v==4.05(m/s)h(2)–h(1)2–1=-8.2(m/s)一般地,t1t2時,v=h(t2)–h(t1)t2–t1第4頁/共40頁探究：答:(1)不是。先上升，后下降。(2)平均速度只能粗略的描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)它并不能反映某一刻的運(yùn)動狀態(tài)。計算運(yùn)動員在0≤t≤這段時間里的平均速度：v=______，思考下面的問題：(1)運(yùn)動員在這段時間里是靜止的嗎？(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題？0m/s第5頁/共40頁建構(gòu)數(shù)學(xué)－平均變化率在例2中：對于函數(shù)h=-4.9t2+6.5t+10計算運(yùn)動員在0s到0.5s內(nèi)的

平均速度在例1中：對于函數(shù)當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時,氣球的

平均膨脹率一般地，函數(shù)f（x）在區(qū)間［x1，x2］上的平均變化率第6頁/共40頁建構(gòu)數(shù)學(xué)－平均變化率所以，平均變化率可以表示為：第7頁/共40頁平均變化率:式子令△x=x2–x1,△y=f(x2)–f(x1),則稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率.平均變化率的定義：第8頁/共40頁1、式子中△x、△y的值可正、可負(fù)，但的△x值不能為0，△y

的值可以為02、若函數(shù)f(x)為常函數(shù)時，△y=0理解3、變式:第9頁/共40頁觀察函數(shù)f(x)的圖象平均變化率表示什么?xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直線AB的斜率y=f(x)思考第10頁/共40頁直線AB的斜率AB思考第11頁/共40頁思考：函數(shù)y=f(x)，從x1到x2的平均變化率=的幾何意義是什么？ΔyΔxf(x2)–f(x1)x2–x1答：連接函數(shù)圖象上對應(yīng)兩點(diǎn)的割線的斜率第12頁/共40頁例(1)計算函數(shù)f(x)=2x+1在區(qū)間[–3,–1]上的平均變化率；(2)求函數(shù)f(x)=x2

+1的平均變化率。(1)解：△y=f(-1)-f(-3)=4△x=-1-(-3)=2(2)解：△y=f(x+△x)-f(x)=2△x·x+(△x)2

題型一：求函數(shù)的平均變化率第13頁/共40頁練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點(diǎn)A(-1,-2)及臨近一點(diǎn)B(-1+Δx,-2+Δy),則Δy/Δx=(

)A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-Δx

D3.求y=x2在x=x0附近的平均變化率.

A△x+2x0第14頁/共40頁課堂練習(xí)：1、已知自由落體的運(yùn)動方程為s=gt2，求:(1)落體在t0到t0+Δt這段時間內(nèi)的平均速度；(2)

落體在t0=2秒到t1=2.1秒這段時間內(nèi)的平均速度(g=10m/s2)。

2、過曲線f(x)=x2上兩點(diǎn)P(1,1)和Q(2,4)做曲線的割線，求割線PQ的斜率k。

第15頁/共40頁小結(jié)：1.函數(shù)的平均變化率2.求函數(shù)的平均變化率的步驟:(1)求函數(shù)的增量：Δy=f(x2)-f(x1);(2)計算平均變化率：第16頁/共40頁（1）[1,3];（2）[1,2];（3）[1,1.1];（4）[1,1.001];（5）[1,1.0001];

一運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的位移S與時間t滿足S(t)=t2,分別計算S(t)在下列區(qū)間上的平均變化率.(位移單位為m,時間單位為s)432.12.0011.9991.991.92（6）[0.999,1];（7）[0.99,1];（8）[0.9,1].2.0001練一練

如何刻畫t=1這一時刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的快慢程度呢？思考：第17頁/共40頁一、復(fù)習(xí)1.平均變化率:平均變化率的幾何意義:割線的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y第18頁/共40頁理解：1，式子中△x、△y的值可正、可負(fù)，但的△x值不能為0，△y的值可以為02，若函數(shù)f(x)為常函數(shù)時，

△y=03,變式第19頁/共40頁求函數(shù)的平均變化率的步驟:(1)求函數(shù)的增量Δy=f(x2)-f(x1);(2)計算平均變化率第20頁/共40頁問題3高臺跳水

在高臺跳水運(yùn)動中,運(yùn)動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

如何用運(yùn)動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動狀態(tài)?hto第21頁/共40頁請計算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10第22頁/共40頁計算運(yùn)動員在這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:探究:(1)運(yùn)動員在這段時間里是靜止的嗎?(2)你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動員的運(yùn)動狀態(tài)有什么問題嗎?在高臺跳水運(yùn)動中,平均速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時間里運(yùn)動狀態(tài).我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.

如何求瞬時速度呢?比如，t=2時的瞬時速度是多少？第23頁/共40頁△t是時間改變量，可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0。我們先考察t=2附近的情況：在t=2之前或之后，任意取一個時刻2+△t，當(dāng)△t<0時，2+△t在2之前；當(dāng)△t>0時，2+△t在2之后。計算區(qū)間[2+△t，2]和區(qū)間[2，2+△t]內(nèi)的平均速度，可以得到如下表格：第24頁/共40頁△t<0時,在[2+△t,2]這段時間內(nèi)△t>0時,在[2,2+△t]這段時間內(nèi)當(dāng)△t=–0.01時,當(dāng)△t=

0.01時,當(dāng)△t=–0.001時,當(dāng)△t=0.001時,當(dāng)△t=–0.0001時,當(dāng)△t=0.0001時,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………如何求（比如，t=2時的）瞬時速度？通過列表看出平均速度的變化趨勢

：第25頁/共40頁當(dāng)△t趨近于0時,即無論t從小于2的一邊,還是從大于2的一邊趨近于2時,平均速度都趨近與一個確定的值–13.1.從物理的角度看,時間間隔|△t|無限變小時,平均速度就無限趨近于t=2時的瞬時速度.因此,運(yùn)動員在t=2

時的瞬時速度是–13.1.表示“當(dāng)t=2,△t趨近于0時,平均速度趨近于確定值–13.1”.從2s到(2+△t)s這段時間內(nèi)平均速度第26頁/共40頁探究:1.運(yùn)動員在某一時刻t0的瞬時速度怎樣表示?2.函數(shù)f(x)在x=

x0處的瞬時變化率怎樣表示?第27頁/共40頁定義:函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的瞬時變化率是稱為函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的導(dǎo)數(shù),記作或,即第28頁/共40頁定義:函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的瞬時變化率是稱為函數(shù)y=f(x)在x=

x0處的導(dǎo)數(shù),記作或,即第29頁/共40頁由導(dǎo)數(shù)的定義可知,求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法:求函數(shù)的改變量2.求平均變化率3.求值口訣：一差、二化、三極限第30頁/共40頁例1:(1)求函數(shù)y=x2在x=1處的導(dǎo)數(shù);(2)求函數(shù)y=x+1/x在x=2處的導(dǎo)數(shù).第31頁/共40頁第32頁/共40頁練1:求y=f(x)=x2+1在x=1處的導(dǎo)數(shù).QPy=x2+1xy-111OjMDyDx第33頁/共40頁例3將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱.如果第xh時,原油的溫度(單位:)為f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).計算第2h和第6h,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.解:在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率就是和根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,所以,同理可得在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率分別為–3和5.它說明在第2h附近,原油溫度大約以3/h的速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5/h的速率上升.第34頁/共40頁例3將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱.如果第xh時,原油的溫度(單位:)為f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).計算第2h和第6h,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義