測量誤差的概念及其處理方法

1.3測量誤差的概念及其處理方法1.3.1測量及測量方法1.3.1.1測量測量是指人們用實(shí)驗(yàn)的方法，借助于一定的儀器或設(shè)備，將被測量與同性質(zhì)的單位標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較，并確定被測量對標(biāo)準(zhǔn)量的倍數(shù)，從而獲得關(guān)于被測量的定量信息。測量過程中使用的標(biāo)準(zhǔn)量應(yīng)該是國際或國內(nèi)公認(rèn)的性能穩(wěn)定的量，稱為測量單位。測量的結(jié)果包括數(shù)值大小和測量單位兩部分。數(shù)值的大小可以用數(shù)字表示，也可以是曲線或者圖形。無論表現(xiàn)形式如何，在測量結(jié)果中必須注明單位。否則，測量結(jié)果是沒有意義的。檢測技術(shù)比上述的測量定義有更加廣泛的含義。它是指下述的全面過程：按照被測量的特點(diǎn)，選用合適的檢測裝置與實(shí)驗(yàn)方法，通過測量和數(shù)據(jù)處理及誤差分析，準(zhǔn)確得到被測量的數(shù)值，并為進(jìn)一步提高測量精度，改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方法及測量裝置性能提供可靠的依據(jù)。一切測量過程都包括比較、示差、平衡和讀數(shù)等四個步驟。例如，用鋼卷尺測量桿件長度時，首先將卷尺拉出與桿件緊靠在一起，進(jìn)行“比較”；然后找出卷尺與桿件的長度差別，即“示差”；進(jìn)而調(diào)整卷尺長度使二者長度相等，達(dá)到“平衡”；最后從卷尺刻度上讀出桿件的長度，即“讀數(shù)”。測量過程的核心是比較，但被測量能直接與標(biāo)準(zhǔn)量比較的場合并不多，大多數(shù)情況下，是將被測量和標(biāo)準(zhǔn)量變換成雙方易于比較的某個中間變量來進(jìn)行的。例如，用彈簧秤稱重。被測重量通過彈簧按比例伸長，轉(zhuǎn)換為指針位移，而標(biāo)準(zhǔn)重量轉(zhuǎn)換成標(biāo)尺刻度。這樣，被測量和標(biāo)準(zhǔn)量都轉(zhuǎn)換成位移這一中間變量，就可以進(jìn)行直接比較。此外，為了提高測量精度，并且能夠?qū)ψ兓?、持續(xù)時間短的動態(tài)量進(jìn)行測量，通常將被測量轉(zhuǎn)換為電壓或電流信號，利用電子裝置完成比較、示差、平衡和讀數(shù)的測量過程。因此，轉(zhuǎn)換是實(shí)現(xiàn)測量的必要手段，也是非電量電測的核心。1.3.1.2測量方法測量方法是實(shí)現(xiàn)測量過程所采用的具體方法，應(yīng)當(dāng)根據(jù)被測量的性質(zhì)、特點(diǎn)和測量任務(wù)的要求來選擇適當(dāng)?shù)臏y量方法。按照測量手續(xù)可以將測量方法分為直接測量和間接測量。按照獲得測量值的方式可以分為偏差式測量、零位式測量和微差式測量。此外，根據(jù)傳感器是否與被測對象直接接觸，可區(qū)分為接觸式測量和非接觸式測量。而根據(jù)被測對象的變化特點(diǎn)又可分為靜態(tài)測量和動態(tài)測量等。1)直接測量與間接測量Ⅰ.直接測量用事先分度或標(biāo)定好的測量儀表，直接讀取被測量測量結(jié)果的方法稱為直接測量。例如，用溫度計測量溫度，用電壓表測量電壓等。直接測量是工程技術(shù)中大量采用的方法，其優(yōu)點(diǎn)是直觀、簡便、迅速，但不易達(dá)到很高的測量精度。Ⅱ.間接測量首先，對和被測量有確定函數(shù)關(guān)系的幾個量進(jìn)行測量，然后，再將測量值代入函數(shù)關(guān)系式，經(jīng)過計算得到所需結(jié)果。這種測量方法，屬于間接測量。例如，測量直流電功率時，根據(jù)P＝IU的關(guān)系，分別對I、U進(jìn)行直接測量，再計算出功率P。在間接測量中，測量結(jié)果y和直接測量值xi(i＝1，2，3…)之間的關(guān)系式可用下式表示y＝f(x1x2x3——)(1-3-1)間接測量手續(xù)多，花費(fèi)時間長，當(dāng)被測量不便于直接測量或沒有相應(yīng)直接測量的儀表時才采用。2)偏差式測量、零位式測量和微差式測量Ⅰ.偏差式測量在測量過程中，利用測量儀表指針相對于刻度初始點(diǎn)的位移(即偏差)來決定被測量的測量方法，稱為偏差式測量。在使用這種測量方法的儀表內(nèi)并沒有標(biāo)準(zhǔn)量具。只有經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)量具校準(zhǔn)過的標(biāo)尺或刻度盤。測量時，利用儀表指針在標(biāo)尺上的示值，讀取被測量的數(shù)值。它以間接方式實(shí)現(xiàn)被測量和標(biāo)準(zhǔn)量的比較。偏差式測量儀表在進(jìn)行測量時，一般利用被測量產(chǎn)生的力或力矩，使儀表的彈性元件變形，從而產(chǎn)生一個相反的作用，并一直增大到與被測量所產(chǎn)生的力或力矩相平衡時，彈性元件的變形就停止了，此變形即可通過一定的機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)變成儀表指針相對標(biāo)尺起點(diǎn)的位移，指針?biāo)甘镜臉?biāo)尺刻度值就表示了被測量的數(shù)值。偏差式測量簡單、迅速，但精度不高，這種測量方法廣泛應(yīng)用于工程測量中。Ⅱ.零位式測量用已知的標(biāo)準(zhǔn)量去平衡或抵消被測量的作用，并用指零式儀表態(tài)，從而判定被測量值等于已知標(biāo)準(zhǔn)量的方法稱作零位式測量。用天平測量物體的質(zhì)量就是零位式測量的一個簡單例子。用電位差計測量未知電壓也屬于零位式測量，圖l.3.1所示的電路是電位差計的原理性示意圖。圖中E為工作電池的電動勢，在測量前先調(diào)節(jié)RP1，校準(zhǔn)工作電流使其達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)值，接人被測電壓Ux后，調(diào)整電位器RP的活動觸點(diǎn)，改變標(biāo)準(zhǔn)電壓的數(shù)值，使檢流計P回零，達(dá)到A、D兩點(diǎn)等電位，此時標(biāo)準(zhǔn)電壓Uk等于Ux，從電位差計讀取的Uk的數(shù)值就表示了被測未知電壓Ux。

