第七章 正弦穩(wěn)態(tài)分析

第七章正弦穩(wěn)態(tài)分析上海交通大學本科學位課程

2003年9月

在正弦信號激勵下電路的穩(wěn)態(tài)響應是電路理論中的重要課題，這是因為正弦信號比較容易產生和獲得，在科學研究和工程技術中，許多電氣設備和儀器都是以正弦波為基本信號的。

根據富里葉級數和富里葉積分的數學理論，周期信號都能夠分解為一系列正弦信號的迭加。利用線性電路的迭加性，可以把正弦穩(wěn)態(tài)分析的方法推廣到非正弦周期信號激勵的線性電路中去。因此也可以說，知道了正弦穩(wěn)態(tài)響應后，原則上就知道了任何周期信號激勵下的響應。正弦量和相量

隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓和電流，稱正弦電壓和正弦電流。y(t)=Amsin(t+)

Am最大值，角頻率，初相位,(-180＜＜180)若正弦量為電流i(t)，則i(t)=Imsin(t+)其中Im是正弦電流最大值，I是正弦電流有效值。

最大值，角頻率，初相位為正弦量的三要素。三要素確定后，正弦量就被唯一確定。

有效值也稱均方根值，即以上情況同樣適合于正弦電壓實驗室的交流電壓表、電流表的表面標尺刻度都是有效值，包括交流電機和電器上的銘牌。有效值正弦量的平均值則是指在一周期內其絕對值的平均值，或者說其正半波的平均值。其中Imsint=i(t)為正弦電流，對電壓也同樣適用。平均值有效值大于其平均值根據歐拉公式當是t的函數時，正弦量Amsin(t+)可用復值函數來表示。其中

是t=0時的復值常數，稱相量稱旋轉相量，

稱旋轉因子相量可表示為

作為復數，相量又常用s復平面上的有向線段表示。這樣的圖稱相量圖。設且Am1=Am2=Am，1=2同相

1＞2超前

角度落后

角度=90一個相量乘一個j，向逆時針方向旋轉90，乘一個-j，向順時針方向旋轉90，所以稱90旋轉因子旋轉相量和正弦量之間的關系是一一對應關系根據數學知識，任意個相同頻率的正弦量的代數和這些正弦量的任意階導數的代數和，仍然是同頻率的正弦量。因此，相量完全用來表示和反應已知頻率下的正弦量。但相量并不等于正弦量，只有旋轉相量才和正弦量有一一對應關系。也稱最大值相量。因為最大值與有效值A之間的關系其中稱有效值相量，且正弦量與相量間屬一種變換，稱相量法變換phj。相量法變換phj為已知正弦量變換成相量。相量法反變換phj-1為已知相量，變換成正弦量。幾個定理定理1若為實數，Z(t)為任何實變數t的復值函數，則Im[Z(t)]=Im[Z(t)]實數與復值函數相乘后取虛部等于復值函數取虛部后與實數相乘。定理2若Z1(t)

和Z2(t)為任何實變數t的復值函數，則Im[Z1(t)+Z2(t)]=Im[Z1(t)]+Im[Z2(t)]。復值函數相加后取虛部等于各復值函數取虛部后相加。定理3設Z為復數，其極坐標形式是

