《拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程》備考策略

《拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程》備考策略關(guān)鍵詞：拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，知識總結(jié)備考策略難度：4重要程度：5內(nèi)容：1．拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．[提醒]當(dāng)直線l經(jīng)過點F時，點的軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線．2．標(biāo)準(zhǔn)方程頂點在坐標(biāo)原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝2px(p>0)；頂點在坐標(biāo)原點，焦點在x軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2＝－2px(p>0)；頂點在坐標(biāo)原點，焦點在y軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2＝2py(p>0)；頂點在坐標(biāo)原點，焦點在y軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2＝－2py(p>0)．[提醒]拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離，所以p的值永遠大于0，當(dāng)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項的系數(shù)為負(fù)值時，不要出現(xiàn)p<0的錯誤．思維規(guī)律解題：考點一：求拋物線的方程例1．(2022·石家莊調(diào)研)若拋物線y2＝2px上一點P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．y2＝4x B．y2＝6xC．y2＝8x D．y2＝10x答案C解析：∵拋物線y2＝2px，∴準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2).∵點P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)－2))＝4.∴p＝4.∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x.選C考點二：拋物線的定義應(yīng)用例2.(2022·重慶高考)過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝eq\f(25,12)，|AF|＜|BF|，則|AF|＝______.答案eq\f(5,6)解答由y2＝2x，得p＝1，焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).又|AB|＝eq\f(25,12)，知AB的斜率存在(否則|AB|＝2)．設(shè)直線AB的方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．將y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))代入y2＝2x，得k2x2－(k2＋2)x＋eq\f(k2,4)＝0.(*)∴x1＋x2＝1＋eq\f(2,k2)，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝eq\f(25,12)，因此x1＋x2＝1＋eq\f(2,k2)＝eq\f(13,12)，k2＝24.則方程(*)為12x2－13x＋3＝0，又|AF|＜|BF|，∴x1＝eq\f(1,3)，x2＝eq\f(3,4).∴|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2