《應(yīng)用舉例》設(shè)計(jì) 全省一等獎(jiǎng)

《應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計(jì)（3）教學(xué)目標(biāo)通過(guò)對(duì)正余弦定理的應(yīng)用，加深對(duì)正余弦定理的理解．會(huì)用正余弦定理解三角形．（1)已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角．（2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角及其它的邊和角．（3）已知三邊，用余弦定理，必有唯一解；教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，體現(xiàn)正余弦定理搭建邊角互化的橋梁，是解三角形有利的兩大工具。難點(diǎn)：在具體的題型中真正體現(xiàn)正余弦定理作為橋梁的作用，并能挖掘出題目中的隱含條件，達(dá)到求解的目的。教學(xué)課時(shí)：1課時(shí)【教學(xué)過(guò)程】新課講授1.建模思想解三角形應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，通常都要根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得出三角形邊角的大小，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解。這種數(shù)學(xué)建模思想，從歐冠實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，經(jīng)過(guò)抽象概括，把它轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題中的數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)推理演算，得出數(shù)學(xué)模型的解，再還原成實(shí)際問(wèn)題的解，用流程圖表示為：2.解三角形應(yīng)用問(wèn)題的基本思路實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題解三角形畫(huà)圖實(shí)際問(wèn)題的解數(shù)學(xué)問(wèn)題的解數(shù)學(xué)問(wèn)題檢驗(yàn)3.解三角形應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟：①準(zhǔn)確理解題意，分清已知和未知，準(zhǔn)確理解應(yīng)用題中有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)，如仰角、俯角、視角、方向角、方位角及坡度、經(jīng)緯度等；②根據(jù)題意畫(huà)出圖形；將已知條件在圖中注明；③將要求解的問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，然后正確求解，演算過(guò)程要算法簡(jiǎn)練，計(jì)算準(zhǔn)確，最后作答。其中第③步是最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。4.常見(jiàn)的應(yīng)用題型正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型有：測(cè)量距離問(wèn)題、測(cè)量高度問(wèn)題、測(cè)量角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等。(5)熟悉的三角形中的有關(guān)公式解三角形主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理，有時(shí)也會(huì)用到周長(zhǎng)公式和面積公式，比如：（為三角形的周長(zhǎng)）（表示邊上的高）（可用正弦定理推得）（為內(nèi)切圓半徑）還須熟悉兩角和差得正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余弦、正切公式。典例分析【例1】在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，同學(xué)們?cè)谙嗑?0海里的A、B兩個(gè)小島上活動(dòng)結(jié)束后，有人提出到隔海相望的未知的C島上體驗(yàn)生活，為合理安排時(shí)間，他們需了解C島與B島或A島的距離.為此他們測(cè)得從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，那么B島和C島之間的距離是多少海里？分析：本題是大家實(shí)際生活中可能就碰到過(guò)的事情，題目背景很熟悉，根據(jù)題意不難將題意中所述的數(shù)據(jù)反映在圖形上，由題意的敘述容易畫(huà)出相應(yīng)的圖形，結(jié)合圖形分析不難得到結(jié)果。解：在中，由題意知，∴。由正弦定理=，∴。規(guī)律總結(jié)：本題中涉及到“視角”這樣一個(gè)名詞，這個(gè)名詞的意思對(duì)于大家來(lái)說(shuō)并不陌生，根據(jù)題意的敘述正確畫(huà)出示意圖來(lái)，然后在相應(yīng)三角形的應(yīng)用正弦定理就可以達(dá)到目的，真正把數(shù)學(xué)融入實(shí)際生活。【例2】如圖1-2-1所示，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在東偏南的方向上，仰角為，求此山的高度CD。圖1-2-1圖1-2-1分析：本題是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，主要問(wèn)題可能會(huì)出現(xiàn)在題目中所述的角度不能正確的分辨上，從而導(dǎo)致出錯(cuò)。只要能正確根據(jù)題意的敘述，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而容易將問(wèn)題解決。