建模案例-應(yīng)急設(shè)施的選址問題

314253233220332500313433523440120130203230004310421234561234567891011應(yīng)急設(shè)施的選址問題

1985年每個長方形街區(qū)出現(xiàn)緊急事件的次數(shù)，在北邊的L形街區(qū)有一個障礙,而在南邊的長方形區(qū)域是一個有淺水池塘的公園。應(yīng)急車輛駛過一條南北向的街區(qū)平均要花15s，通過一條東西向的街區(qū)平均要花20s，確定這兩個應(yīng)急設(shè)施的位置，使得總的響應(yīng)時間最少。（1）假設(shè)應(yīng)急需求集中在每個街區(qū)的中心，而應(yīng)急設(shè)施位于街角處；（2）假設(shè)應(yīng)急需求沿包圍每個街區(qū)的街道是均勻分布的，而應(yīng)急設(shè)施可以位于街道的任何地方。

里奧蘭翹鎮(zhèn)迄今還沒有自己的應(yīng)急設(shè)施。1986年該鎮(zhèn)得到了建立兩個應(yīng)急設(shè)施的安全撥款。每個設(shè)施將救護站、消防隊和警察局合在一起。圖中指出了

一、假設(shè)1.兩個障礙中均不需要應(yīng)急服務(wù)；2.各年的應(yīng)急事件的數(shù)目比較小，不會同時發(fā)生兩個事件；3.忽略車輛拐彎和過十字街口的時間，僅考慮沿街道運行的時間；4.當(dāng)連接兩點的不同路徑所用的時間相同時，路徑可任選其一；5.未來的需求分布不會與現(xiàn)在的需求相差太遠；6.兩個應(yīng)急設(shè)施在處理緊急事件時，能力和效率相同，可任選一個；二、分析與建模為了使應(yīng)急車輛的平均響應(yīng)時間取得極小，必須有一個方法去確定網(wǎng)格中任意兩點的運行時間，令和分別表示網(wǎng)格中兩點東西向和南北向坐標。一般地說，P1和P2兩點之間的運行時間就是這兩點之間東西向和南北向行駛時間之和。兩點之間的運行時間，可按下列方法計算：1.P1與P2不在同一行也不在同一列時2.P1與P2在相同行時3.P1與P2在相同列時因為在遇到障礙時車輛可能運行額外的距離，故在有障礙的網(wǎng)格中，上面的計算公式必須給以修正。先考慮長方形的障礙，一個障礙至少應(yīng)含有兩個街區(qū)的寬度或長度。這時東西走向的運行時間沒有改變，南北向的修正時間就是分別從南邊或北邊繞過障礙的時間減去原來南北向運行時間后取較小的一個。P1與P2之間的修正時間為：－（無障礙時南北向運行距離）兩點位于障礙的南北向兩側(cè)陰影的修正時間與上面類似。下面討論有L形障礙時修正時間的計算問題。小L邊當(dāng)一個點不在小L邊的周界上時，修正時間可以用前面給出的長方形障礙的修正公式計算。當(dāng)一個點位于小L邊的周界上時，另一個點位于陰影區(qū)域中任何一點時都需要進行修正。小L邊修正算法的基本思想是，先沿L從兩個方向運行，取最快的路徑，再減去原來的相應(yīng)部分以避免重復(fù)，修正算法分別考慮一個點位于小L邊的豎直部分或水平部分，而另一個點位于a,b,c,d,e五個區(qū)域的情況。314253233220332500313433523440120130203230004310421234561234567891011模型1設(shè)應(yīng)急服務(wù)的需求位于各街區(qū)的中心，且應(yīng)急設(shè)施必須位于街道的交叉點，因該鎮(zhèn)有66個交叉點，這意味著兩個應(yīng)急設(shè)施有66×65＝4110種可能的位置。該鎮(zhèn)有50個街區(qū)，即有50個可能出現(xiàn)緊急事件的位置，故可以通過試驗各種可能的情形求出最小的響應(yīng)時間。模型2設(shè)應(yīng)急服務(wù)的需求沿各街區(qū)的街道均勻分布，且應(yīng)急設(shè)施建立在鎮(zhèn)內(nèi)街道的任何點，下面證明兩個結(jié)果，并把問題簡化為離散的情況。定理1若一個應(yīng)急設(shè)施不位于街道的交叉點，則可以通過將該設(shè)施移至一個適當(dāng)?shù)慕徊纥c而減少響應(yīng)時間。定理2設(shè)僅有一個應(yīng)急設(shè)施，緊急需求沿街道均勻分布，且應(yīng)急車輛總是沿著一個固定街口進入這段街道的，則總的響應(yīng)時間與緊急需求集中在街道中點的響應(yīng)時間相同。在定理1，2的基礎(chǔ)上，可以把應(yīng)急需求均勻分布在街段上的連續(xù)分布問題等價地轉(zhuǎn)化為應(yīng)急需求集中在街段中點的離散問題。在某些特殊情況下還須進行修正，若有兩個應(yīng)急設(shè)施，某街段的一部分靠近一個應(yīng)急設(shè)施，而另個部分更靠近另一個應(yīng)急設(shè)施，這時無法把整個街段集中到街段的中心，必須把它分成兩段，其分界點是到兩個應(yīng)急設(shè)施行駛時間相等的點。相應(yīng)地，將服務(wù)需求分為兩部分A和B，使A＋B＝總需求，這樣分解后的需求可以認為分別集中在這兩個子段的中心。這些結(jié)果意味著僅需重新考慮在交叉點上的4110種應(yīng)急設(shè)施的位置，和可能發(fā)生緊急需求的112個街段，這個問題可以通過直接計算解決。三、求解與結(jié)果模型1的5個最好位置如下P1(4,5)(4,5)(4,5)(3,5)(4,5)P2(4,9)(4,10)(3,9)(4,9)(3,10)平均響應(yīng)時間（S）47.047.547.647.747.7模型2的5個最好位置如下P1(4,5)(4,4)(4,5)(3,5)(4,5)P2(4,9)(4,9)(3,10)(4,9)(3,9)平均響應(yīng)時間（S）47.047.047.147.247.21.最優(yōu)解2.解的穩(wěn)定性假設(shè)緊急需求隨時間隨機地變化，從長期看，各街區(qū)的平均需求差別不大，除障礙區(qū)的需求為零外，設(shè)各街區(qū)的需求數(shù)都是1，