第四章 平差數(shù)學模型和最小二乘

韋建超湖南科技大學建筑學院誤差理論與測量平差基礎ErrorTheoryandfundationofsurveyingAdjustment測繪工程專業(yè)基礎核心課程測量平差的主要內容測量平差精度評定求平差值評定精度指標方差（陣）權（協(xié)因數(shù)陣）如何計算定義廣義傳播律單位權方差對應權倒數(shù)何謂平差值如何求？第四章：平差數(shù)學模型和最小二乘§1測量平差概述1§2測量平差的數(shù)學模型2§3函數(shù)模型的線性化3§4測量平差的數(shù)學模型4§5最小二乘原理5§1測量平差概述3.函數(shù)模型

要確定一個幾何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就可以了，其它元素可以通過它們之間的函數(shù)描述而確定出來，這種描述所求量與已知量之間的關系式稱為函數(shù)模型。1.幾何模型

在測量工作中，為了確定待定點的高程，需要建立水準網，為了確定待定點的平面坐標，需要建立平面控制網（包括測角網、測邊網、邊角網），我們常把這些網稱為幾何模型。2.幾何量

每種幾何模型都包含有不同的幾何元素，如水準網中包括點的高程、點間的高差，平面網中包含角度、邊長、邊的坐標方位角以及點的二維或三維坐標等元素。這些元素都被稱為幾何量。§1測量平差概述60°60°⑴如圖三角形ABC中，確定的形狀，只需知其中任意兩內角即可。⑵確定其大小和形狀，就必須知道三個不同的元素，即任意的一邊兩角、任意的兩邊一角或者是三邊。60°60°⑶要確定該三角形的大小、形狀和它在一個特定坐標系中的位置和方向，則必須知道圖中15個元素中的6個不同的元素，至少要包含一個點的坐標和一條邊的坐標方位角，這是確定其位置和方向不可缺少的元素，通常稱其為外部配置元素。β§1測量平差概述5.多余觀測個數(shù)

假設對模型中的幾何量總共觀測n個，

n<t,顯然無法確定模型的解；

n=t,則可唯一地確定該模型，但對觀測結果中含有的粗差和錯誤都將無法發(fā)現(xiàn)。

n>t，r=n-t

r稱為多余觀測個數(shù)，表示有r個多余觀測值，在統(tǒng)計學中也叫自由度。4.必要觀測個數(shù)

能夠唯一地確定一個幾何模型所必要的元素，稱為必要觀測元素。必要觀測元素的個數(shù)稱為必要觀測個數(shù)（用t表示）§1測量平差概述n=t=r=n=t=r=633743§1測量平差概述6.條件方程

幾何模型中有r個多余觀測量，因此，一定也存在著r個這樣的函數(shù)關系式。每增加一個多余觀測，在它們中間就必然增加且只增加一個確定的函數(shù)關系式，有多少個多余觀測，就會增加多少個這樣的關系式。這種函數(shù)關系式，在測量平差中稱為條件方程。L1L2L3由此可見：7.平差的概念

求改正數(shù)V消除矛盾產生矛盾多余觀測平差V稱為觀測值的改正數(shù)用“觀測值估值”（平差值、最或是值、最或然值）來代替觀測值約束方程：函數(shù)模型按某一準則求V最佳估值函數(shù)模型平差準則關鍵：§1測量平差概述§2函數(shù)模型函數(shù)模型——函數(shù)模型是描述觀測量與待求量之間的數(shù)學函數(shù)關系的模型。不同的函數(shù)模型，對應不同的平差方法，測量中常用的有：一、條件平差§2函數(shù)模型n=t=r=633函數(shù)模型1§2函數(shù)模型n=t=r=321確定三角形形狀函數(shù)模型2函數(shù)模型1 令A0=[000]函數(shù)模型2條件平差函數(shù)模型一、條件平差條件平差函數(shù)模型§2函數(shù)模型一、條件平差個數(shù)=多余觀測個數(shù)rr個條件式線性無關（獨立）條件式形式不唯一，選最簡形式條件平差函數(shù)模型的特點如同所示水準網，寫出條件平差函數(shù)模型：例：（1）（2）（3）n=t=r=523附有限制條件的條件平差函數(shù)模型§2函數(shù)模型二、附有參數(shù)的條件平差L2L3L1(1)按條件平差列出r個條件方程(2)再增加一個參數(shù)，就增一個條件方程：X1(3)將以上兩式寫成矩陣形式：例：如同所示水準網，A、B高程已知n=t=r=523(1)按條件平差列出r個條件方程為：(2)選C點高程為參數(shù)，增加一個條件方程：(3)寫成矩陣形式為：練習：寫出以D高程作為參數(shù)的附加參數(shù)條件平差函數(shù)模型?！?函數(shù)模型二、附有參數(shù)的條件平差附有參數(shù)的條件平差函數(shù)模型的特點選了參數(shù)，參數(shù)個數(shù)u滿足0＜u＜t函數(shù)模型中方程總數(shù)滿足c=

