2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一數(shù)學考試大綱

2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱湖北卷數(shù)學學科考試說

明.考試性質(zhì)根據(jù)教育部考試中心《2020普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱（課程標準實驗版》結(jié)合我省高中基礎(chǔ)教育的實際情況，制定了《2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷考試說明》的數(shù)學科部分.I、考試性質(zhì)普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試是合格的高中畢業(yè)和具有同等學力的考生參加的選拔性考試。高等學校根據(jù)考生成績，按已確定的招生計劃，德、智、體全面衡量，擇優(yōu)錄取。高考應具有較高的信度、效度，必要的區(qū)分度和適當?shù)碾y度.II、命題指導思想.普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試是為高校招生而進行的選拔性考試.命題遵循“有助于高校選拔人才，有助于中學實施素質(zhì)教育，有助于推動高中數(shù)學新課程改革”的原則，確保安全、公平、公正、科學、規(guī)范..命題注重考查考生的數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能和數(shù)學思想方法，考查考生對數(shù)學本質(zhì)的理解水平，體現(xiàn)課程目標（知識與技能，過程與方法，情感態(tài)度與價值觀）的要求..命題遵循《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》和《2020普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱（課程標準實驗版）》，試題在源于教材的同時又具有一定的創(chuàng)新性、探究性和開放性，既考查考生的共同基礎(chǔ)，又考查考生的學習潛能，以滿足選拔不同層次考生的需求.III、考核目標與要求一、知識要求對知識的要求由低到高分為了解、理解、掌握三個層次.分別用A,B,C表示.⑴了解⑴要求對所列知識的含義有初步的、感性的認識，知道這一知識內(nèi)容是什么，按照一定的程序和步驟照樣模仿，并能解決相關(guān)的簡單問題.（2）理解（B）要求對所列知識內(nèi)容有較深刻的理性認識，知道知識的邏輯關(guān)系，能夠?qū)λ兄R作正確的描述說明并用數(shù)學語言表達，能夠利用所學的知識內(nèi)容對有關(guān)問題進行比較、判別、討論，并加以解決.（3）掌握（C）要求系統(tǒng)地掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，能夠利用所學知識對具有一定綜合性的問題進行分析、研究、討論，并加以解決.二、能力要求能力是指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應用意識和創(chuàng)新意識.（1）空間想象能力能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中的基本元素及其相互關(guān)系；能對圖形進行分解、組合；會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì).（2）抽象概括能力能在對具體的實例抽象概括的過程中，發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)；從足夠的信息材料中，概括出一些合理的結(jié)論.（3）推理論證能力會根據(jù)已知的事實和已獲得的正確數(shù)學命題來論證某一數(shù)學命題的正確性（4）運算求解能力會根據(jù)法則、公式進行正確的運算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件尋找和設(shè)計合理、簡捷的運算途徑，能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估計和近似運算（5）數(shù)據(jù)處理能力會收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷.數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析，并解決給定的實際問題（6）應用意識能夠運用所學的數(shù)學知識、思想和方法，將一些簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并加以解決.（7）創(chuàng)新意識能夠綜合、靈活運用所學的數(shù)學知識和思想方法，創(chuàng)造性地解決問題三、考查要求（1）對數(shù)學基礎(chǔ)知識的考查，既全面又突出重點，注重學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合.（2）數(shù)學思想和方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括.對數(shù)學思想和方法的考查與數(shù)學知識的考查結(jié)合進行，考查時，從學科整體意義和思想含義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧.（3）對數(shù)學能力的考查，以抽象概括能力和推理論證能力為核心，全面考查各種能力.強調(diào)探究性、綜合性、應用性.突出數(shù)學試題的能力立意，堅持素質(zhì)教育導向.（4）注重試題的基礎(chǔ)性、綜合性和層次性.合理調(diào)控綜合程度，堅持多角度、多層次的考查.W.考試范圍與要求層次根據(jù)普通高等學校對新生文化素質(zhì)的要求，依據(jù)教育部2020年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》，結(jié)合我省高中基礎(chǔ)教育的實際，確定文史類高考數(shù)學科的考試范圍為必修課程數(shù)學1、數(shù)學2、數(shù)學3、數(shù)學4、數(shù)學5的內(nèi)容、選修課程系列1（選修1-1、選修1-2）的內(nèi)容，選修課程系列4中的《不等式選講》的部分內(nèi)容（詳見下表）；確定理工類高考數(shù)學科必做題的考試范圍為必修課程數(shù)學1、數(shù)學2、數(shù)學3、數(shù)學4、數(shù)學5的內(nèi)容、選修課程系列2（選修2-1、選修2-2、選修2-3）的內(nèi)容，選修課程系列4中的《不等式選講》的部分內(nèi)容；選做題的考試范圍為選修課程系列4中的《幾何證明選講》和《坐標系與參數(shù)方程》的部分內(nèi)容.具體內(nèi)容及層次要求詳見下表.內(nèi)容知識要求了解(A)理解（B）掌握（C）集合與常集合集合的含義V集合的表示V集合間的基本關(guān)系V

用邏輯用語集合的基本運算V常用邏輯用語“若P，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，及其相互關(guān)系V充分條件、必要條件、充要條件V簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞V全稱量詞與存在量詞V對含一個量詞的命題進行否定V函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)）函數(shù)函數(shù)的概念與表示V映射V簡單的分段函數(shù)及其應用V單調(diào)性與最大（?。┲导捌鋷缀我饬xV奇偶性V指數(shù)函數(shù)有理指數(shù)幕的含義V實數(shù)指數(shù)幕的意義V幕的運算V指數(shù)函數(shù)的概念、圖象及其性質(zhì)V對數(shù)函數(shù)對數(shù)的概念V對數(shù)的運算性質(zhì)V換底公式V對數(shù)函數(shù)的概念、圖象及其性質(zhì)V指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)（a>0，且a豐1）V冪函數(shù)幕函數(shù)的概念V幕函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=1,y=x2的圖象x及其變化情況V函數(shù)的模型及其應用方程的根與函數(shù)的零點V二分法V函數(shù)模型的應用V基本初等函數(shù)n（三角函數(shù)）、角恒三角函數(shù)任意角的概念、弧度制V任意角的正弦、余弦、正切的定義V誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式V周期函數(shù)的定義、三角函數(shù)的周期性V三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象和性質(zhì)V函數(shù)y=Asin?x+①）的V

