BB81二重積分概念

主講教師:王升瑞高等數(shù)學(xué)第二十二講1第八章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分重積分與曲線積分2三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性二重積分的概念和性質(zhì)第八章3柱體體積=底面積×高特點：平頂.柱體體積=？特點：曲頂.１．曲頂柱體的體積問題的提出4求曲邊梯形面積的解題步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個分點用直線將曲邊梯形分成n

個小曲邊梯形;2)

常代變.在第i

個窄曲邊梯形上任取窄曲邊梯形面積得3)近似和.4)取極限.5解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域d頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂詃

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”61)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分d為n個區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個2)“常代變”在每個3)“近似和”則中任取一點小曲頂柱體74)“取極限”令82.平面薄片的質(zhì)量

有一個平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

d,計算該薄片的質(zhì)量m.度為設(shè)d的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分d為n個小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.92)“常代變”中任取一點3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質(zhì)量10兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:11二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域d

任意分成n

個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)i,使可積,在d上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域d上的有界函數(shù),12引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在d上可積,也常二重積分記作這時分區(qū)域d,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃記作13關(guān)于二重積分定義的幾點說明:1、二重積分的值與d域的分法及的取法無關(guān)。2、二重積分是個極限值，是個數(shù)值。其大小只與及d有關(guān)而與積分變量的記號無關(guān)。3、對d的分割是任意的，若用平行于坐標(biāo)軸的直線段來劃分d,那么除了靠邊的一些小區(qū)域外，絕大部分的小區(qū)域都是矩形的，由于靠邊的小區(qū)域不作計較。14二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在d上可積.限個點或有限個光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域d上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域d

上除去有例如,在d:上二重積分存在;在d上二重積分不存在.15上方的體積－下方的體積。二重積分的幾何意義16三、二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))為d的面積,則（共8個）17特別,由于則5.若在d上6.（二重積分的估值定理）d的面積為,則有設(shè)187.(二重積分的中值定理)證:由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點在閉區(qū)域d上為d的面積,則至少存在一點使使連續(xù),因此此性質(zhì)的幾何意義是：總可以在d內(nèi)找到一點使得以d為底為曲頂?shù)那斨w的體積等于以d為底，為高的平頂柱體體積。198.設(shè)函數(shù)d位于x軸上方的部分為d1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時,仍在d上在閉區(qū)域上連續(xù),域d關(guān)于x軸對稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有20例1.

比較下列積分的大小:其中解:

積分域d的邊界為圓周它與x軸交于點(1,0),而域d位從而于直線的上方,故在d上21例2.估計下列積分之值解:

d

的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96i2d1、222.其中d

為解:被積函數(shù)d的面積的最大值的最小值233、解：先