在零位式測量中，標(biāo)準(zhǔn)量具處于測量系統(tǒng)中，它提供一個可調(diào)節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)量，被測量能夠直接與標(biāo)準(zhǔn)量相比較，十測量誤差主要取決于標(biāo)準(zhǔn)量具的誤差。因此，可獲得比較高的測量精度。另外，示零機(jī)構(gòu)越靈敏，平衡的判斷越準(zhǔn)確，愈有利于提高測量精度。但是這種方法需要平衡操作，測量過程較復(fù)雜，花費(fèi)時間長，即使采用自動平衡操作，反應(yīng)速度也受到限制，因此只能適用于變化緩慢的被測量，而不適于變化較快的被測量。

Ⅲ.微差式測量這是綜合零位式測量和偏差式測量的優(yōu)點(diǎn)而提出的一種測量方法，基本思路是將被測量x的大部分作用先與已知標(biāo)準(zhǔn)量N的作用相抵消，剩余部分即兩者差值△＝x—N，這個差值再用偏差法測量。微差式測量中，總是設(shè)法使差值△很小，因此可選用高靈敏度的偏差式儀表測量之。即使差值的測量精度不高，但最終結(jié)果仍可達(dá)到較高的精度。例如，測定穩(wěn)壓電源輸出電壓隨負(fù)載電阻變化的情況時，輸出電壓認(rèn)可表示為U0可表示U0=U+△U，其中△U是負(fù)載電阻變化所引起的輸出電壓變化量，相對U來講為一小量。如果采用偏差法測量，儀表必須有較大量程以滿足U0的要求，因此對△U，這個小量造成的U0的變化就很難測準(zhǔn)。當(dāng)然，可以改用零位式測量，但最好的方法是如圖1.3.2所示的微差式測量。

圖中使用了高靈敏度電壓表——毫伏表和電位差計，Rr和E分別表示穩(wěn)壓電源的內(nèi)阻和電動勢，凡表示穩(wěn)壓電源的負(fù)載，E1、R1和Rw表示電位差計的參數(shù)。在測量前調(diào)整風(fēng)R1使電位差計工作電流I1為標(biāo)準(zhǔn)值。然后，使穩(wěn)壓電源負(fù)載電阻R1為額定值。調(diào)整RP的活動觸點(diǎn)，使毫伏表指示為零，這相當(dāng)于事先用零位式測量出額定輸出電壓U。正式測量開始后，只需增加或減小負(fù)載電阻RL的值，負(fù)載變動所引起的穩(wěn)壓電源輸出電壓U0的微小波動值△U，即可由毫伏表指示出來。根據(jù)U0=U+△U，穩(wěn)壓電源輸出電壓在各種負(fù)載下的值都可以準(zhǔn)確地測量出來。微差式測量法的優(yōu)點(diǎn)是反應(yīng)速度快，測量精度高，特別適合于在線控制參數(shù)的測量。