等變換、解角形圖象和性質(zhì)三角函數(shù)模型的簡單應用V三角恒等變換兩角和與差的正弦、余弦、正切公式V二倍角的正弦、余弦、正切公式V簡單的三角恒等變換V解三角形正弦定理、余弦定理V解三角形及其簡單應用V數(shù)列數(shù)列的概念數(shù)列的概念V數(shù)列的簡單表示法（列表、圖象、通項公式、遞推公式）V■等^差數(shù)列、等比數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念V等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前口項和公式V等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡單應用V不等式（含4-5《不等式選講》）元二次不等式一兀二次不等式解法及應用V一兀二次不等式與相應的二次函數(shù)、二次方程的聯(lián)系V簡單的線性規(guī)劃用二兀一次不等式組表示平面區(qū)域V簡單的線性規(guī)劃問題V基本不等式不 等 式2>Oab（a,b>0）及其簡單應用V不等式的性質(zhì)、證明與解法不等式的基本性質(zhì)V絕對值不等式V不等式的證明（比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法）V用數(shù)學歸納法證明一些簡單的不等式（僅限理科）V不等式>加（a,b,c>0）及其簡單應用（僅限理科）V柯西不等式及其簡單應用（僅限理科）V推理與證明合情推理與演繹推理合情推理V演繹推理V直接證明與綜合法V分析法V反證法V

間接證明數(shù)學歸納法（僅限理科）V平面向量平面向量平面向量的相關(guān)概念V向量的線性運算平面向量的線性運算及其幾何意義V平面向量的線性運算的性質(zhì)及其幾何意義V平面向量的基本定理及坐標表示平面向量的基本定理V平面向量的正交分解及其坐標表示V用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算V用坐標表示平面向量共線的條件V平面向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的概念V數(shù)量積與向量投影的關(guān)系V數(shù)量積的坐標表示V用數(shù)量積表示兩個向量的夾角V用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系V向量的應用用向量方法解決簡單問題V導數(shù)及其應用導數(shù)概念及其幾何意義導數(shù)的概念V導數(shù)的幾何意義V導數(shù)的運算常見基本初等函數(shù)的導數(shù)公式V常用的導數(shù)運算法則V求簡單復合函數(shù)的導數(shù)（僅限理科）V導數(shù)在研究函數(shù)中的應用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）V函數(shù)的極值、最值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）V利用導數(shù)解決某些實際問題V定積分與微積分基本定理（僅限理科）定積分的概念V微積分基本定理V數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念與運算復數(shù)的基本概念，復數(shù)相等的條件V復數(shù)的代數(shù)表示法及幾何意義V復數(shù)代數(shù)形式的四則運算V

復數(shù)的引入復數(shù)代數(shù)形式加、減法的幾何意義V立體幾何初步空間幾何體柱、錐、臺、球及其簡單組合體V簡單空間圖形的三視圖V用斜二側(cè)法畫簡單空間圖形的直觀圖V柱、錐、臺、球的表面積和體積V點、直線、平面間的位置關(guān)系空間直線、平面的位置關(guān)系V公理1、公理2、公理3、公理4、定理V空間直線、平面平行或垂直的判定V空間直線、平面平行或垂直的性質(zhì)V證明直線、平面位置關(guān)系的簡單命題V空間向量與立體幾何空間直角坐標系空間直角坐標系V空間兩點間的距離公式V空間向量及其運算（僅限理科）空間向量的概念V空間向量基本定理V空間向量的正交分解及其坐標表示V空間向量的線性運算及其坐標表示V空間向量的數(shù)量積及其坐標表示V運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直V空間向量的應用（僅限理科）空間直線的方向向量V空間平面的法向量V用向量方法計算直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角V用向量方法證明直線、平面位置關(guān)系的簡單命題V平面解析幾何初步直線與方程直線的傾斜角和斜率V過兩點的直線斜率的計算公式V兩條直線平行或垂直的判定V直線方程的點斜式、斜截式、截距式、兩點式及一般式V兩條相交直線的交點坐標V兩點間的距離公式、點到直線的距離公式V

兩條平行線間的距離V圓與方程圓的標準方程與一般方程V直線與圓的位置關(guān)系V兩圓的位置關(guān)系V用直線和圓的方程解決一些簡單的問題V圓錐曲線與方程圓錐曲線橢圓的定義及標準方程V橢圓的簡單幾何性質(zhì)V拋物線的定義及標準方程V（文科）V（理科）拋物線的簡單幾何性質(zhì)V（文科）V（理科）雙曲線的定義及標準方程V雙曲線的簡單幾何性質(zhì)V直線與圓錐曲線的位置關(guān)系V曲線與方程曲線與方程的對應關(guān)系（僅限理科）V算法初步算法及其程序框圖算法的含義V程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)V基本算法語句輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句V框圖（僅限文科）流程圖流程圖V結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖V計數(shù)原理（僅限理科）加法原理、乘法原理分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理V用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題V排列與組合排列、組合的概念V排列數(shù)公式、組合數(shù)公式V用排列與組合解決一些簡單的實際問題V二項式定理用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題V概率與統(tǒng)計隨機抽樣簡單隨機抽樣V分層抽樣和系統(tǒng)抽樣V用樣本估計總體頻率分布表，直方圖、折線圖、莖葉圖V樣本數(shù)據(jù)的基本數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差）及其意義V朝本的頻率分布估計總體分布，朝本的基本數(shù)字特V