u+t函數(shù)模型由兩部分組成條件平差的方程含有參數(shù)的條件方程函數(shù)模型的通式為：例：下圖測角網中，A、B為已知點，AC為已知邊，觀測9個角度，按條件平差應列幾個條件方程？4X可見：有時為了某種需要，除了n個被觀測量外，還選了u個費觀測量（稱之為未知數(shù)或參數(shù)）參與平差，其中u<t選擇幾何模型中t個獨立量為平差參數(shù)，將每一個觀測量表達成所選參數(shù)的函數(shù)，共列出r+u=r+t=n個這種函數(shù)關系式；以此作為平差的函數(shù)模型的平差方法稱為間接平差?！?函數(shù)模型三、間接平差（參數(shù)平差）n=t=r=321（1）選（2）將每一觀測量表的為所選參數(shù)的函數(shù)§2函數(shù)模型三、間接平差（參數(shù)平差）（2）將每一觀測量表的為所選參數(shù)的函數(shù)一般形式間接平差函數(shù)模型§2函數(shù)模型三、間接平差（參數(shù)平差）列觀測方程前需先選參數(shù)，且參數(shù)個數(shù)等于必要觀測數(shù)t；t個參數(shù)獨立；觀測方程個數(shù)等于觀測值個數(shù)n；一般表達式為：在測量控制網中，常采用待定點的坐標、高程等參數(shù)為平差參數(shù)建立觀測方程。間接平差函數(shù)模型的特點（1）確定t=3,故需選3個參數(shù)（2）選網中三個待定點高程為平差參數(shù)例：（3）列n=6個觀測方程：例：（1）確定t=2,故需選2個參數(shù)（2）選網中D、C點高程為平差參數(shù)（3）列n=5個觀測方程：例：已知距離測量如下圖，分別列出條件平差和間接平差的函數(shù)模型：§2函數(shù)模型條件平差的函數(shù)模型間接平差的函數(shù)模型已知點：A、B觀測值：h1~h4選HP1=選HP2=間接平差的函數(shù)模型為條件平差的函數(shù)模型為§2函數(shù)模型四、附有限制條件的間接平差t=2,按間接平差，應選2個參數(shù)選u=t+1=3個參數(shù)，多選了s=u-t個參數(shù)3個參數(shù)不再獨立，有約束條件：間接平差的函數(shù)模型為：§2函數(shù)模型四、附有限制條件的間接平差函數(shù)模型特點特殊的間接平差，仍要選參數(shù)，但參數(shù)個數(shù)u>t;多選參數(shù)的個數(shù)s=u-t,并造成函數(shù)不獨立，產生約束函數(shù)，個數(shù)為s，仍要選參數(shù)，但參數(shù)個數(shù)u>t;函數(shù)模型的構成：間接平差的觀測方程：參數(shù)之間的觀測方程：函數(shù)模型通式：函數(shù)模型的個數(shù)：n+(u-t)=n+s附有參數(shù)的條件平差與附有條件的間接平差函數(shù)模型比較函數(shù)模型通式：§2函數(shù)模型四種平差方法與參數(shù)的關系以及函數(shù)模型的一般式參數(shù)個數(shù)平差方法函數(shù)模型一般式u=0條件平差u=t間接平差0<u<t附有參數(shù)的條件平差u>t附有限制條件的間接平差§2函數(shù)模型§2函數(shù)模型§2函數(shù)模型五、附有限制條件的條件平差（概括函數(shù)模型）找一種能概括前面4種平差模型的函數(shù)模型則上述4種平差模型是概括模型的特列參數(shù)個數(shù)參數(shù)獨立部分參數(shù)不獨立u=0u=tu<tu>t概括函數(shù)模型與各種平差方法函數(shù)模型的關系§2函數(shù)模型條件平差間接平差附有參數(shù)的條件平差附有限制條件的條件平差附有限制條件的條件平差附有限制條件的間接平差附有限制條件的條件平差§3函數(shù)模型的線性化在各種平差中，所列函數(shù)模型有線性的，也有非線性的；在平差計算時，常將非線性方程轉成線性方程，即：非線性函數(shù)模型的線性化線性化的方法用泰勒級數(shù)公式展開，并取自一次項，二次以及更高次項均舍去§3函數(shù)模型的線性化非線性函數(shù)模型按泰勒級數(shù)公式展開過程§3函數(shù)模型的線性化非線性函數(shù)模型按泰勒級數(shù)公式展開過程（續(xù)）則函數(shù)的線性形式為：§3函數(shù)模型的線性化根據函數(shù)線性化過程，容易得到條件平差法附有參數(shù)條件的條件平差法間接平差法附有條件的間接平差法§3函數(shù)模型的線性化在實踐中：即：v稱為△的估值；x稱為x的估值：^~§3函數(shù)模型的線性化例：將非線性條件式線性化解：即：§3函數(shù)模型的線性化42§4測量平差的數(shù)學模型測量平差的數(shù)學模型包括：函數(shù)模型和隨機模型§4測量平差的數(shù)學模型L1L2L3例：為確定三角形的形狀，等精度獨立觀測三角形的三個內角,觀測值方差為σ2，則：函數(shù)模型：隨機模型：§5最小二乘估計測量平差就是對平差函數(shù)模型的參數(shù)進行估計在眾多的解中，找出一個最為合理的解，作為平差參數(shù)的最終估計需要對估計值提出某種需求（附加約束條件），來得到最優(yōu)估計值§5最小二乘估計參數(shù)估計如下圖按條件平差測量平差中的參數(shù)估計：在眾多的解中，找出一個最合理的解，最為平差參數(shù)的最終估計?！?最小二乘估計同樣是：在眾多的解中，找出一個最合理的解，最為平差參數(shù)的最終估計?！?最小二乘估計為了在眾多的解中，找出一個最合理的解，需要對最終估計值提出某種要求：考慮平差所處理的是隨機觀測值，故這種要求自然從數(shù)理統(tǒng)計觀點去需求，即參數(shù)估計要具有最優(yōu)統(tǒng)計性質；對平差數(shù)學模型附加約束，實現(xiàn)滿足最優(yōu)性質的參數(shù)唯一解；這種約束是用某種準則實現(xiàn)的