1.3.2測量誤差及處理方法在檢測過程中，被測對象、檢測系統(tǒng)、檢測方法和檢測人員都會受到各種變動因素的影響。而且，對被測量的轉(zhuǎn)換，有時也會改變被測對象原有的狀態(tài)。這就造成了檢測結(jié)果和被測量的客觀真值之間存在一定的差別。這個差值稱為測量誤差。誤差公理告訴我們：任何實(shí)驗(yàn)結(jié)果都是有誤差的，誤差自始至終存在于一切科學(xué)實(shí)驗(yàn)和測量之中，被測量的真值是永遠(yuǎn)難以得到的。盡管如此，我們?nèi)匀豢梢栽O(shè)法改進(jìn)檢測工具和實(shí)驗(yàn)手段，并通過對檢測數(shù)據(jù)的誤差分析和處理，使測量誤差處在允許的范圍之內(nèi)?；蛘哒f，達(dá)到一定的測量精度。這樣的測量結(jié)果就被認(rèn)為是合理的，可信的。測量誤差的主要來源可以概括為工具誤差、環(huán)境誤差、方法誤差和人員誤差等。在分析測量誤差時，人們采用的被測量真值是指在確定的時間、地點(diǎn)和狀態(tài)下，被測量所表現(xiàn)出來的實(shí)際大小。一般來說，真值是未知的，所以誤差也是未知的。但有些值可以作為真值來使用。例如理論真值，它是理論設(shè)計和理論公式的表達(dá)值。還有計量學(xué)約定真值，它是由國際計量學(xué)大會確定的長度、質(zhì)量、時間等基本單位。另外，考慮到多級計量網(wǎng)中計量標(biāo)準(zhǔn)的傳遞，高一級標(biāo)準(zhǔn)器的量值也可以作為相對真值。為了便于對誤差進(jìn)行分析和處理，人們通常把測量誤差從不同角度進(jìn)行分類。按照誤差的表示方法可以分為絕對誤差和相對誤差；按照誤差出現(xiàn)的規(guī)律，可以分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差；按照被測量與時間的關(guān)系，可以分為靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差等。

1.3.2.1絕對誤差與相對誤差1)絕對誤差絕對誤差是儀表的指示值x與被測量的真值x0之間的差值，記做δ(1-3-2)絕對誤差有符號和單位，它的單位與被測量相同。引入絕對誤差后，被測量真值可以表示為(1-3-2)式中，c=-δ，稱為修正值或校正量，它與絕對誤差的數(shù)值相等，但符號相反。含有誤差的指示值加上修正值之后，可以消除誤差的影響，在計量工作中，通常采用加修正值的方法來保證測量值的準(zhǔn)確可靠，儀表送上級計量部門檢定，其主要目的就是獲得一個準(zhǔn)確的修正值。例如，得到一個指示值修正表或修正曲線。絕對誤差愈小，說明指示值愈接近真值戶測量精度愈高。但這一結(jié)論只適用于被測量值相同的情況，而不能說明不同值的測量精度。例如，某測量長度：的儀器；測量10mm的長度，絕對誤差為0.001mm。另一儀器測量200mm長度，誤差為0.01mm；這就很難按絕對誤差的大小來判斷測量精度高低了，這是因?yàn)楹笳叩慕^對誤差雖然比前者大，但它相對于被測量的值卻顯得較小。為此，人們引入了相對誤差的概念。

2)相對誤差相對誤差是儀表指示值的絕對誤差δ與被測量真值x0的比值，常用百分?jǐn)?shù)表示，即(1-3-3)相對誤差比絕對誤差能更好地說明測量的精確程度。在上面的例子中

顯然，后一種長度測量儀表更精確。在實(shí)際測量中，由于被測量真值是未知的，而指示值又很接近真值。因此，可以用指示值x代替真值x0來計算相對誤差。使用相對誤差采評定測量精度，也有局限性。它只能說明不同測量結(jié)果的準(zhǔn)確程度，但不適用于衡量測量儀表本身的質(zhì)量。因?yàn)橥慌_儀表在整個測量范圍內(nèi)的相對誤差不是定值。隨著被測量的減小相對誤差變大。為了更合理地評價儀表質(zhì)量；采用了引用誤差的概念。引用誤差是絕對誤差與儀表量程上的比值；通常以百分?jǐn)?shù)表示。引用誤差

(1-3-4)

如果以測量儀表整個量程中，可能出、現(xiàn)的絕對誤差最大值δm代替δ，則可得到最大引用誤差。(1-3-5)對一臺確定的儀表或一個檢測系統(tǒng)，最大引用誤差就是一個定值。測量儀表一般采用最大引用誤差不能超過的允許值作為劃分精度等級的尺度。工業(yè)儀表常見的精度等級有0.1級，0.2級，0.5級，1.0級，1.5級，2.0級，2.5級，5.0級。精度密度和精確度等級為1.0的儀表，在使用時它的最大引用誤差不超過1.0％，也就是說，在整個量程內(nèi)它的絕對誤差最大值不會超過其量程的1％。在具體測量某個量值時，相對誤差可以根據(jù)精度等級所確定的最大絕對誤差和儀表指示值進(jìn)行計算。顯然，精度等級已知的測量儀表只有在被測量值接近滿量程時，才能發(fā)揮它的測量精度。因此，使用測量儀表時，應(yīng)當(dāng)根據(jù)被測量的大小和測量精度要求，·合理地選擇儀表量程和精度等級，只有這樣才能提高測量精度。

