靜電場之均勻帶電圓環(huán),圓盤和圓圈在軸線上的電場

(1)一個半徑為a的均勻帶電圓環(huán)，帶電量為Q(Q>0)，求圓環(huán)軸上的電勢和電場強度，電勢和電場強度隨軸坐標的變化規(guī)律是什么？(2)一個半徑為a的均勻帶電圓盤，帶電量為Q(Q>0)，求圓盤軸上的電勢和電場強度，電勢和電場強度隨軸坐標變化的規(guī)律是什么？(3)一個外半徑為a、內半徑為b的均勻帶電圓圈，帶電量為Q(Q>0)，求圓圈軸上的電勢和電場強度。對于不同寬度的圓盤，電勢和電場強度如何隨距離變化？[解析](1)設λ>0，圓環(huán)上所帶電量為Q=2πaλ。

如圖所示，圓環(huán)上所有電荷到場點P的距離都是在P點產生的電勢為電勢在原點處最高，并隨著距離的增加而減小。P點的場強為azOQrPE{范例9.5}均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場整理課件在z=0處電場強度E=0；在z→±∞處E→0，因此E在z從0到±∞之間有極值。令可得極值為如果z>>a，電勢和場強分別為這是點電荷的電勢和場強公式，其中z/|z|表示符號。azOQrPE{范例9.5}均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場當z>0時，E>0，場強的方向與z軸正向相同；當z<0時，E<0，場強的方向與z軸正向相反。整理課件電勢曲線在中間下凹，在兩邊上凹，兩部分的接合點是拐點，兩個拐點對應電場強度的極值。圓環(huán)電荷在中心產生的電勢最大，當距離比較遠時，其電勢接近點電荷的電勢。整理課件圓環(huán)電荷在中心處的場強為零。當距離比較大時，其場強與點電荷的場強接近。場強隨距離先增加再減小，當距離z=±0.7a時，場強最大。整理課件{范例9.5}均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場(2)一個半徑為a的均勻帶電圓盤，帶電量為Q(Q>0)，求圓盤軸上的電勢和電場強度，電勢和電場強度隨軸坐標變化的規(guī)律是什么？[解析](1)設Q>0，當電荷均勻分布圓盤上時，電荷的面密度為σ=Q/πa2，如圖所示，在圓盤上取一半徑為R，寬度為dR的圓環(huán)，其面積為dS=2πRdR，所帶的電量為dq=σdS，環(huán)電荷在場點P產生的電勢為全部電荷在場點P產生的電勢為azOQRPEdRr整理課件(2)一個半徑為a的均勻帶電圓盤，帶電量為Q(Q>0)，求圓盤軸上的電勢和電場強度，電勢和電場強度隨軸坐標變化的規(guī)律是什么？σ=Q/πa2，

電勢當z=0時電勢最高U=2kQ/a。當|z|>>a時，電勢為這是點電荷的電勢。azOQRPEdRr{范例9.5}均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場整理課件圓盤兩邊場強的方向不同。如果z>0，軸線上的場強為當z→+0時，E→2kQ/a2=σ/2ε0，這是無限大均勻帶電平面在正面產生的場強。當z>>a時，可得這是點電荷的場強。如果z<0，軸線上的場強為當z→-0時，E→-2kQ/a2=-σ/2ε0，這是無限大均勻帶電平面在另一面產生的場強。圓盤兩邊的場強不連續(xù)。軸上的場強可統(tǒng)一表示為{范例9.5}均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場整理課件圓盤電荷在中心產生的電勢最大，該點左右兩邊的電勢雖然連續(xù)，但是導數(shù)不連續(xù)，因而圓盤兩邊的場強不連續(xù)。兩邊的電勢曲線都是向上凹的，沒有拐點。當|z|>3a時，圓盤電荷的電勢接近于點電荷的電勢。整理課件圓盤電荷在中心附近產生的場強最大，該場強表示“無限大”帶電平面的場強；圓盤兩邊的場強方向不同，因而不連續(xù)。當距離增加時，場強持續(xù)減??；當|z|>3a時，圓盤電荷的場強接近于點電荷的場強。整理課件(3)一個外半徑為a、內半徑為b的均勻帶電圓圈，帶電量為Q(Q>0)，求圓圈軸上的電勢和電場強度。對于不同寬度的圓盤，電勢和電場強度如何隨距離變化？[解析](2)當電荷均勻分布在外半徑為a、內半徑為b的圓圈上時，如圖所示，圓圈的面積為S=π(a2-b2)，電荷的面密度為σ=Q/S，在圓圈上取一半徑為R，寬度為dR的圓環(huán)，在場點P產生的電勢為場點P的電勢為在z=0處的電勢為aQbzORPEdRr如果b=a，可得帶電圓環(huán)中心的電勢U=kQ/a；如果b=0，則得帶電圓盤中心的電勢U=2kQ/a。{范例9.5}均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場整理課件(3)一個外半徑為a、內半徑為b的均勻帶電圓圈，帶電量為Q(Q>0)，求圓圈軸上的電勢和電場強度。對于不同寬度的圓盤，電勢和電場強度如何隨距離變化？根據(jù)公式E=-dU/dz可得圓圈軸線上的場強如果b≠a，當z=0時，圓圈中心的場強E=0；令解得極值坐標極值場強為當z→±∞時，E→0，因此場強E在z從0到±∞之間有極值。{范例9.5}均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場整理課件[討論]①當b→0時，圓圈演變成圓盤，軸上的電勢為②當b→a時，圓圈演變成圓環(huán)，軸上電勢為軸上場強軸上場強{范例9.5}均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場整理課件[討論]根據(jù)羅必塔法則，圓環(huán)場強的極值坐標為③如果z>>a，根據(jù)二項式定理，可得這是點電荷的電勢和場強。圓環(huán)場強的極值為{范例9.5}均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場整理課件均勻帶電圓環(huán)到均勻帶電圓盤的電勢的演變過程。在中心點，圓環(huán)電荷產生的電勢最小，導數(shù)為零；當距離比較大時，所有電荷的電勢都與點電荷產生的電勢相近。隨著圓圈寬度的增加，中心點的電勢也增加，極大值變“尖”了，但導數(shù)仍然為零，這是因為電荷離軸線變近的緣故；當圓圈變成圓盤時，電荷產生的電勢最大，形成“尖”形，導數(shù)不但不為零，并且左右導數(shù)不相等。整理課件均勻帶