解：要測(cè)出高CD，只要測(cè)出高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長(zhǎng)即可。根據(jù)已知條件，可以計(jì)算出BC的長(zhǎng)。在△ABC中，∠A=15°，∠C=25°－15°=10°，根據(jù)正弦定理，=，BC==≈（km），CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047（m）.答：山的高度約為1047米.規(guī)律總結(jié)：此類問(wèn)題主要容易錯(cuò)在角度的具體位置找不對(duì)，另外在具體問(wèn)題中有時(shí)可能不知道采用什么定理以及在哪些三角形中應(yīng)用相應(yīng)定理去解決問(wèn)題，這些都要根據(jù)具體題目的已知條件去作具體分析。【例3】例2如圖1-3-6，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9海里，并以20海里/時(shí)的速度沿南偏西15°方向行駛，若甲船以28海里/時(shí)的速度行駛，應(yīng)沿什么方向，用多少小時(shí)最快追上乙船？（精確到度）圖1-3-6分析:假設(shè)用t小時(shí)在C處追上乙船，則在△ABC中，AC、BC可用t來(lái)表示，進(jìn)而利用余弦定理求得t，解此三角形即可.解：假設(shè)用t小時(shí)，甲船在C處追上乙船，在△ABC中，AC=28t,BC=20t,∠ABC=180°-45°-15°=120°.由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,即(28t)2=81+(20t)2-2×9×20t×(-).整理，得128t2-60t-27=0,即(4t-3)(32t+9)=0.∴t=,t=(舍去).∴AC=28×=21,BC=20×=15.由正弦定理，得sin∠BAC=.又∠ABC=120°,∴∠BAC為銳角,∠BAC=38°.∴45°-38°=7°.∴甲船應(yīng)沿南偏東7°方向用小時(shí)最快追上乙船.規(guī)律總結(jié)：航海問(wèn)題常利用解三角形的知識(shí)去解決，在具體解題時(shí)，應(yīng)畫(huà)出示意圖，找出已知量及所求的量，轉(zhuǎn)化為三角形的邊角，利用正弦、余弦定理求解.【例4】在中,若，判斷此三角形的形狀。分析：本題所給給已知條件中涉及邊角關(guān)系，問(wèn)題是要判斷其形狀，自然可以試著將邊轉(zhuǎn)化為角或考慮將角轉(zhuǎn)化為邊，而在轉(zhuǎn)化過(guò)程中不難想到用正、余弦定理去試著進(jìn)行，這樣的問(wèn)題往往是比較靈活的，方法多樣。解：方法1：化角為邊由已知可得，即：，由正、余弦定理得：，，，即：，或；方法2：化邊為角，由已知變形得，即，即：，，又均為不，，或即或。因此該三角形是等腰三角形或直角三角形。規(guī)律總結(jié)：此類型的問(wèn)題比較常見(jiàn)，思考方式通常就是兩個(gè)方向，一是從角的角度去判斷；二是從邊的角度去判斷。有時(shí)，兩種方法都能達(dá)到目的，而有時(shí)則只能采用某種辦法才能達(dá)到目的或者用另外的辦法很復(fù)雜。在具體問(wèn)題中注意選擇恰當(dāng)?shù)姆绞?。課堂小結(jié)當(dāng)堂檢測(cè)1．.如下圖，為了測(cè)量隧道口AB的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量時(shí)應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)A．Ｂ．Ｃ．D．2．已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東，燈塔B在觀察站C的南偏東，則燈塔A與燈塔B的距離為A． Ｂ．Ｃ．D．3．在的山頂上，測(cè)得山下一塔塔頂與塔底的俯角分別為，則塔高為()A．Ｂ．Ｃ．D．4．為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn),望對(duì)岸的標(biāo)記物，測(cè)得,，米，求河的寬度。5．在中，已知，且其最大內(nèi)角為，則其最大邊長(zhǎng)為。6．在中，若，則。7．已知關(guān)于的方程的兩根之和等于其兩根之積的一半，試判斷的形狀。當(dāng)堂檢測(cè)參考答案1．分析：根據(jù)實(shí)際情況α、β都是不易測(cè)量的數(shù)據(jù)，而C中的a、b、γ很容易測(cè)量到，并且根據(jù)余弦定理能直接求出的長(zhǎng)。答案：選Ｃ。2．分析：題意如下圖所示，可知∠ACB=120°，AC=BC=a.在△ABC中，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，則AB=2AD=2acos30°=a.故選Ｂ。圖1-2-4圖1-2-4答案：選Ｂ。3．分析：：如圖，設(shè)塔高為，圖1-2-5圖1-2-5在Rt△CDB中，CD＝200，∠BCD＝90°-60°＝30°，在中，,，.答案:選A。4．分析：由題意畫(huà)出示意圖，這樣一來(lái)就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的邊上的高的問(wèn)題。而由已知及正弦定理知，可先求出，進(jìn)而求得河寬。解：如圖，在中，，由已知可得圖1-2-6圖1-2-6設(shè)到的距離為，則，∴河的寬度為米。5．分析：由題意所給三邊間的關(guān)系，先注意判斷其最大邊，從而利用余弦定理把問(wèn)題解決。由已知得，故為最長(zhǎng)邊，，，，。答案：。6．分析：本題所給條件中涉及的是三內(nèi)角的正弦，容易想到將其展開(kāi)化簡(jiǎn)，得到，而這個(gè)形式與余弦定理極為相似，然而余弦定理中所涉及的是些邊角關(guān)系，于是可以先用正弦定理將三內(nèi)角的正弦轉(zhuǎn)化為邊，即為：，所以，。答案：。7．分析：本題與一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系有一定的