1.3.2.2系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差1)系統(tǒng)誤差在相同的條件下，多次重復(fù)測量同一量時，誤差的大小和符號保持不變，或按照一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。其誤差的數(shù)值和符號不變的稱為恒值系統(tǒng)誤差。反之，稱為變值系統(tǒng)誤差。變值系統(tǒng)誤差又可分為累進(jìn)性的、周期性的和按復(fù)雜規(guī)律變化的幾種類型。檢測裝置本身性能不完善、測量方法不完善、測量者對儀器使用不當(dāng)、環(huán)境條件的變化等原因都可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。例如，某儀表刻度盤分度不準(zhǔn)確，就會造成讀數(shù)偏大或偏小，從前產(chǎn)生恒值系統(tǒng)誤差。溫度、氣壓等環(huán)境條件的變化和儀表電池電壓隨使用時間的增長而逐漸下降，則可能產(chǎn)生變值系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是可以通過實(shí)驗(yàn)或分析的方法，查明其變化規(guī)律和產(chǎn)生原因，通過對測量值的修正，或者采取一定的預(yù)防措施，就能夠消除或減少它對測量結(jié)果的影響。系統(tǒng)誤差的大小表明測量結(jié)果的正確度。它說明測量結(jié)果相對真值有一恒定誤差，或者存在著按確定規(guī)律變化的誤差。系統(tǒng)誤差愈小，則測量結(jié)果的正確度愈高。2)隨機(jī)誤差在相同條件下，多次測量同一量時，其誤差的大小和符號以不可預(yù)見的方式變化，這種誤差稱為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差是測量過程中，許多獨(dú)立的、微小的，偶然的因素引起的綜合結(jié)果。在任何一次測量中，只要靈敏度足夠高，隨機(jī)誤差總是不可避免的。而且在同一條件下，重復(fù)進(jìn)行的多次測量中，它或大或小，或正或負(fù)，既不能用實(shí)驗(yàn)方法消除，也不能修正。但是，利用概率論的一些理論和統(tǒng)計學(xué)的一些方法，可以掌握看似毫無規(guī)律的隨機(jī)誤差的分布特性，確定隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的影響。隨機(jī)誤差的大小表明測量結(jié)果重復(fù)一致的程度，即測量結(jié)果的分散性。通常，用精密度表示隨機(jī)誤差的大小。隨機(jī)誤差大，測量結(jié)果分散，精密度低。反之，測量結(jié)果的重復(fù)性好，精密度高。精確度是測量的正確度和精密度的綜合反映。精確度高意味羞系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都很小。精確度有時簡稱為精度。圖1-8形象地說明了系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的影響，也說明了正確度、精密度和精確度的含意。

圖1.3.3a的系統(tǒng)誤差較小，正確度較高。但隨機(jī)誤差較大，精密度低。圖I.3.3b的系統(tǒng)誤差大，正確度較差。但隨機(jī)誤差小，精密度較高。圖l.3.3c的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都較小，即正確度和精密度都較高。因此精確度高。顯然，一切測量都應(yīng)當(dāng)力求精密而又正確。

