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文檔簡介

通過求積分和的極限來計算定積分一般是很困難的.§2牛頓-萊布尼茨公式

從上節(jié)例題和習(xí)題看到，下面的牛頓——菜布尼茨公式不僅為定積分計算提供了一個有效的方法，而且在理論上把定積分與不定積分聯(lián)系起來.首頁×則f在[a,b]上可積,且存在原函數(shù)F,

定理9.1

若函數(shù)f在[a,b]上連續(xù),即,x∈[a,b],且(1)

這稱為牛頓—菜布尼茨公式,它也常寫成首頁×下面證明滿足如此要求的任給在每個小區(qū)間

證

由定積分定義,要證存在當(dāng)時,有確實(shí)是存在的.事實(shí)上,對于[a,b]的任一分割上對F(x)使用拉格朗日中值定理,則分別存在使得（2）首頁×所以f在[a,b]上可積，且有公式（1）成立.當(dāng)因?yàn)閒在[a,b]上連續(xù),從而一致連續(xù),所以對上述存在∈[a,b]且時，有于是，當(dāng)時，任取便有這就證得首頁×本定理的條件中對F的假設(shè)便是多余的了.（更一般的情形參見本節(jié)習(xí)題第3題.）在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，

注1

在應(yīng)用牛頓一菜布尼茨公式時，F(xiàn)(x)可由積分法求得.注2定理?xiàng)l件可適當(dāng)減弱，例如：1）對F的要求可減弱為：在[a,b]上連續(xù)，且這不影響定理的證明.2）對f的要求可減弱為：在[a,b]上可積（不一定連續(xù)）.

這時(2)式仍成立，且由f在[a,b]上可積，(2)式右邊當(dāng)時的極限就是而左邊恒為一常數(shù).注3至§5證得連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)之后，首頁×例1利用牛頓一菜布尼茨公式計算下列定積分：1）

2）

；3）4）5）首頁×解其中1）—3）即為§1中的例題和習(xí)題，現(xiàn)在用牛頓—菜布尼茨公式來計算就十分方便：1）2）3）首頁×，

（這是圖9-6所示正弦曲線一拱下的面積，其余各題也可作此聯(lián)想.）4）先用不定積分法求出5）的任一原函數(shù)，然后完成定積分計算：首頁×在區(qū)間[0,1]上的一個積分和

為此作如下變形：也可把J看作并轉(zhuǎn)化為計算定積分.

例2

利用定積分求極限：解把此極限式化為某個積分和的極限式，不難看出，其中的和式是函數(shù)（這里所取的是等分分割，

所以當(dāng)然，在[1,2]上定積分，同樣有首頁×然后利用牛頓—菜布尼茨公式計算

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