征估計總體的基本數(shù)字特征變量的相關(guān)性最小二乘法V線性回歸方程（線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶）V事件與概率隨機事件的關(guān)系與運算V隨機事件的概率V兩個互斥事件的概率加法公式V古典概型古典概型V用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率（文科）V計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率（理科）V幾何概型幾何概型V概率（僅限理科）取有限個值的離散型隨機變量及其分布列V超幾何分布V條件概率V事件的獨立性Vn次獨立重復試驗模型與二項分布V取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差V正態(tài)分布V坐標系與參數(shù)方程（僅限理科）極坐標系用極坐標表示點的位置V極坐標和直角坐標的互化V圓、直線的極坐標方程V參數(shù)方程直線的參數(shù)方程V圓的參數(shù)方程V橢圓的參數(shù)方程V幾何證明選講（僅限理科）相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)相似三角形的定義與性質(zhì)V平行截割定理V直角三角形射影定理V直線與圓的位置關(guān)系圓周角定理V圓的切線判定定理與性質(zhì)定理V相交弦定理V圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理V切割線定理V公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi).公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補V、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)一、考試形式考試采用閉卷、筆試形式.考試時間為120分鐘，全卷滿分為150分.湖北省2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試仍不允許使用計算器.二、試題類型與試卷結(jié)構(gòu)全卷分選擇題、填空題、解答題三種題型.選擇題是四選一型的單項選擇題；填空題只要求直接填寫結(jié)果，不必寫出計算或推證過程；解答題包括計算題、證明題，解答題要寫出文字說明、演算步驟或推證過程文、理科全卷題型、題量和賦分分別如下：文科卷：.全卷22道試題均為必做題；.試卷結(jié)構(gòu)為選擇題10道，每道5分，共50分；填空題7道，每道5分，共35分；解答題5道，每道分值不低于10分同時不高于14分，共65分.理科卷：.全卷22道試題，分為必做題和選做題.其中，20道試題為必做題，在填空題中設(shè)置2道選做題（需要考生在這2道選做題中選擇一道作答，若兩道都選，按前一道作答結(jié)果計分），即考生共需作答21道試題；.試卷結(jié)構(gòu)為選擇題10道，每道5分，共50分；填空題6道，每道5分，考生需作答5道，共25分；解答題6道，每道分值不低于10分同時不高于14分，共75分；試題按難度（難度二實測平均分/滿分）分為容易題、中等題和難題.難度在0.70以上的題為容易題，難度在0.40?0.70之間（包括0.40和0.70）的題為中等題，難度在0.40以下的題為難題.控制三種難度的試題的合適分值比例，試卷總體難度適中.W.題型示例為讓考生對高考試題獲得一定的認識，我們從近幾年高考數(shù)學（湖北卷）和其他省市的高考試題中選擇了部分試題編制成題型示例.題型示例中的試題與2020年高考試卷的結(jié)構(gòu)、形式、測試內(nèi)容、題目排序、題量、難度等均沒有任何對應關(guān)系理科題型示例一、必考內(nèi)容題型示例（一）選擇題：在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項【試題1】（2020年湖北卷理科卷第2題）已知U={yIy=log%,%>1）,P={yIy=-,%>2},貝UP=2 % UA.[1,+8) B.(0,2)C.(0,+8)D.(—8,0]U[2,+8)【答案】A【說明】本題主要考查集合、對數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的基本概念和性質(zhì).本題屬于容易題【試題2】(2020年湖北卷理科第1題)設(shè)a=(1,—2),b=(—3,4), c=(3,2),則(a+ 2b)-c =A.(—15,12) B.0 C. —3 D.—11【答案】C【說明】本題考查向量的加法、實數(shù)與向量的積和平面向量的數(shù)量積等向量的有關(guān)概念本題屬于容易題.【試題3】(2020年安徽卷理科第7題)命題”所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是..A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C.存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)D.存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)【答案】D【說明】本題考查正確地對含有一個量詞的命題進行否定.本題屬于容易題.【試題4】(2020年湖北卷理科第8題)在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn).現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用.每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺.若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元【答案】B【說明】本題考查簡單的線性規(guī)劃.本題屬于容易題.【試題5】(2020年湖北卷理科第7題)如圖，用K、A、A三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).當K正常工作且A、A至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作.已知K、A、A正常工作的概率依次為0.9、028、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為 "—Lrp 2A.0.960 B.0.864 C. 0.720D.0.576【答案】B【說明】本題主要考查相互獨立事件和互斥事件的概率計算本題屬于容易題.【試題6】(2020年湖北卷理科第5題)已知隨機變量自服從正態(tài)分布N(2,。2),且Pg＜4)=0.8，則P(0＜：＜2)=

A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2【答案】C【說明】本題主要考查正態(tài)曲線的性質(zhì)及正態(tài)分布相關(guān)概率的計算本題屬于容易題.【試題7】(2020年湖北卷理科第8題)現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加上海世博會志愿者服務(wù)活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是A.54 B.90C.126D.152【答案】C【說明】本題考查有限制條件下的排列組合問題.本題屬于中等題.【試題8】(2020年全國卷理科第11題)設(shè)函數(shù)f(%)=sin?%+①)+cos?%+①)(3>0,|①|(zhì)<n)的最小正周期為n，且f(-x)=f(x),2則A.f(x)在(0,n)單調(diào)遞減 B.f(x)在(n，型)單調(diào)遞減2 44C.f(x)在(0,n)單調(diào)遞增 D.f(x)在(n，型)單調(diào)遞增2 44【答案】A【說明】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，三角恒等變換以及圖象本題屬于中等題.【試題9】(2020年江西卷理科第6題)變量X與丫相對應的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),變量U與V相對應的一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，,表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則(可參考兩個變量的相關(guān)系數(shù)的計算公式:r=r<r(可參考兩個變量的相關(guān)系數(shù)的計算公式:r=r<r<0【答案】C0<r<rr<0<rD.r=r【說明】本題考查兩個變量的線性相關(guān).本題屬于中等題.【試題10】(2020年湖北卷理科第4題)將兩個頂點在拋物線y2=2px(p>0)上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為n，則A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n>3【答案】C【說明】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系.本題屬于中等題.【試題11】(2020年山東卷理科第8題)2 2已知雙曲線三-『=1(。>0,b>0)的兩條漸近線均和圓C：%2+y2一6x+5=0相切，且雙ab曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為

A,上一出二1A,上一出二1B.54【答案】A三-二二1C,三-匕=1D,三-匕二136【說明】本題考查雙曲線、圓的方程和圓的切線的性質(zhì).本題屬于中等題.【試題12］（2020年湖北卷理科第6題）a2若數(shù)列｛a｝滿足f=p（p為正常數(shù)，neN*），則稱｛a｝為“等方比數(shù)列”.n a2 nn甲：數(shù)列U｛an｝是等方比數(shù)列；乙：數(shù)歹U｛an｝是等比數(shù)列.則A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案］B【說明】本題以新定義”等方比數(shù)列”為載體，考查充分條件與必要條件的判斷.本題屬于中等題.【試題13］（2020年湖北卷理科第4題）函數(shù)y=em一|%—1|的圖象是【答案］D【說明］本題考查絕對值的概念、對數(shù)運算、函數(shù)的圖象與性質(zhì)，同時考查分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想.本題屬于中等題.