1.3.2.3系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的關(guān)系雖然，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的性質(zhì)不同，但兩者并不是完全彼此孤立的。它們總是同時出現(xiàn)并對測量結(jié)果產(chǎn)生影響。實(shí)際上，很難把它們嚴(yán)格區(qū)分開來。人們一方面可以把難于完全掌握或過于復(fù)雜的系統(tǒng)誤差當(dāng)作隨機(jī)誤差來處理。另一方面，對某些隨機(jī)誤差的來源和變化規(guī)律有了更深入的了解后，就可以把它看成是系統(tǒng)誤差而加以修更或預(yù)防。由于在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差一般都同時存在。所以按其對測量結(jié)果的影響程度分三種情況處理：系統(tǒng)誤差遠(yuǎn)大于隨機(jī)誤差的，基本上按純系統(tǒng)誤差處理；系統(tǒng)誤差很小或已經(jīng)修正時，可按純隨機(jī)誤差處理：系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差影響差不多時，二者均不可忽略，應(yīng)分別按不同方法處理。1.3.2.4粗大誤差明顯歪曲測量結(jié)果的誤差稱作粗大誤差，又稱過失誤差山粗大誤差主要晶人為因素造成的。例如，測量人員工作時疏忽大意，出現(xiàn)了讀數(shù)錯誤、記錄錯誤、計算錯誤或操作不當(dāng)?shù)?。另外，測量方法不恰當(dāng)，測量條件意外的突然變化，也可能造成粗大誤差。含有粗大誤差的測量值稱為壞值或異常值。壞值應(yīng)從測量結(jié)果中剔除。在實(shí)際測量工作中，由于粗大誤差的誤差數(shù)值特別大，。容易從測量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，一經(jīng)發(fā)現(xiàn)有粗大誤差，可以認(rèn)為該次測量無效，測量數(shù)據(jù)應(yīng)剔除，從而消除它對測量結(jié)果的影響。壞值剔除后，正確的測量結(jié)果中不包含粗大誤差。因此廠；要分析處理的誤差只有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩種。1.3.3隨機(jī)誤差的處理方法1.3.3.1概率、概率密度與正態(tài)分布自然界中，某一事件或現(xiàn)象出現(xiàn)的客觀可能性大小，通常用概率來表示?？陀^的必然現(xiàn)象稱為必然事件。例如，平面三角形內(nèi)角和為180°，就是一個必然事件。必然事件的概率為1。違反客觀實(shí)際的不可能出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為不可能事件，不可能事件的概率為零?？陀^上可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)，而且不能預(yù)測的現(xiàn)象稱為隨機(jī)事件或隨機(jī)現(xiàn)象。它具，有一定的概率，且概率在0和1之間。例如，拋擲硬幣，出現(xiàn)正面朝上或反面朝上的現(xiàn)象，即為一隨機(jī)事件。當(dāng)拋擲次數(shù)無限加多時，大量的實(shí)驗(yàn)證明，它們的概率接近0.5。在研究隨機(jī)事件的統(tǒng)計規(guī)律時，概率是一個重要的概念。它是隨機(jī)事件統(tǒng)計規(guī)律性的表現(xiàn)，是隨機(jī)事件的固有特性。同時，也應(yīng)當(dāng)注意到概率是個統(tǒng)計概念，只有在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，對整體而言才有意義。在相同的條件下，對某個量重復(fù)進(jìn)行多次測量，在排除系統(tǒng)誤差和粗大誤差之后，測量結(jié)果的隨機(jī)誤差在某個范圍內(nèi)取值的可能性，就是一個隨機(jī)事件的統(tǒng)計概率問題。下面是一組無系統(tǒng)誤差和粗大誤差的獨(dú)立的等精度長度測量結(jié)果。用長300mm的鋼板尺，測量已知長度為：836mm的導(dǎo)線，共測量了150次，即n=150?，F(xiàn)將測量結(jié)果，對應(yīng)的誤差，各誤差出現(xiàn)的次數(shù)ni等列于表1-1中。

表1-1測量誤差分布表

測量區(qū)間中心值誤差區(qū)間中心值出現(xiàn)次數(shù)頻率區(qū)間號

xi(mm)δi(mm)nini/n(%)1831-510.662832-432.003833-385.334834-21812.005835-12818.666836+03422.667837+12919.338838+21711.339839+396.0010840+421.3211841+510.66為了便于統(tǒng)計，在這里我們將測量結(jié)果分成了11個區(qū)間，區(qū)間長度。因此，測量誤差也相應(yīng)的被分成11個區(qū)間，誤差區(qū)間長度。表1—1中還列出根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果計算得到的頻率(ni/n)的數(shù)值。它表示測量值或隨機(jī)誤差落在某個區(qū)間的相對次數(shù)。

在直角坐標(biāo)圖上，以頻率(ni/n)為縱坐標(biāo)，以隨機(jī)誤差i為橫坐標(biāo)，畫出它們的關(guān)系曲線，得到頻率直方圖，或稱統(tǒng)計直方圖。如圖1.3.4所示。

如果改變區(qū)間長度的取值，相應(yīng)的頻率值(ni/n)也會發(fā)生變化，對同一組測量數(shù)據(jù)，頻率直方圖將不相同。如果這個量作為縱坐標(biāo)，就可以避免這個問題。當(dāng)測量次數(shù)時，令，無限多個直方圖中，頂點(diǎn)的連線就形成一條光滑的連續(xù)曲線，這條曲線稱為隨機(jī)誤差正態(tài)分布曲線。

此時，的極限稱為概率密度。即(1-3-6)的圖形如圖1.3.5所示。顯然，曲線下陰影部分的面積等于

它表示隨機(jī)誤差值落在圖中所示d古的微小區(qū)間內(nèi)的概率。

1.3.3.2隨機(jī)誤差的特點(diǎn)根據(jù)表1-1-1。給出的測量結(jié)果和圖1—10隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線，可以得到隨機(jī)誤差正態(tài)分布的特性：I.對稱性隨機(jī)誤差可正可負(fù)，但絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等。也就是說曲線對稱于縱軸。II.