取虛部和求導的運算可互換；復值函數

對t的導數等于該函數與j的乘積。

定理4設Z1、Z2為復數,為角頻率。若所有時刻

則Z1=Z2。反之，若Z1=Z2，則在所有時刻

兩角速度相同的旋轉相量在所有時刻在虛軸上的投影都相等，則這兩相量相等。

用相量法求微分方程特解其中a0，a1，，an及Am，，均是實數。方程特解為與輸入同頻率的正弦量。因為其中微分方程特解可表示為

其中按經典法，將特解代入原方程，進行一系列的正弦量的微分和繁瑣的三角公式運算。現在用相量法求特解，即定常數Ym和。將yp(t)代入原方程

根據定理1

根據定理3

根據定理2

根據定理4

由此得到代數方程

所以特解

用相量法求正弦激勵下的微分方程的特解，是原來的微分方程轉換成復數代數方程。對一階電路求特解

方法1所以方法2對一階電路方程兩邊取相量法正變換取相量法反變換正弦穩(wěn)態(tài)響應一個具有正弦激勵的線性定常電路，其全響應的形式為y(t)=yh(t)+yp(t)。其中yh(t)是齊次解，yp(t)是方程的特解。若電路變量y(t)的所有固有頻率是不同的（也就是特征多項式沒有多重零點），則有其中si為y的固有頻率，ki是由初始條件確定的積分常數。

yp(t)作為方程的特解，是一個與輸入同頻率的正弦量，可以用相量法求得。固有頻率si都位于s平面的開左半平面上(不包括虛軸)，所有的esit都是衰減因子，當t→，yh(t)→0。所以y(t)yp(t)=Ymsin(t+)這表明不管電路的初始條件如何，隨著t→，電路響應變成與激勵同頻率的正弦量。這樣的電路稱漸近穩(wěn)定電路，這個響應稱正弦穩(wěn)態(tài)響應。固有頻率si中有一個或幾個位于s平面的開右半平面上，響應中含有增長因子esit，通常說，t→，yh(t)→，電路是不穩(wěn)定的。固有頻率si大部分位于s平面的開左半平面上，有一些落在虛軸上(即一些純虛數的固有頻率ji)

?位于虛軸上的是多重固有頻率s1=s2=j0,s3=s4=-j0(總以共軛形式出現),則齊次解中必定含有或用余弦表示成k1sin(0t+1)+k2tsin(0t+2)。

顯然，t→，yh(t)→，電路是不穩(wěn)定的。?位于虛軸上的固有頻率是單一的s1=j0，s2=-j0，但輸入信號的角頻率與0重合(即=0),響應中將含有ktsin(t+)，電路也是不穩(wěn)定的。

?位于虛軸上的固有頻率是單一的s1=j0，s2=-j0，且輸入信號的角頻率與0不等(即0),齊次解中含有ksin(0t+)，特解可用相量法求得yp(t)=Ymsin(t+)。

當t→時，電路存在穩(wěn)態(tài)響應：y(t)=ksin(0t+)+Ymsin(t+)，此時響應并不和輸入同頻率，因此也不能成為正弦穩(wěn)態(tài)響應。對于非線性電路或時變電路，即使有穩(wěn)態(tài)解，通常也不是與輸入同頻率的響應。因此，對于由單一的正弦輸入的線性定常電路，只有當電路的固有頻率都落在s復平面的開左半平面上，不論初始條件如何，響應將隨著t→而變成與輸入同頻率的正弦量。這響應才稱正弦穩(wěn)態(tài)響應，這響應可用相量法來求得。值得指出，正弦穩(wěn)態(tài)響應，它與初始條件無關。正弦穩(wěn)態(tài)分析我們把求解電路對正弦輸入的正弦穩(wěn)態(tài)響應稱為正弦穩(wěn)態(tài)分析。求正弦穩(wěn)態(tài)響應的途徑基爾霍夫定律的相量形式KCL：其中或KVL：其中或電路元件上的電壓、電流關系的相量表示根據支路約束(歐姆定律)v(t)=Ri(t)所以這就是電阻R中的電壓、電流的相量關系。

電壓、電流同相位，說明電壓、電流同時出現最大值。相量圖電阻元件的相量模型

支路約束

所以

因此

相量圖電容元件的相量模型

電容電流最大值是電容電壓最大值的C倍(隨的不同而不同)；電容電流相位超前電壓相位90。具有電阻的量綱,稱為容抗XC,即

因為

所以

電容XC與電容C，頻率f成反比。所以電容元件對高頻電流呈現的容抗很小，而對直流(f=0)所呈現的容抗XC=,可視為開路。因此電容具有隔直作用。支路約束

所以

因此

相量圖電感元件的相量模型

電