【試題14］（2020年湖北卷理科第10題）0810.如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道n繞月飛行，最終衛(wèi)星在p點第三次變軌進入以f為圓心的圓形軌道m(xù)繞月飛行.若用2C和2C分別表示橢圓軌道I和n的焦距，用2a和2a分別表示橢圓軌道I和n的長軸的長，給出下列式子： 1 2TOC\o"1-5"\h\z… … … ccc①a+c=a+c:②a一c=a一c;③ca>ac;@—<一.1 1 2 2 1 1 2 2 12 12aa其中正確的式子序號是 1 2A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【答案］B【說明】本題考查橢圓的定義、幾何圖形及簡單的幾何性質(zhì)本題屬于中等題.【試題15］（2020年湖北卷理科第9題）設(shè)球的半徑為時間t的函數(shù)R（t）.若球的體積以均勻速度c增長，則球的表面積的增長速度與球半徑A.成正比，比例系數(shù)為c B.成正比，比例系數(shù)為2cC.成反比，比例系數(shù)為c D.成反比，比例系數(shù)為2c【答案］D【說明］本題考查導數(shù)概念、求導公式、球的體積和表面積公式本題屬于難題.【試題16］（2020年全國卷理科第12題）函數(shù)y=—的圖像與函數(shù)y=2sin忒（-2<x<4）的圖像所有交點的橫坐標之和等于-xA.2 B.4C.6個 D.8個【答案］D【說明］本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì).本題屬于難題（二）填空題：把答案填在題中橫線上.【試題17］（2020年湖北卷理科第12題）復數(shù)z=a+bi,a,beR，且b豐0，若z2-4bz是實數(shù)，則有序?qū)崝?shù)對（a,b）可以是.（寫出一個有序?qū)崝?shù)對即可）【答案］（2,1）（或滿足a=2b的任一個非零實數(shù)對（a,b））【說明］本題考查復數(shù)的概念和運算.本題屬于容易題.【試題18］（2020年天津卷理科第11題）甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如下圖，中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù)，則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為和.甲乙甲乙98 19 7 10 13 20 2 1 4 2 41 15 3 0 2 0［解析］本題主要考查莖葉圖的應用.本題屬于容易題.

【試題19］（2020年湖北卷理科第11題）（x-1=）18的展開式中含x15的項的系數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)值表示）34x【答案】17【說明】本題考查二項式定理.本題屬于容易題.【試題20］（2020年浙江卷理科第12題）某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的k的值是.【答案］5【說明］本題考查算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)中的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu).本題屬于中等題.【試題21］（2020年湖北卷理科第13題）已知函數(shù)f（x）=x2+2x+a,f（bx）=9x2-6x+2,其中xgR,a,b為常數(shù)，則方程f（ax+b）=0的解集為.【答案］0【說明］本題考查函數(shù)的概念、待定系數(shù)法以及二次方程的解集等內(nèi)容本題屬于中等題.【試題22］（2020年陜西卷理科第13題）從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點M（x,y），則點M取自陰影部分的概率為.【答案］13【說明］本題與定積分結(jié)合，考查幾何概型本題屬于容易題.【試題23］（2020年湖北卷理科第14題）n已知函數(shù)f（x）=f（4）cosx+sinx，貝U 的值為.【答案］1【說明］本題主要考查函數(shù)導數(shù)的概念、求法和特殊的三角函數(shù)的值和導數(shù).本題屬于中等題.【試題24］（2020年天津卷文科第10題）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,則該幾何體的體積為m3.【答案］n+6Ay【說明］本題考查簡單組合體的三視圖及其體積.本題屬于中等題.

Ay【試題25］（2020年湖北卷理科第15題）設(shè)a〉0,b〉0，稱—為a,b的調(diào)和平均數(shù).如圖，C為線段AB上a+b的點，且AC=a,CB=b,O為AB中點，以AB為直徑作半圓.過點C作AB的垂線交半圓于D，連結(jié)OD,AD,BD.過點C作OD的垂線，垂足為E.則圖中線段OD的長度是a,b的算術(shù)平均數(shù)，線段的長度是a,b的幾何平均數(shù)，線段的長度是a,b的調(diào)和平均數(shù).【答案］CD；DE【說明］本題主要考查算術(shù)平均、幾何平均的概念與即時定義的理解運用.本題屬于中等題.【試題26］（2020年湖北卷理科第15題）觀察下列等式：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"V?. 1 1\o"CurrentDocument"乙I=—n2+—n,2 2i=1\o"CurrentDocument"T. 1 1 1\o"CurrentDocument""i2=—n3+—n2+—n,3 2 6i=1\o"CurrentDocument"T. 1 1 1—i3=—n4+—n3+—n2,\o"CurrentDocument"4 2 4i=1\o"CurrentDocument"T.1 1 1 1，i4=—n5+—n4+-n3 n,5 2 3 30i=1\o"CurrentDocument"T.1 1 5 1—i5=—n6+—n5+—n4一一n2,\o"CurrentDocument"6 2 12 12i=1\o"CurrentDocument"T.1111 1"i6=—n7+—n6+—n5——n3+——n,\o"CurrentDocument"7 2 2 6 42i=1Tik=ank+1+ank+ani+ank-2+L+an+a,i=1可以推測，當k>2（可以推測，當k>2（kgN*）時,1a= k+1k+1a=kak-1【說明］本題考查學生的創(chuàng)新思維，通過觀察、綜合進而合情推理得到答案.本題屬于難題.(三)解答題【試題27］(2020年全國卷理科第17題)等比數(shù)列｛a｝的各項均為正數(shù)，且2an(I)求數(shù)列｛a｝的通項公式.

n所以當n>2時，a=r(r+1)n-2a.(II)設(shè)(II)設(shè)b=loga+loga+L1+loga,求數(shù)列｛丁｝的刖n項和.3n bn【答案］(I)設(shè)數(shù)列【答案］(I)設(shè)數(shù)列｛a｝的公比為q,由a21=9aa得a2=9a2，所以q2=—.—— 4 9由條件可知q>0，故q=3.由2a+3a=1得2由條件可知q>0，故q=3.由2a+3a=1得2a+3aq-1故數(shù)列｛aj的通項式為an(II)b=loga+loga+L+loga=-(1+2+L口1— 2 —1 1故——- =-2(—— b n(n+1) nn+1)，1 1T1 1、J1、tJ1—I +L+—-2[(1—)+( )+L+( bbb 2 23nn+1...1 2 n所以數(shù)列｛7｝的前n項和為———-.b n+1【說明］本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.本題屬于容易題.【試題28］(2020年湖北卷理科第19題)已知數(shù)列｛a｝的前n項和為S,且滿足：G1=a(a豐0)，a廣rS(eeN*,reR,rw-1).(I)求數(shù)列｛an｝的通項公式;(II)若存在keN*，使得Sk1,amjam,am+2是否成等差數(shù)列，,Sk+2成等差數(shù)列，試判斷：對于任意的meN*，且m>2,并證明你的結(jié)論.【答案］(1)由已知a=rS，可得aa-a=r(S-S)=ra,即當+r=01時，數(shù)列ia｝n即為：n+a，0，…，0，?=rS.J兩式相減可得an=(r+1)an.又a=raI=ra，所以當rW-1,0時，由已知a豐0，所以a產(chǎn)0(neN*)，于是由a,2=(r+1)a討可得a7+2--r+1(neN*)，由定義知a，a，…，a 2 3n+1an,…成等比數(shù)列U,n=1,n=1,n>2.綜上，可得數(shù)列｛a｝的通項公式為a=1a,n nIr(r+1)n-2a,(II)對于任意的mgN*，且m>2,a/a，a2成等差數(shù)列.證明如下：當r=0時，由(I)知，a=[a,n=1，,S=a，即數(shù)列｛S｝是等差數(shù)列，且對于任意n[0,n>2.n J的mgN*，且m>2,a-a,a成等差數(shù)列；當rw-1,0時，二七=Saa"aa"+,S=Saa.若存在kgN*，使得SJS；S；成+等差數(shù)列：則S：+S^2=2Sk,?.2S+2aaa=2S，即a=-2a.由(I)知，a,a，…，a，…的公比r+1=—2，于是對于任意的mgN*，且m>2,a=-2a，從而a=4a,m+1 m m+2 m??aaa=2a，即a,a,a成等差數(shù)列.【說明1m題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列2的基礎(chǔ)知識本題屬于難題.【試題29](2020年湖北卷理科第16題)設(shè)^ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.已知a=1,b=2,cosC=L4(1)求4ABC的周長；(II)求cos(A-C)的值.【答案](I)Vc2=a2ab2-2abcosC=1a4-4x—=4,4??△ABC的周長為aabac=1a2a2=5.(n)vcosc=—4(n)vcosc=—4sinC=4.4asin.4asinC