有界性在一定測量條件下，隨機(jī)誤差的絕對值不會超過一定的范圍，即絕對值很大的隨機(jī)誤差幾乎不出現(xiàn)。III.抵償性在相同條件下，當(dāng)測量次數(shù)時，全體隨機(jī)誤差的代數(shù)和等于零，即。Ⅳ.單峰性

絕對值小的隨機(jī)誤差比絕對值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的機(jī)會多，即前者比后者的概率密度大，在處隨機(jī)誤差概率密度有最大值。

1.3.3.3算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差我們可以用解析的方法推導(dǎo)出隨機(jī)誤差正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即正態(tài)概率密度分布函數(shù)。(1-3-7)式(1-1)稱為高斯誤差方程。式中是方均根誤差，或稱標(biāo)準(zhǔn)誤差。標(biāo)準(zhǔn)誤差可由下式求得(1-3-8)

計算時，必需已知真值x0，并且需要進(jìn)行無限多次等精度重復(fù)測量。這顯然是很難做到的。根據(jù)長期的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，人們公認(rèn)，一組等精度的重復(fù)測量值的算術(shù)平均值最接近被測量的真值，而算術(shù)平均值很容易根據(jù)測量結(jié)果求得，即(1-3-9)

因此，可以利用算術(shù)平均值代替真值x0，來計算式(1-2)中的。此時，式(1-2)中的=xi-x0，就可以改換成。稱為剩余誤差。剩余誤差的特點(diǎn)是，不論n為何值，總有(1-3-10)由此，我們可以看到，采用由n個測量值計算出的算術(shù)平均值和這n個測量值，計算出(n-1)個剩余誤差后，余下的第n個剩余誤差就不再是獨(dú)立的了，它可由式(1-4)確定。也就是說，雖然我們可以求得n個剩余誤差，但實(shí)際上它們之中只有(n-1)個是獨(dú)立的：考慮到這一點(diǎn)，測量次數(shù)n為有限值時，標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計值可由下式計算式(1-3-11)稱為貝塞爾公式。在一般情況下，我們對和并不加以嚴(yán)格區(qū)分，統(tǒng)稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差。標(biāo)準(zhǔn)誤差在評價正態(tài)分布的隨機(jī)誤差時具有特殊的意義。理論計算表明：I.

介于(-，+)之間的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為II.

介于(-2，+)之間的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為隨機(jī)誤差出現(xiàn)在此區(qū)間之外的概率為1--0.9545＝0.0455＝4.55％。III.

介于(-3，+3)之間的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為而出現(xiàn)在此區(qū)間之外的概率僅為l-0.9973＝0.0027<0.3％。因此，在1000次等精度測量中，只可能有3次隨機(jī)誤差超過(-3，+3)區(qū)間，實(shí)際上可以認(rèn)為這種情況很難發(fā)生。上述結(jié)論說明，標(biāo)準(zhǔn)誤差的大小可以表示測量結(jié)果的分散程度。圖l.3.6給出不同值的三條正態(tài)分布曲線。由此可見，值愈小，則分布曲線愈尖銳。也就是說，測量結(jié)果的分散性較小。因此，小說明測量的精密度高。對值大的分布曲線可以得到相反的結(jié)論。

但是，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，標(biāo)準(zhǔn)誤差并不是某次測量的具體誤差。各次測量的具體誤差可大可小，可正可負(fù)，完全是隨機(jī)的，具體誤差恰好等于的可能性極小。然而，我們可以通過在一定測量條件下，進(jìn)行一系列等精度測量，確定出標(biāo)準(zhǔn)誤差的值，以此說明隨機(jī)誤差概率密度的分布情況，并作為評價測量結(jié)果的精密度的指標(biāo)。

同一條件下的多次測量是用算術(shù)平均值；作為測量結(jié)果的，即取作為被測量的真值。我們可以在相同—的條件下，對被測量進(jìn)行組測量，每組測量n次，對各組測量值都可以求出相應(yīng)的算術(shù)平均值，由于存在隨機(jī)誤差，這些算術(shù)平均值也不會完全相同，它們圍繞被測量真值也有一定的分散性。為此，引入了算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差作為評價分散性的指標(biāo)，理論計算證明(1-3-12)此式說明，n次等精度測量中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差是測量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差的倍，一般測量時取n=5～10次即可。1.3.3.4測量結(jié)果的置信度和測量結(jié)果的正確表示在消除系統(tǒng)誤差的前提下，通過一系列等精度測量，用測得的數(shù)據(jù)求得標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計值后，即可根據(jù)式(1-1)給出的概率密度分布函數(shù)，通過積分運(yùn)算，求出隨機(jī)誤差落在指定區(qū)間[-a,+a]內(nèi)的概率值，從而預(yù)計測量值出現(xiàn)在[x0-a,x0+a]區(qū)間內(nèi)的概率；當(dāng)隨機(jī)誤差

