行列式習(xí)題課

行列式習(xí)題課1.復(fù)習(xí)主要內(nèi)容2.習(xí)題舉例3.學(xué)生練習(xí)4.測(cè)試題

一、復(fù)習(xí)主要概念

1．行列式的定義

2．行列式的性質(zhì)

3．行列式的計(jì)算

①

用定義計(jì)算行列式

②

用上（下）三角形行列式計(jì)算行列式

③

利用行列式的展開法計(jì)算行列式

④

利用Vandermonde行列式計(jì)算行列式

⑤

用Laplace定理計(jì)算特殊的階數(shù)大的行列式

遞推法、加邊法、歸納法等等.

4.

Cramer法則行列式的定義行列式的等價(jià)定義其中行列式的性質(zhì)上（下）三角行列式的值為其所有對(duì)角元之積將行列式某行（列）乘以常數(shù)c,則行列式值為原來(lái)的c倍；即行列式某行（列）的公因子可以提到行列式外面互換行列式任意兩行（列），行列式值改號(hào)行列式兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式值為0將行列式的一行（列）乘以某個(gè)常數(shù)c加到另一行（列）上去，行列式值不變行列式的某一行（列）是兩阻數(shù)的和,那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和.行列式展開公式:

行列式的值等于任意一行(列)元素與它的代數(shù)余子式乘積之和.行列式的一行(列)元素與另外一行(列)元素的代數(shù)余子式乘積之和恒等于零.歸納法（對(duì)行列式階數(shù)）驗(yàn)證結(jié)論對(duì)n=1或n=2時(shí)成立;歸納假設(shè)對(duì)任意滿足命題條件的n－1階(小于n階)行列式命題成立利用2）的假設(shè)證明命題對(duì)n階行列式也成立k階子式、余子式、代數(shù)余子式Laplace定理設(shè)A是n階行列式，在A中任取k行（列），那么含于這k行（列）的全部k階子式與它們對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和等于A.

即若取定k個(gè)行：１用定義計(jì)算（證明）EXA1用行列式定義計(jì)算二．習(xí)題舉例：解注意EXA2．設(shè)行列式D=

求2用化三角形行列式計(jì)算EXA3

計(jì)算解提取第一列的公因子，得

注本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式．化零時(shí)一般盡量選含有１的行（列）及含零較多的行（列）；若沒(méi)有１，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn)，則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn)，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的．3用降階法計(jì)算EXA5

計(jì)算解

注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個(gè)非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計(jì)算出來(lái)為止（一般展開成二階行列式）．這種方法對(duì)階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用．4利用范德蒙行列式計(jì)算EXA3

計(jì)算

利用范德蒙行列式計(jì)算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點(diǎn)，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計(jì)算出結(jié)果。解

上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知

注本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成范德蒙行列式．5用遞推法計(jì)算EXA7

計(jì)算解由此遞推，得如此繼續(xù)下去，可得評(píng)注6用數(shù)學(xué)歸納法例９證明證對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法

求值7用展開、遞推法一題多解

計(jì)算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計(jì)算方法；有的行列式計(jì)算需要幾種方法綜合應(yīng)用．在計(jì)算時(shí)，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)對(duì)它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法．A三、練習(xí)1．判斷是不是6階行列式的項(xiàng)，若是,帶什么符號(hào)？2．設(shè)行列式求A43.5.計(jì)算下列行列式的值6．證明：7．用范德蒙行列式計(jì)算

8.設(shè)行列式求第1列元素的代數(shù)余