2022-2023學年江西省高二年級上冊學期12月統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年江西省高二上學期12月統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學試題一、單選題1．拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把拋物線化為標準方程即可求解【詳解】把拋物線化為標準方程得，所以焦點坐標為，故選：D2．過點且一個方向向量為的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)方向向量求得斜率為，然后點斜式求解即可.【詳解】由題知，直線的方向向量為，所以斜率為，因為過點，所以直線方程為，即，故選：A3．已知點為所在平面內(nèi)一點，為平面外一點，若則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的四點共面定理即可求解.【詳解】因為，且四點共面，所以，所以，故選:B.4．為了深入貫徹黨中央“動態(tài)清零”的疫情防控要求，更好地開展常態(tài)化疫情防控核酸檢測服務工作，現(xiàn)選派5名黨員志愿者參加星期一至星期五(每人一天)的值日，協(xié)助免費采樣工作.根據(jù)大家的時間安排，志愿者中的A必須排在B前面值日，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．36 B．60 C．118 D．120【答案】B【分析】先5人全排列，再根據(jù)相對順序等可能性求解即可.【詳解】5人隨機安排星期一至星期五(每人一天)的值日，共有種安排方法，其中A排在B前面值日與A排在B后面值日機會均等，所以A必須排在B前面值日的安排方法有種，故選：B5．已知圓和圓的公共弦所在直線經(jīng)過原點，則實數(shù)的值為（

）A．6 B．4 C． D．【答案】A【分析】將兩圓方程對應相減可得兩圓公共弦所在直線方程，再結合公共弦所在直線經(jīng)過原點即可求解.【詳解】兩圓方程對應相減可得兩圓公共弦所在直線方程為：，即，因為公共弦所在直線經(jīng)過原點，所以，即.故選：A.6．已知直線與圓相交于，兩點，則的面積為（

）A．2 B． C． D．與有關的不確定值【答案】C【分析】計算圓心到直線的距離，，再計算面積得到答案.【詳解】圓心到直線的距離，..故選：C7．如圖，在長方體中，，當時，有平面，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用共線定理和線面平行的向量解法可確定實數(shù)的值.【詳解】如下圖所示：以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系；設，則，設即，，由得即，所以則設平面的一個法向量為，，所以令，則；所以由平面可知，,即.所以.故選：C8．已知點，點P為圓上一點，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】A，B為兩個定點，問題可轉(zhuǎn)化為以A，B為焦點的雙曲線與圓有交點，由此求的最小值.【詳解】圓C：，化成標準方程為，圓心，半徑為1.點，如圖所示：由，所以A，B，C三點共線，有，.問題可以轉(zhuǎn)化為：已知點，點P為圓上一點，求的最小值，如圖所示：設，則點P軌跡為以A，B為焦點的雙曲線的右支，雙曲線方程為，由點P在圓上，所以雙曲線與圓有交點，由，消去y，得，，解得，則，所以的最小值.故選：D【點睛】1.求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關系，求出a，b的值．2.解答曲線與曲線相交的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系，要強化聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．二、多選題9．已知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，若，則實數(shù)x的值可能為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BC【分析】利用兩個向量互相垂直的充要條件列出關于實數(shù)x的方程，解之即可求得實數(shù)x的值【詳解】平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，若，則，則，則，解之得或故選：BC10．對于曲線，下列說法正確的有（