出現(xiàn)在某一指定區(qū)間內(nèi)概率足夠大時，該測量誤差的估計值就具有較大的可信度。此時，測

量值落在[x0-a,x0+a]區(qū)間內(nèi)的可信度也較大。上述[-a,+a]區(qū)間就叫置信區(qū)間。相應(yīng)的概率值叫做置信概率。置信區(qū)間和置信概率結(jié)合起來表明測量的置信度。為正確表示測量結(jié)果，通常使置信區(qū)間取標(biāo)準(zhǔn)誤差的整數(shù)倍，此倍數(shù)稱為置信系數(shù)。適當(dāng)確定置信系數(shù)，測量結(jié)果就可以有較高的置信概率。對n次等精度測量，在無系統(tǒng)誤差和粗大誤差的情況下，它的測量結(jié)果，即被測量的真值，可以用算術(shù)平均值表示如下

(1-3-13)上式表明，算術(shù)平均值與真值的誤差落在置信區(qū)間土2s內(nèi)的置信概率為95％。當(dāng)取K=3時，置信區(qū)間為土3s，置信概率為99.7％。在上述n次等精度測量中，測量結(jié)果的極限范圍xm可用下式表示(1-3-14)當(dāng)K=2時，測量結(jié)果出現(xiàn)在式(1-3-14)所確定的極限范圍內(nèi)的概率為95.4％。當(dāng)K＝3時，其概率為99.7％。如果以單次測量值來表示測量結(jié)果，則有(1-3-15)取置信系數(shù)K為2或3時，置信區(qū)間分別為土2σ和士3σ，置信概率則分別為95.4％和99.7％。對一臺已知精度等級的測量儀器，在沒有系統(tǒng)誤差和粗大誤差的條件下，用此儀器進(jìn)行單次測量時，式(1-3-15)就是測量結(jié)果的正確表示方法。此時由儀表精度等級和儀表量程可確定出絕對誤差最大值，它相當(dāng)于隨機(jī)誤差極限值2σ或3σ。

1.3.3.5粗大誤差的判別與壞值的舍棄在重復(fù)測量得到的一系列測量值中，如果混有包含粗大誤差的杯值，必然會歪曲測量結(jié)果。因此，必須剔除壞值后，才可進(jìn)行有關(guān)的數(shù)據(jù)處理，從而得到符合客觀情況的測量結(jié)果。但是，也應(yīng)當(dāng)防止無根據(jù)的隨意丟掉一些誤差大的測量值。對懷疑為壞值的數(shù)據(jù)，應(yīng)當(dāng)加以分析，盡可能找出產(chǎn)生壞值的明確原因，然后再決定取舍。統(tǒng)計判別法的準(zhǔn)則很多，在這里我們介紹拉依達(dá)準(zhǔn)則(3σ準(zhǔn)則)。設(shè)對被測量進(jìn)行等精度測量，獨(dú)立得到x1，x2，…，xn，算出其算術(shù)平均值及剩余誤差vi=xi-(i=1,2,…,n)，并按貝塞爾公式算出標(biāo)準(zhǔn)誤差σ，若某個測量值xb的剩余誤差vb(1≤b≤n)滿足下式(1-3-16)則認(rèn)為xb是含有粗大誤差的壞值，應(yīng)予剔除。使用此準(zhǔn)則時應(yīng)當(dāng)注意，在計算、vi和σ時，應(yīng)當(dāng)使用包含壞值在內(nèi)的所有測量值。按照式(1—10)剔除壞值后，應(yīng)重新計算和σ，再用拉依達(dá)準(zhǔn)則檢驗(yàn)現(xiàn)有的測量值，看有無新的壞值出現(xiàn)。重復(fù)進(jìn)行，直到檢查不出新的壞值時為止。此時，所有測量值的剩余誤差均在土3σ范圍之內(nèi)。拉依達(dá)準(zhǔn)則簡便，易于使用，因此得到廣泛應(yīng)用。但它是在重復(fù)測量次數(shù)n→∞的前提下建立的，當(dāng)n有限，特別是n較小時，此準(zhǔn)則并不可靠。此時可采用其它統(tǒng)計判別準(zhǔn)則。這里不再一一介紹，請讀者查閱有關(guān)著作。

1.3.4系統(tǒng)誤差的消除方法

在測量結(jié)果中，二般都含有系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。我們可以采用3σ準(zhǔn)則，剔除含有粗大誤差的壞值，：從而消除粗大誤差對測量結(jié)果的影響。雖然隨機(jī)誤差是不可能消除的，但我們可以通過多次重復(fù)測量，利用統(tǒng)計分析的方法估算出隨機(jī)誤差的取值范圍。對于系統(tǒng)誤差，盡管它的取值固定或按一定規(guī)律變化，但往往不易從測量結(jié)果中發(fā)現(xiàn)它的存在和認(rèn)識它的規(guī)律，也不可能象對待隨機(jī)誤差那樣，用統(tǒng)計分析的方法確定它的存在和影響，而只能針對具體情況采取不同的處理措施，對此沒有普遍適用的處理方法?？傊?，系統(tǒng)誤差雖然，是有規(guī)律的，但實(shí)際處理起來往往比無規(guī)則的隨機(jī)誤差困難得多。對系統(tǒng)誤差的處理是否得當(dāng)，很大程度上取決于測量者的知識水平、工作經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)技巧。

