《球的表面積和體積》設(shè)計

《球的表面積和體積》教學(xué)設(shè)計【教學(xué)目標】1.掌握球的體積和表面積公式．2.會用球的體積與表面積公式解決實際問題．3.會解決球的切、接問題．【教學(xué)重點】球的表面積和體積的求解【教學(xué)難點】會解決球的切、接問題．【課時安排】1課時【教學(xué)過程】新知初探1．球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S＝4πR2，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍．思考：球有底面嗎？球面能展開成平面圖形嗎？[提示]球沒有底面，球的表面不能展開成平面圖形．2．球的體積設(shè)球的半徑為R，則球的體積V＝eq\f(4,3)πR3.1．若球的過球心的圓面的周長是C，則這個球的表面積是()\f(C2,4π)\f(C2,2π)\f(C2,π)D．2πC2C[由2πR＝C，得R＝eq\f(C,2π)，所以S球面＝4πR2＝eq\f(C2,π).]2．若球的體積與其表面積數(shù)值相等，則球的半徑等于()\f(1,2)B．1C．2D．3D解析：設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝eq\f(4,3)πR3，所以R＝3.3.若一個球的體積為36π，則它的表面積為．36π[由eq\f(4,3)πR3＝36π，可得R＝3，因此其表面積S＝36π.]4．兩個半徑為1的實心鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑是．eq\r(3,2)[設(shè)大球的半徑為R，則有eq\f(4,3)πR3＝2×eq\f(4,3)π×13，R3＝2，∴R＝eq\r(3,2).]例題講解球的表面積與體積【例1】(1)已知球的表面積為16π，求它的體積；(2)已知球的體積為π，求它的表面積．[解](1)設(shè)球的半徑為r，則由已知得4πr2＝16π，r＝2.所以球的體積：V＝eq\f(4,3)×π×r3＝.(2)設(shè)球的半徑為R，由已知得eq\f(4,3)πR3＝π，所以R＝4，所以球的表面積為：S＝4πR2＝4π×42＝64π.方法總結(jié)求球的表面積與體積的一個關(guān)鍵和兩個結(jié)論(1)關(guān)鍵：把握住球的表面積公式S球＝4πR2，球的體積公式V球＝eq\f(4,3)πR3是計算球的表面積和體積的關(guān)鍵，半徑與球心是確定球的條件．把握住公式，球的體積與表面積計算的相關(guān)題目也就迎刃而解了．(2)兩個結(jié)論：①兩個球的表面積之比等于這兩個球的半徑比的平方；②兩個球的體積之比等于這兩個球的半徑比的立方．當堂練習(xí)1若一個球的體積擴大到原來的27倍，則它的表面積擴大到原來的()A．3倍B．3eq\r(3)倍C．9倍D．9eq\r(3)倍[解析]設(shè)球的半徑為R，體積擴大到原來的27倍后，其半徑為R′.V＝eq\f(4,3)πR3，V′＝eq\f(4,3)πR′3＝27V＝27×eq\f(4,3)πR3，∴R′＝3R.∴S′＝4πR′2＝36πR2.又S＝4πR2，∴S′＝9S，故選C．球的截面問題【例2】(1)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1.球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π(2)已知半徑為5的球的兩個平行截面圓的周長分別為6π和8π，則這兩個截面間的距離為．(1)B(2)1或7[(1)如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點，則OO′＝eq\r(2)，O′M＝1，∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3)，即球的半徑為eq\r(3)，∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.(2)若兩個平行截面在球心同側(cè)，如圖①，則兩個截面間的距離為eq\r(52－32)－eq\r(52－42)＝1；若兩個平行截面在球心異側(cè)，如圖②，則兩個截面間的距離為eq\r(52－32)＋eq\r(52－42)＝7.]①②方法總結(jié)1．有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問題解決．2．注意一個直角三角形，即由球心距(球心到截面圓心的距離)、截面圓的半徑、球的半徑圍成一個直角三角形，滿足勾股定理．當堂練習(xí)2已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面積和體積.[解析]∵AB︰BC︰AC＝18︰24︰30＝3︰4︰5，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O到截面△ABC的投影O′為截面圓的圓心，也即是Rt△ABC的外接圓的圓心，∴斜邊AC為截面圓O′的直徑(如圖所示)．設(shè)O′C＝r，OC＝R，則球半徑R，截面圓半徑r，在Rt△O′CO中，由題設(shè)知sin∠O′CO＝eq\f(OO′,OC)＝eq\f(1,2)，∴∠O′CO＝30°，∴eq\f(r,R)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，即R＝eq\f(2,\r(3))r，又2r＝AC＝30?r＝15，代入(*)得R＝10eq\r(3).∴球的表面積為S＝4πR2＝4π(10eq\r(3))2＝1200π.球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(10eq\r(3))3＝4000eq\r(3)π.與球有關(guān)的切、接問題【例3】⑴將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為()\f(4π,3) \f(\r(2)π,3)\f(\r(3)π,2) \f(π,6)⑵長方體共頂點的三個側(cè)面面積分別為eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(15)，則它的外接球表面積為________．(1)A(2)9π[解析]⑴由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，其體積是V球＝eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(4π,3).[解析]⑵設(shè)長方體共頂點的三條棱長分別為a，b，c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(3)，,bc＝\r(5)，,ac＝\r(15)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(3)，,b＝1，,c＝\r(5)，))∴外接球半徑為eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)＝eq\f(3,2)，∴外接球表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝9π.方法總結(jié)1．正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內(nèi)切球，此時球的半徑為r1＝eq\f(a,2)，過在一個平面上的四個切點作截面如圖(1)．2．球與正方體的各條棱相切球與正方體的各條棱相切于各棱的中點，過球心作正方體的對角面有r2＝eq\f(\r(2)a,2)，如圖(2)．3．長方體的外接球長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r3＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2＋c2)，如圖(3)．4．正方體的外接球正方體棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為2R＝eq\r(3)a.5．正四面體的外接球正四面體的棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為：2R＝eq\f(\r(6),2)a.當堂練習(xí)3⑴體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A．12πB．eq\f(32π,3)C．8π D．4π⑵圓柱內(nèi)接于球，圓柱的底面半徑為3，高為8，則球的體積為．[解析]A⑴正方體的體積為8可知，正方體的棱長a＝2.又正方體的體對角線是其外接球的一條直徑，即2R＝eq\r(3)a(R為正方體外接球的半徑)，所以R＝eq\r(3)，故所求球的表面積S＝4πR2＝12π.π(2)[如圖，由條件知，O1A＝3，O