）A．曲線C不可能是圓 B．曲線C可以表示焦點在y軸上的雙曲線C．若，則曲線C為橢圓 D．若曲線C為雙曲線，則【答案】AD【分析】A選項，令，無解，得到結論；B選項，令，無解，故B錯誤；C選項，當時，，不表示橢圓；D選項，根據(jù)曲線C為雙曲線，列出不等式，求出.【詳解】變形為，令，無解，故曲線C不可能是圓，A正確；變形為，令，解得：，故曲線C不能表示焦點在y軸上的雙曲線，B錯誤；變形為，當時，，不表示橢圓，故C錯誤；若曲線C為雙曲線，則，解得：，D正確.故選：AD11．已知空間四邊形OABC的各邊及對角線AC，OB的長度均相等，E，F(xiàn)分別為OA，BC的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】畫出正四面體連接相關的點，根據(jù)空間線面之間的判定關系以及向量的分解定理容易得到答案.【詳解】如圖，中點為，連接,根據(jù)中位線和中線的性質(zhì)容易得到：平面平面B對；平面平面與異面，A錯；C對；D錯.故選：BC12．如圖，橢圓的左頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，且AB⊥BF，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由已知解得a、c的關系式，再依次代入各項計算判斷其是否正確；【詳解】由題意知，，，，則，，∵，∴，即：，①又∵，②∴由①②得：，即：，又∵，∴，故D項正確；∴，∴，∴，故A項正確；∴，故B項正確；∴，故C項錯誤；故選：ABD.三、填空題13．已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數(shù)的值為_________.【答案】【分析】根據(jù)直線在兩坐標軸上的截距相等得到關于的方程，解出即可.【詳解】因為直線在兩坐標軸上的截距相等，當時，直線方程為：，與軸平行，不符合題意；當時，令得：，令得：，則，解得：，綜上：實數(shù)的值為，故答案為：.14．已知雙曲線的焦距為4，焦點到C的一條漸近線的距離為1，則C的漸近線方程為______【答案】【分析】由雙曲線對稱性得一個焦點到兩條漸近線的距離相等，不妨設漸近線為，由點線距離及的關系可得方程組求解.【詳解】由雙曲線對稱性得，一個焦點到兩條漸近線的距離相等，不妨取漸近線為，即，焦點為，則焦點到漸近線的距離，由焦距為4得，故，故C的漸近線方程為.故答案為：.15．設n∈N，且能被6整除，則n的值可以為_________.(寫出一個滿足條件的n的值即可)【答案】5（答案不唯一）【分析】先利用二項展開式將變形，進而即可求得n的可能取值【詳解】被6整除，由能被6整除，可得能被6整除，則n的值可以為5，或11，或17等，答案不唯一故答案為：5（答案不唯一）16．“雙減”政策實施以來，各地中小學紛紛開展豐富的課后活動.某校積極開展各種棋類益智活動，某項單人跳棋游戲的規(guī)則如下：如圖所示，棋子的初始位置為①處，玩家每擲出一枚骰子，朝上一面的點數(shù)即為棋子沿棋盤實線順時針方向前進的格子數(shù)，即玩家擲出的點數(shù)為，則棋子就按順時針方向前進i個格子、一直循環(huán)下去，現(xiàn)在已知小明同學拋擲3次骰子后棋子恰好又回到起點①處，則其不同的走法數(shù)為_________.(用數(shù)字作答)【答案】27【分析】根據(jù)題意得到3次投擲骰子的點數(shù)之和為8，3次投擲的點數(shù)可以為1，1，6；1，2，5；1，3，4；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6；然后分情況求走法數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意可知拋擲3次骰子后恰好回到起點①處需要8步或16步，所以3次投擲骰子的點數(shù)之和為8或16，則3次投擲的點數(shù)可以為1，1，6；1，2，5；1，3，4；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6；當點數(shù)為1，1，6；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6時，有種情況；當點數(shù)為1，2，5；1，3，4時，有種情況；綜上可得不同的走法數(shù)為12+15=27.故答案為：27.四、解答題17．已知橢圓的左、右焦點分別為F?，F(xiàn)?，動點M滿足||MF?|-|MF?||=4.(1)求動點M的軌跡C的方程：(2)已知點A(-2，0)，B(2，0)，當點M與A，B不重合時，設直線MA，MB的斜率分別為k?，k?，證明:為定值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓方程得出焦點坐標，由已知分析動點滿足的條件，根據(jù)定義利用待定系數(shù)法設方程，求出相關的量即可；（2）設設，代入方程中化簡得的表達式，利用斜率公式寫出的表達式，化簡即可【詳解】（1）由橢圓知：所以左、右焦點分別為因為動點M滿足||MF?|-|MF?||=4所以動點在以為焦點的雙曲線上，設動點設方程為：由雙曲線的定義得：所以所以動點設方程為：（2）設則由所以所以.18．已知二項式