sinA= c/.cosA='%：1-sin2A=78<15一丁玉~2~~8：a<c，,A<C,故A為銳角，71<15<1511cos(A-C)=cosAcosCacos(A-C)=cosAcosCasinAsinC=84 8 4 16【說明]本題考查三角函數(shù)的基本知識，包括余弦定理、正弦定理、和角差角公式的綜合應用.本題屬于容易題.【試題30](2020年湖北卷理科第16題)g(xg(x)=cosx-f(sinx)asinx?f(cosx),xg(兀,(I)將函數(shù)g(x)化簡成Asin(3x+6+B(A>0,3>0”［0,2n))的形式;(II)求函數(shù)g(x)的值域.【答案】(I)解法1：g(x)=cosx,1-【答案】(I)解法1：g(x)=cosx,1-sinx. +sinx?1+sinx1-cosx1+cosx■(1-sinx)2=cosx?j +sinx?ccos2x(1-cosx)2 1-sinx =cosx sin2xcosx17k12cosx=-cosx,sinx=-sinx.1-cosx+sinx sinx1-sinx,. 1-cosxg(x)=cosx +sinx sinx+cosx-2=v2sin(x+—)-2.TOC\o"1-5"\h\z-cosx -sinx 417n/5兀 兀,5n(II)解法1：由兀<x<，得下<x+<—,12 4 4 3.一，5兀3兀一 3n5兀一 .sint在(--,--］上為減函數(shù)，在(--,—］上為增函數(shù)，42 23..5兀一...5兀一.5兀又sin——<sin一，所以當xg(n,3417n123n 兀 5n，、.］時，恒有sin—<sin(x+)<sin成立，2 4 4即一1<sin(x+—)<-^-，.'一三''2-2<v'2sin(x+—)-2<-3,

4 2 4故g(x)的值域為［7工—2,-3).解法2：:g(x解法2：:g(x)r'2sin(x++2「 5n［兀， )417xG(k，—k］，???gJL乙5n(x)=<2cos(x+—),

45n 17―(—,-tt-14 12f'(x)極小值f(x)極小值5n，、廠人.17 1 ., 1 J2所以得到當x二7時，g(xI：-、2-2；又sin(^兀+4儲<sin(n+4n)=-F,.., 1故、'2sin(兀+-n)-2=-3,因此函數(shù)g(x)的值域為［f；2-2,-3).【說明】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換、周期性、單調(diào)性和最值等基本知識和運算能力.本題屬于中等題.【試題31］(2020年湖北卷理科第18題)如圖，在三棱錐V-ABC中，VC1底面ABC,AC1BC,D是AB的中點，且AC=BC=a,八 71zvdc=o(0<e<-2).(I)求證：平面VAB1平面VCD；

(II)當角9變化時，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍.【答案]解法1：(I)VAC=BC=a，二AACB是等腰三角形，又D是AB的中點，,CD1AB.又VC1底面ABC，,VC1AB,于是AB1平面VCD,又ABu平面VAB，二平面VAB1平面VCD.(II)過點C在平面VCD內(nèi)作CH1VD于H，則由(1)知CH1平面VAB.連接BH，于是ZCBH就是直線BC與平面VAB所成的角.在RtACHD中，CH=上2asin9；2設(shè)ZCBH=甲，在RtABHC中，CH=asin①，/. sin9=sin^.?0<9<n,TOC\o"1-5"\h\z2 2_2一n- n??0<sin9<1,0<sin中<——.又0<^<—,??0<甲<—.2 2 4即直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為(0,：).解法2：(I)以CA、CB、CV所在的直線分別為x軸、aa <2 -直角坐標系,則C(0,0,0)，4a,0,0)，B(0,a,0),D(2,2,0)，V(0,0萬atan9)，uuraaJ2 uuraauur于是VD=(—,—, atan9),CD=(—,—,0),AB=(—a,a,0).\o"CurrentDocument"22 2 22uuruur aa1 1從而AB-CD=(—a,a,0)?(-,-,0)=——a2+a2+0=0，即AB1CD.22 _2 2uuruur aa ：2 1 1同理AB-VD=(—a,a,0)?(—,—,—atan9)=——a2+a2+0=0，即AB1VD.22 2 2 2又CDIVD=D，二AB1平面VCD.又ABu平面VAB,???平面VAB1平面VCD.uuruurn-AB=0,n-VD=0,一ax+ay=0,a a 近 八八—x+—y aztan9=0.〔2 2 2可取n=uuruurn-AB=0,n-VD=0,一ax+ay=0,a a 近 八八—x+—y aztan9=0.〔2 2 2可取n=(1,1,氏cot9)uur又BC=(0,-a,0),于是sin①=1uurn-BC,

uur|=InIIBCIa-\-2+2cot29…n 2?.?0<9<—，,0<sin9V1,0<sin中<——2 2/.0<甲<—.4=——sin9,2即直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為(0,：).【說明】本題考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識.考查應用向量知識解決數(shù)學問題的能力.本題屬于容易題.【試題32](2020年湖北卷理科第17題)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢

建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度%(單位：cm)滿足關(guān)系：C(%)= (0<%<10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元.設(shè)f(%)為隔熱層建3%+5造費用與20年的能源消耗費用之和.(I)求k的值及f(%)的表達式；(II)隔熱層修建多厚時，總費用f(%)達到最小，并求最小值.【解題思路與方法】首先在C(%)的表達式中，令%=0，求出常數(shù)k，得到每年的能源消耗費用函數(shù)C(%).然后分別寫出隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用的表達式，得到f(%).再利用導數(shù)或均值不等式求出f(%)的最小值點與最小值.解：(I)設(shè)隔熱層厚度為%cm,由題設(shè)，每年能源消耗費用為C(%)= ,3%+5再由C(。)=8,得k=40,因此C(%)=恚.而建造費用為Ci(%)=6%.最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為20C(%)+C(%)=20x-^0-+6%=-800-+6%(0<%<10).(II)f(%)=由平均值不等式有:1 3(II)f(%)=由平均值不等式有:-800-+6%=-800-+2(3%+5)-10>2/'-800-x2(3%+5)-10=703%+5 3%+5 \'3%+5當且僅當幽-=2(3%+5)即%=5時，等式成立，此時函數(shù)f(%)取得最小值，最小值3%+5為f(5)=-800-+6x5=70.15+5當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值70萬元.【說明】本題主要考查函數(shù)、導數(shù)及最值等基礎(chǔ)知識.本題屬于容易題【試題33](2020年湖北卷理科第20題)水庫的蓄水量隨時間而變化，現(xiàn)用才表示時間，以月為單位，年初為起點.根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量(單位：億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為y(t)=I(-12+141-40)e4t+50,0<t<10,(4(t-10)(3t-41)+50, 10<t<12.(I)該水庫的蓄水量小于50的時期稱為枯水期.以i-1<t<i表示第i月份(i=1,2,L,12)，問一年內(nèi)哪幾個月份是枯水期？(I)求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量(取e=2.7計算).【答案](I)①當0<t<10時，y(t)=(-12+141-40)e：t+50<50,化簡得12-14t+40>0,解得t<4,或t>10,又0<t<10,故0<t<4.②當10<t<12時，y(t)=4(t-10)(3t-41)+50<50,化簡得(t-10)(3t-41)<0,解得10<t<，又10<t<12，故10<t<12.3綜上得0<t<4，或10<t<12,故知枯水期為1月，2月，3月，4月，11月，12月共6個月.(II)由(I)知，V(t)的最大值只能在(4,10)內(nèi)達到.+.1 3 1+.由Vf(t)=e4t(--12+-t+4)=—e4t(t+2)(t-8),4 2 4令V'(t)=0，解得t=8(t=-2舍去).當t變化時，V'(t)與V(t)的變化情況如下表：t(4,8)8(8,10)V'(t)+0V(t)一極大值由上表，V(t)在t=8時取得最大值V(8)=8e2+50=108.32(億立方米).故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米.【說明】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識，考查運用導數(shù)知識分析和解決實際問題的能力.本題屬于難題.【試題34](2020年安徽卷理科第20題)工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務(wù)，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果前一個人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個人.現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別為VP2,P3.假設(shè)PjP2，P3,互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨立(I)如果按甲最先、乙次之、丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率若改變?nèi)齻€人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？(II)若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務(wù)的概率依次為％q2,q3,其中埠q2,q3是p「P2,P3的一個排列，求所需派出人員數(shù)目乂的分布列和均值(數(shù)字期望)EX；(III)假定1＞巳＞2＞g，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)字期望)達到最小.【答案](I)無論以怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是(1-q)(1-p2)(1-p3)，所以任務(wù)能被完成的概率與三個人被派出的先后順序無關(guān)，并等于1-(1-p)(1-p)-(1-p)=p+p+p-pp-pp-pp+ppp-(I)當依次派出的三個人各自完成任務(wù)的概率分別為q1，q2,q3時，隨機變量X的分布列為X 1 2 3P q1 (1-q)q2 (1-“(1-q2)所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)學期望)EX是EX=4+2(1-qi)q2+3(1-“(1-q2)=3-2q「q2+%q2.(ni)(方法一)：由(ii)的結(jié)論知，當以甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時，EX=3-2p-p+pp.根據(jù)常理，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值下面證明：對于p1，p2,p3的任意排列q1，q2,q§，都有3-2q-q+qq>3-2p-p+pp(X)事實上，A=(3-2q-q+qq)-(3-2p-p+pp)=2(p1-q)+(p2-q2)-p1p2+q1q2=2(p1-q)+(p2-q2)-(p1-q)p2-q1(p2-q2)=(2-p2)(p1-q)+(1-q1)(p2-q2)>(1-q)t(p1+p2)-(4+q2)]>0即(派)成立.(方法二)：①可將(II)中所求的EX改寫為3-(q「q2)+4q2-4，若交換前兩人的派出順序，則變?yōu)?-(q1+q2)+q1q2-q2.由此可見，當q2>4時，交換前兩人的派出順序可減小均值.②也可將(II)中所求的EX改寫為3-2q1-(1-q1)q2若交換后兩人的派出順序，則變?yōu)?-2q1-(1-q1)q3.由此可見，若保持第一個派出的人選不變，當外>q2時，交換后兩人的派出順序也可減小均值.綜合①②可知，當(q1，q2,q3)=(p1,p2,p3)時，EX達到最小，即完成任務(wù)概率大的人優(yōu)先派出，可減小所需派出人員數(shù)目的均值，這一結(jié)論是合乎常理的.【說明】本題考查相互獨立事件的概率計算，離散型隨機變量及其分布列、均值等基本知識.本題屬于難題.【試題36](2020年湖北卷理科第20題)X2V2設(shè)A、B分別為橢圓—+1=1(a，b>0)的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且a2b2 ——?x=4為它的右準線.

