建模案例-應(yīng)急設(shè)施的選址問題

314253233220332500313433523440120130203230004310421234561234567891011應(yīng)急設(shè)施的選址問題

1985年每個長方形街區(qū)出現(xiàn)緊急事件的次數(shù)，在北邊的L形街區(qū)有一個障礙,而在南邊的長方形區(qū)域是一個有淺水池塘的公園。應(yīng)急車輛駛過一條南北向的街區(qū)平均要花15s，通過一條東西向的街區(qū)平均要花20s，確定這兩個應(yīng)急設(shè)施的位置，使得總的響應(yīng)時(shí)間最少。（1）假設(shè)應(yīng)急需求集中在每個街區(qū)的中心，而應(yīng)急設(shè)施位于街角處；（2）假設(shè)應(yīng)急需求沿包圍每個街區(qū)的街道是均勻分布的，而應(yīng)急設(shè)施可以位于街道的任何地方。

里奧蘭翹鎮(zhèn)迄今還沒有自己的應(yīng)急設(shè)施。1986年該鎮(zhèn)得到了建立兩個應(yīng)急設(shè)施的安全撥款。每個設(shè)施將救護(hù)站、消防隊(duì)和警察局合在一起。圖中指出了

一、假設(shè)1.兩個障礙中均不需要應(yīng)急服務(wù)；2.各年的應(yīng)急事件的數(shù)目比較小，不會同時(shí)發(fā)生兩個事件；3.忽略車輛拐彎和過十字街口的時(shí)間，僅考慮沿街道運(yùn)行的時(shí)間；4.當(dāng)連接兩點(diǎn)的不同路徑所用的時(shí)間相同時(shí)，路徑可任選其一；5.未來的需求分布不會與現(xiàn)在的需求相差太遠(yuǎn)；6.兩個應(yīng)急設(shè)施在處理緊急事件時(shí)，能力和效率相同，可任選一個；二、分析與建模為了使應(yīng)急車輛的平均響應(yīng)時(shí)間取得極小，必須有一個方法去確定網(wǎng)格中任意兩點(diǎn)的運(yùn)行時(shí)間，令和分別表示網(wǎng)格中兩點(diǎn)東西向和南北向坐標(biāo)。一般地說，P1和P2兩點(diǎn)之間的運(yùn)行時(shí)間就是這兩點(diǎn)之間東西向和南北向行駛時(shí)間之和。兩點(diǎn)之間的運(yùn)行時(shí)間，可按下列方法計(jì)算：1.P1與P2不在同一行也不在同一列時(shí)2.P1與P2在相同行時(shí)3.P1與P2在相同列時(shí)因?yàn)樵谟龅秸系K時(shí)車輛可能運(yùn)行額外的距離，故在有障礙的網(wǎng)格中，上面的計(jì)算公式必須給以修正。先考慮長方形的障礙，一個障礙至少應(yīng)含有兩個街區(qū)的寬度或長度。這時(shí)東西走向的運(yùn)行時(shí)間沒有改變，南北向的修正時(shí)間就是分別從南邊或北邊繞過障礙的時(shí)間減去原來南北向運(yùn)行時(shí)間后取較小的一個。P1與P2之間的修正時(shí)間為：－（無障礙時(shí)南北向運(yùn)行距離）兩點(diǎn)位于障礙的南北向兩側(cè)陰影的修正時(shí)間與上面類似。下面討論有L形障礙時(shí)修正時(shí)間的計(jì)算問題。小L邊當(dāng)一個點(diǎn)不在小L邊的周界上時(shí)，修正時(shí)間可以用前面給出的長方形障礙的修正公式計(jì)算。當(dāng)一個點(diǎn)位于小L邊的周界上時(shí)，另一個點(diǎn)位于陰影區(qū)域中任何一點(diǎn)時(shí)都需要進(jìn)行修正。小L邊修正算法的基本思想是，先沿L從兩個方向運(yùn)行，取最快的路徑，再減去原來的相應(yīng)部分以避免重復(fù)，修正算法分別考慮一個點(diǎn)位于小L邊的豎直部分或水平部分，而另一個點(diǎn)位于a,b,c,d,e五個區(qū)域的情況。314253233220332500313433523440120130203230004310421234561234567891011模型1設(shè)應(yīng)急服務(wù)的需求位于各街區(qū)的中心，且應(yīng)急設(shè)施必須位于街道的交叉點(diǎn)，因該鎮(zhèn)有66個交叉點(diǎn)，這意味著兩個應(yīng)急設(shè)施有66×65＝4110種可能的位置。該鎮(zhèn)有50個街區(qū)，即有50個可能出現(xiàn)緊急事件的位置，故可以通過試驗(yàn)各種可能的情形求出最小的響應(yīng)時(shí)間。模型2設(shè)應(yīng)急服務(wù)的需求沿各街區(qū)的街道均勻分布，且應(yīng)急設(shè)施建立在鎮(zhèn)內(nèi)街道的任何點(diǎn)，下面證明兩個結(jié)果，并把問題簡化為離散的情況。定理1若一個應(yīng)急設(shè)施不位于街道的交叉點(diǎn)，則可以通過將該設(shè)施移至一個適當(dāng)?shù)慕徊纥c(diǎn)而減少響應(yīng)時(shí)間。定理2設(shè)僅有一個應(yīng)急設(shè)施，緊急需求沿街道均勻分布，且應(yīng)急車輛總是沿著一個固定街口進(jìn)入這段街道的，則總的響應(yīng)時(shí)間與緊急需求集中在街道中點(diǎn)的響應(yīng)時(shí)間相同。在定理1，2的基礎(chǔ)上，可以把應(yīng)急需求均勻分布在街段上的連續(xù)分布問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為應(yīng)急需求集中在街段中點(diǎn)的離散問題。在某些特殊情況下還須進(jìn)行修正，若有兩個應(yīng)急設(shè)施，某街段的一部分靠近一個應(yīng)急設(shè)施，而另個部分更靠近另一個應(yīng)急設(shè)施，這時(shí)無法把整個街段集中到街段的中心，必須把它分成兩段，其分界點(diǎn)是到兩個應(yīng)急設(shè)施行駛時(shí)間相等的點(diǎn)。相應(yīng)地，將服務(wù)需求分為兩部分A和B，使A＋B＝總需求，這樣分解后的需求可以認(rèn)為分別集中在這兩個子段的中心。這些結(jié)果意味著僅需重新考慮在交叉點(diǎn)上的4110種應(yīng)急設(shè)施的位置，和可能發(fā)生緊急需求的112個街段，這個問題可以通過直接計(jì)算解決。三、求解與結(jié)果模型1的5個最好位置如下P1(4,5)(4,5)(4,5)(3,5)(4,5)P2(4,9)(4,10)(3,9)(4,9)(3,10)平均響應(yīng)時(shí)間（S）47.047.547.647.747.7模型2的5個最好位置如下P1(4,5)(4,4)(4,5)(3,5)(4,5)P2(4,9)(4,9)(3,10)(4,9)(3,9)平均響應(yīng)時(shí)間（S）47.047.047.147.247.21.最優(yōu)解2.解的穩(wěn)定性假設(shè)緊急需求隨時(shí)間隨機(jī)地變化，從長期看，各街區(qū)的平均需求差別不大，除障礙區(qū)的需求為零外，設(shè)各街區(qū)的需求數(shù)都是1，