的展開式中，.給出下列條件：①第二項與第三項的二項式系數(shù)之比是1：4；②各項系數(shù)之和為512；③第7項為常數(shù)項.在上面三個條件中選擇兩個合適的條件分別補充在上面的橫線上，并完成下列問題.(1)求實數(shù)a的值和展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求的展開式中的常數(shù)項.【答案】(1)，二項式系數(shù)最大的項為或(2)【分析】(1)先看條件①②③分別可以得到什么結果，然后分別選取求解即可;(2)根據(jù)第一小問得出的未知數(shù)的值，得到第二問的二項式，然后將前面括號打開，分別求常數(shù)項計算即可.【詳解】（1）由①可知，解得；由②得令得；由③得，要使該項為常數(shù)，則；所以條件①與③得到的是同一結果，所以只有選擇條件①與②和條件②與③；該兩種組合都會得到，所以，解得；所以二項式系數(shù)最大的項為或（2）由（1）可知，，所以有所以常數(shù)項為令，解得；所以常數(shù)項為.19．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，是等邊三角形，，平面平面，點為的中點.(1)證明：平面；(2)求平面與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，交于點，由三角形中位線性質(zhì)可得，由線面平行的判定可證得結論；（2）取中點，由面面垂直性質(zhì)可證得平面，由等腰三角形三線合一性質(zhì)可得，則以為坐標原點可建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法可求得結果.【詳解】（1）連接，交于點，連接，四邊形為菱形，為中點，又為中點，，平面，平面，平面.（2）取中點，連接，為等邊三角形，，平面平面，平面平面，平面，平面；四邊形為菱形，，為等邊三角形，；則以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，；設平面的法向量，，令，解得：，，；軸平面，平面的一個法向量；，平面與平面所成角為.20．古希臘時期與歐幾里得、阿基米德齊名的著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值λ(λ>0且λ≠1)的點所形成的圖形是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知點A(0，6)，B(0，3)、動點M滿足，記動點M的軌跡為曲線C(1)求曲線C的方程；(2)過點N(0、4)的直線l與曲線C交于P，Q兩點，若P為線段NQ的中點，求直線l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點點距離公式，代入等量關系中化簡即可求解方程，（2）聯(lián)立直線與圓的方程，根據(jù)中點坐標公式以及根與系數(shù)的關系即可求解.【詳解】（1）設，由點A(0，6)，B(0，3)、動點M滿足得，兩邊平方化簡得：，故曲線C的方程（2）當直線無斜率時；此時直線與圓相交P，Q兩點，則或者,均不符合P為線段NQ的中點，當直線有斜率時；設：，聯(lián)立直線與圓的方程，化簡得，，故設，則-①若為線段的中點，則，所以，將其代入①中得：，進而得，滿足，所以，因此的方程為21．在斜三棱柱中，點在底面的射影為邊的中點，為正三角形，側(cè)面與底面所成角的正切值為2，(1)證明:；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取的中點，連接，由題意可得兩垂直，故建立以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸的空間坐標系，求出，的坐標即可證明；（2）求得平面的法向量，即可得答案.【詳解】（1）證明：取的中點，連接，由題意知：面，面，則，，又底面為正三角形，所以，故兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間坐標系：設正三角形的邊長為2，，過作于，連接，由平面，所以，又，，面，所以面，又平面，所以，綜上，為側(cè)面與底面所成角的平面角，在中，，又，所以，即，所以，則，則，，，，所以，，所以，即，故；（2）解：因為，，設平面的法向量為，則有，所以，令，則，設直線與面所成角為，則.22．已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上任意一點，且的最大值為3，的最小值為1.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點，過點且與直線