(I)求橢圓的方程；(II)設(shè)P為右準線上不同于點(4,0)的任意一點，若直線AP,BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，證明點B在以MN為直徑的圓內(nèi).【答案】a=2C, roIa=2, l(I)解：依題意得《a2解得1 1從而b=6，—=4, 〔c=1.〔c，…一、一,x2y2故橢圓方程為-+9=1.(II)由(I)得A(-2,0),B(2,0).設(shè)M(x0,y0).:M點在橢圓上，y2=3(4-x2). ①o4 0又M點異于頂點A、B，???-2<x0<2.r由P、A、M三點共線可得P4,Ir2,Iuuur uuorr2,I從而BM=(x0-2,y0),BP=uuuoruuor???BM?BP=2x0ouruur5將①式代入②式化簡得BM.BP=y2-x0).uuurruur???2-x0>0,??.BM?BP>0.于是/MBP為銳角，從而/MBN為鈍角，故點B在以MN為直徑的圓內(nèi).【說明】本題考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力.本題屬于中等題.【試題37](2020年湖北卷理科第19題)在平面直角坐標系xOy中，過定點C(0,p)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交于A、B兩點.(I)若點N是點C關(guān)于坐標原點O的對稱點，求AANB面積的最小值；(I)是否存在垂直于y軸的直線l,使得l被以AC

為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由.【答案】(I)依題意，點N的坐標為N(0,-p)，可設(shè)A(5,甲,B(x2,y2)，直線AB的x2=2py,方程為y=kx+p，與x2=2py聯(lián)立得< 消去y得x2-2pkx-2p2=0.y=kx+p.由韋達定理得x+x=2pk,xx=-2p2. ①1 2 12由①式，得到三角形的面積函數(shù)表達式有以下途徑：方法1:利用弦長公式和三角形面積公式AB=J1+k2Ix-x1=J1+k2?J(x+x)2—4xx=J1+k2?J4p2k2+8p2二2p*；1+k2?、/k2+2,. 2p又由點到直線的距離公式得d=-=L=,1+k2從而S=1?d?IABI=1?2p、1+k2?、卡2+2?2pAABN2 2 1+k2方法2：利用面積和的方式一一一1一.. . .二 : : S=S+S=?2pIx-xI=pIx-xI=p、j(x+x)2-4xxAABN ABCN AACN 2 12 1 2 *1 2 12=p、：'4p2k2+8p2=2p2、.'k2+2,方法3：利用向量形式的三角形面積公式kx+2p kx+2p???kAN=-1 ,k=-2???kANTOC\o"1-5"\h\zx BN x12tanANB=k-k—AN BN—1+kAN,tanANB=k-k—AN BN—1+kAN,kBN(1+k2)xx+2pk(x+x)+4p2 k2+12k2k2+2

k2+1而SAABN\o"CurrentDocument"1uuuruur 1而SAABN=-1AN?BNtanANBI=—[(1+k2)?(-2p2)+4p2(1+k2)]?^2 ^2=2p2\/k2+2,由此可見，當k=0時，(S )=2<2p2.AABNmin(II)假設(shè)滿足條件的直線l：y=a存在，AC的中點為O',l與以AC為直徑的圓相交于點P、Q,PQ的中點為H，則O'H±PQ,O'點的坐標為(x-,gp).

W+(W+(yi-p)2???|OP|=—|ACl=-1|二一|2a-y-p|2i???lPH|2二|OP|2—|O'H|211=-(y2+P2)-(2a-y-p)24i4ip二(a--)y+a(p-a),2i???PQ2=(2|PH|)2=4[(a-。)y+a(p-a)].令a--y—°，得a—，此時|PG|—p為定值，故滿足條件的直線/存在，其方程為y―。，即拋物線的通徑所在的直線.【說明】本題考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)化研究解析幾何問題的思想和方法，以及綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力本題屬于難題.【試題38](2020年湖北卷理科第21題)已知m,n為正整數(shù).(I)用數(shù)學歸納法證明：當x〉-1時，(1+x)m>1+mx；對于n>6,已知(1 )n<一，求證(1 )n<(―)m,m=1,2,L,n;n+3 2 n+3 2(III)求出滿足等式3n+4n+L+(n+2)n=(n+3)n的所有正整數(shù)n.【答案](I)證：用數(shù)學歸納法證明：(i)當m=1時，原不等式成立；當m=2時，左邊=1+2x+x2，右邊=1+2x,因為x2>0，所以左邊>右邊，原不等式成立；(ii)假設(shè)當m=k時，不等式成立，即(1+x)k>1+kx，則當m=k+1時，:x〉-1,???1+x>0.于是在不等式(1+x)k>1+kx兩邊同乘以1+x得(1+x)k-(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以(1+x)k+1>1+(k+1)x,即當m=k+1時，不等式也成立.綜合(i)、(ii)知，對一切正整數(shù)m，不等式都成立.于是(1---)n<(1-

n+3TOC\o"1-5"\h\z(II)證：當n>6,m<n時，由(I)得(1-—1—)m>1-m>0,n于是(1---)n<(1-

n+3 )mn=[(1 )n]m<(―)m,m=1,2,L,n.n+3 n+3 2(I)解：由(I)知，當n>6時，2 , n<—+(—)2+L+(—)n=1— <1,(1 <—+(—)2+L+(—)n=1— <1,n+3 n+3 n+3.,n+2 n+1 3、1??( )n+( )n+L+( )n<1,n+3 n+3 n+3即3n+4n+L+(n+2)n<(n+3)n.即當n>6時，不存在滿足該等式的正整數(shù)n.故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形：當n=1時，3豐4，等式不成立；當n—2時，32+42=52，等式成立；當n―3時，33+43+53—63，等式成立；當n—4時，34+44+54+64為偶數(shù)，而74為奇數(shù)，故34+44+54+64豐74,等式不成立；當n=5時，同n=4的情形可分析出，等式不成立.綜上，所求的n只有n=2,3.【說明】本題考查數(shù)學歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識，考查觀察、猜測等數(shù)學方法的運用以及方程思想.本題屬于難題.【試題39](2020年湖北卷理科第21題)設(shè)％=3是函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)e3-x(xgR)的一個極值點.(I)求a與b的關(guān)系(用a表示b)，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)設(shè)a〉0，g(x)=(a2+至)ex.若存在&,〈g［0,4］使得If?)-g(m)1<1成立，求a的4 1 2 1 2取值范圍.【答案］(I)f'(x)=-x2+(a-2)x+b-ae3-x.由f'(3)=0得b=-2a-3.所以f(x)=(x2+ax-2a-3)e3-x,f'(x)=-［x2+(a-2)x-3a-3］e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.令f'(x)=0得x=3,x=-a-1.由于x=3是f(x)的極值點，故xwx,即aw-4.TOC\o"1-5"\h\z當a<-4時，x<x.故f(x)在(18,+3］上為減函數(shù)，在［3,-a-1］上為增函數(shù)，在［-a-1,+s)上為減函數(shù)；1 2當a>-4時，x>x.故f(x)在(-8,-a-1］上為減函數(shù)，在［-a-1,3］上為增函數(shù)，在［3,+s)上為減函數(shù).1 2(II)解法1：(順向思考方法)當a>0時，-a-1<0,故f(x)在［0,3］上為增函數(shù)，在［3,4］上為減函數(shù),因此f(x)在［0,4］上的值域為［min{f(0),f(4)},f(3)］=［-(2a+3)e3,a+6一.25 ［ 25 25 -而g(x)=(a2+學ex在［0,4］上為增函數(shù)，所以值域為a2+y,(a2+-4)e4.25 1注意到(a2+)—(a+6)=(a--)2>0，故由假設(shè)知4 2,(a2吟)-(a+6)<1,解得0<a<I.故a的取值范圍是(0,|).a>0.(I)解法2：(逆向思考方法)”存在〈「%g［0,4］使得|f(〈J-g(〈2)<1成立”的否定是“對任意的x,tg［0,4］,都有|f(x)-g(t)|>1成立"，同解法1的推理可得到f(0)-g(4)<f(x)-g(x)<f(3)-g(0).從而應有Jf(0)-g(4)l>在a>0的前提下，可解得a>3,Ilf(3)-g(0)l>1. 2