為了盡力減小或消除系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響，可以從二個方面人手。首先，在測量之前，必須盡可能預(yù)見一切可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來源，并設(shè)法消除它們或盡量減弱其影響。例如，測量前對儀器本身性能進(jìn)行檢查，必要時送計量部門檢定，取得修正曲線或表格；使儀器的環(huán)境條件和安裝位置符合技術(shù)要求的規(guī)定；對儀器在使用前進(jìn)行正確的調(diào)整；嚴(yán)格檢查和分析測量方法是否正確毓，其次，在實(shí)際測量中，采用一些有效的測量方法，來消除或減小系統(tǒng)誤差。下面介紹幾種常用的方法。1.3.4.1交換法在測量中，將引起系統(tǒng)誤差的某些條件(如被測量的位置等)相互交換，而保持其它條件不變，使產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素對測量結(jié)果起相反的作用，從而抵消系統(tǒng)誤差。例如，以等臂天平稱量時，由于天平左右兩臂長的微小差別，會引起稱量的恒值系統(tǒng)誤差。如果被稱物與砝碼在天平左右稱盤上交換，稱量兩次，取兩次測量平均值作為被稱物的質(zhì)量，這時測量結(jié)果中就含有因天平不等臂引起的系統(tǒng)誤差。1.3.4.2抵消法改變測量中的某些條件(如測量方向)，使前后兩次測量結(jié)果的誤差符號相反，取其平均值以消除系統(tǒng)誤差。例如，千分卡有空行程，即螺旋旋轉(zhuǎn)時，刻度變化，量桿不動，在檢定部位產(chǎn)生系統(tǒng)誤差。為此，可從正反兩個旋轉(zhuǎn)方向?qū)€，順時針對準(zhǔn)標(biāo)志線讀數(shù)為d，不含系統(tǒng)誤差時值為a，空行程引起系統(tǒng)誤差ε，則有d=a+ε；第二次逆時針旋轉(zhuǎn)對準(zhǔn)標(biāo)志線、讀數(shù)d．，則有d．=a-ε，于是正確值a=(d+d)/2，正確值a中不再含有系統(tǒng)誤差。1.3.4.3代替法這種方法是在測量條件不變的情況下，用已知量替換被測量，達(dá)到消除系統(tǒng)誤差的目的。仍以天平為例，如圖1.3.7所示。先使平衡物T與被測物X相平衡，則X=(L1/L2)T；然后取下被測物X，用砝碼P與T達(dá)到平衡，得到P=(L1/L2)T，取砝碼數(shù)值作為測量結(jié)果。由此得到的測量結(jié)果中，同樣不存在因L1、L2不等而帶來的系統(tǒng)誤差。1.3.4.4對稱測量法這種方法用于消除線性變化的系統(tǒng)誤差。下面我們通過利用電位差計和標(biāo)準(zhǔn)電阻RN，精確測量未知電阻Rx的例子來說明對稱測量法的原理和測量過程。如圖1.3.8所示，如果回路電流I恒定不變，只要測出RN和Rx上的電壓UN和Ux，即可得到Rx值Rx=(Ux/UN)RN(1-3-17)但由于UN和Ux的值不是在同一時刻測得的；由于電流I在測量過程中的緩慢下降而引入了線性系統(tǒng)誤差。在這里我們把電流的變化看做是均勻地減小，與時間t

成線性關(guān)系。在t

1、t

2和t

3三個等間隔的時刻，按照Ux、UN、Ux的順序測量。時間間隔為t

2-t

1=t

3-t

2=Δt，相應(yīng)的電流變化量為ε。(1-3-18)解此方程組可得(1-3-19)這樣按照等距測量法得到的Rx值，已不受測量過程中電流變化的影響，消除了因此而產(chǎn)生的線性系統(tǒng)誤差。在上述過程中，由于三次測量時間間隔相等，t2時刻的電流值恰好等于t1、t3時刻電流值的算術(shù)平均值。雖然在t2時刻，我們只測了RN上的電壓U2，但(U1+U3)／2正好相當(dāng)于t2時刻Rx上的電壓。這樣就很自然地消除了電流i線性變化的影響。1.3.4.5補(bǔ)償法在測量過程中，由于某個條件的變化或儀器某個環(huán)節(jié)的非線性特性都可能引入變值系統(tǒng)誤差。此時，可在測量系統(tǒng)中采取補(bǔ)償措施，自動消除系統(tǒng)誤差。例如，熱電偶測溫時，冷端溫度的變化會引起變值系統(tǒng)誤差。在測量系統(tǒng)中采用補(bǔ)償電橋，就可以起到自動補(bǔ)償作用。

1.4電橋電路在測量中的應(yīng)用一般地，被測量是非常微弱的，必須用專門的電路來測量這種微弱的變化，最常用的電路就是各種電橋電路，主要有直流和交