故取補集可得問題(II)所求a的取值范圍為(0,2).【說明】本題將函數(shù)與不等式有機整合，主要考查函數(shù)的單調(diào)性和值域的概念，圍繞著這個概念，重點考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值的求法.考點涉及到復合函數(shù)的求導、函數(shù)性質(zhì)、不等式解法、集合關(guān)系等.本題屬于難題.【試題39](2020年湖北卷理科第21題)(1)已知函數(shù)f(x)=lnx-X+1,xg(0,+8)，求函數(shù)f(x)的最大值;(II)設(shè)ak,bk(==1,2,L,n)均為正數(shù)，證明:貝Uab1ab2Labn<1；貝Uab1ab2Labn<1；(2)若b+b+L+b=1,則［<bb1bb2Lbbn<b2+b2+L+b2.1 2 n n1 2n1 2 n【答案](I)解：f(x)的定義域為(0,+8).令f(x)=1-1=0，解得x=1.當0<x<1時，xf(x)>0，所以f(x)在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)；當x>1時，f(x)<0，所以f(x)在(1,+8)內(nèi)是減函數(shù)；故函數(shù)f(x)在x=1處取得最大值f(1)=0.(I)證法1：(1)由(I)知，當xg(0,+8)時，有f(x)<f(1)=0，即lnx<x-1.?/a，b>0，從而有Ina<a-1(k=1,2,L,n)，得bIna<ab-b.求和得X求和得XInabk<Xk=1 k=1-Xbkk=1即ab1ab2Labn<1./.ln(a即ab1ab2Labn<1.TOC\o"1-5"\h\zk=1 k=1(2)①先證bb1bb2Lbbn>—.12nn令a=—(k=1,2,L,n)，則Eab=X1=1=Xb,knb kkn kk k=1 k=1 k=111 1 1<nb1+b2+L+bn于是由(1)得(<nb1+b2+L+bnnbnbnb bb1bb2Lbbn1 2 n 1 2n???bb1bb2Lbbn>-.12nn②再證bb1bb2Lbbn<b2+b2+L+b2.1 2n1 2 n記S=Xb2，令a=匕(k=1,2,L,n),則Eab=1Xb2=1=Xb,kkS kkSk kk=1 k=1 k=1 k=1于是由(1)得(S-)b1(-S2-)b2L(-nr兒<1,即bb1bb2Lbbn<Sb1+b2+l+bn=S,Abb1bb2Lbbn<b2+b2+L+b2.1 2n 1 2n1 2 n綜合①②，(2)得證.證法2：(1)由(I)知，當xg(0,+8)時，有f(x)<f(1)=0，即lnx<x-1.因為a>0(k=1,2,L,n)，所以lna<a-1(k=1,2,L,n).又由ab+ab+L+ab<b+b+L+b，得b(a.-1)+b(a-1)+L+b(a-1)<0.于是由b>0(k=1,2,Lnn),1可得n11 22 ""kln(ab1ab2Labn)=blna+blna+L+blna即ab1ab2Labn<1.<b(a-1)+b(即ab1ab2Labn<1.(2)①先證b4bb2Lbbn>—.12nn由(I)知，當xg(0,+8)時，有f(x)<f(1)=0，即lnx<x-1.所以當xg(0,+8)時，有l(wèi)n—<工-1,即lnx>1--.從而由nb>0(k=1,2,L,n)，有Innb>1-1nbk=1所以ln(bb1bb2Lbbn)+lnn=bInb+bInb+L+bInb+(b+b+1nbk=1所以ln(bb1bb2Lbbn)+lnn=bInb+bInb+L+bInb+(b+b+L+b)lnn12n112 2nn12=b(Inb+Inn)+b(Inb+Inn)+L+b(Inb+Inn)=bInnb+bInnb+L+bInnb11>b(1---nb122 n11)+b(1 )+L+b(1-—nb nnb2 n)=b+b+L+b-1=0，nn即ln(bb1bb2L②再證bb1bb21 2bbn)>-lnn=ln—，故bb1bb2Lbbn>—.Lbbn<b2+b2+L記S=工b2，則同前可得lnb<kk=112nn+b2.nb—k—1(k=1,2,L,n)，S于是于是ln(bb1bb2Lbbn)-InS=bInb+bInb+L+bInb-(b+b+L+b)lnSTOC\o"1-5"\h\z12n 1 1 2 2 nn1 2 nbb b=b(lnb-lnS)+b(lnb-lnS)+Lb(lnb-lnS)=blnr+bln2-+Lbln-n-1 1 2 2 nn 1S2SnS<b(b-1)+b(b-1)+L+b(b-1)=L(b2+b2+Lb2)-(b+b+L+b)1S2S nSS1 2 -12n=1-1=0，即ln(b4bb2Lbbn)-lnS<0，故bb1bb2Lbbn<b2+b2+L+b212n綜合①②，（2）得證.【說明】本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，同時考查考查綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想.本題屬于難題.

二、選考內(nèi)容題型示例【試題1】（2020年廣東卷理科第14題）（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為卜="5；0s°（0<6<力和[y=sin°2\ 4（teR），它們的交點坐標為.、y=t"5【答案】（1,仝）5【試題2】（2020年陜西卷理科第15題）（坐標系與參數(shù)方程選做題）直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)點a，b分別在曲線g：F=3+c0s°（°為參數(shù)）和曲線C:p=1上，則同|1[y=4+sin° 2的最小值為.【答案】3【試題3】（2020年陜西卷理科第15題）（幾何證明選做題）如圖，/B=/D,AE1BC,/ACD=90o，且AB=6,AC=4,AD=12，則BE=4<2.【試題4】（2020年廣東卷理科第15題）（幾何證明選講）如圖，過圓。外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB=7，C是圓上一點使得BC=5，/BAC=/APB，則AB=.【答案】、玉文科題型示例一、選擇題：在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項【試題1】（2020年湖北卷文科第1題）已知U={1,2,3,4,5,6,7,8} ，