202X版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第八章立體幾何初步第3節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理課件文北師大版

第3節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理最新考綱1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義；2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.知

識(shí)

梳

理1.空間圖形的公理(1)公理1：如果一條直線上的_____在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)).(2)公理2：經(jīng)過_________________的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面).(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有_____公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線.兩點(diǎn)不在同一條直線上一個(gè)(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面.推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.(5)等角定理空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角_____________.相等或互補(bǔ)2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言符號(hào)語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語言

符號(hào)語言a，b是異面直線aα

3.異面直線所成的角 (1)定義：過空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(a∥l1，b∥l2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角.[微點(diǎn)提醒]1.空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).2.異面直線的判定：經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線.3.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.基

礎(chǔ)

自

測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線.(

)(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面.(

)(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.(

)(4)若直線a不平行于平面α，且aα，則α內(nèi)的所有直線與a異面.(

)解析(1)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，故錯(cuò)誤.(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面相交或重合，故錯(cuò)誤.(4)由于a不平行于平面α，且aα，則a與平面α相交，故平面α內(nèi)有與a相交的直線，故錯(cuò)誤.答案(1)×

(2)√

(3)×

(4)×2.(必修2P28A4改編)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成角的大小為(

)A.30° B.45°C.60° D.90°解析連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.答案

C3.(必修2P26例1改編)已知空間四邊形的兩條對(duì)角線相互垂直，順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形一定是(

) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形解析如圖所示，易證四邊形EFGH為平行四邊形，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，又FG∥BD，所以∠EFG或其補(bǔ)角為AC與BD所成的角，而AC與BD所成的角為90°，所以∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形.答案B4.(2019·萍鄉(xiāng)調(diào)研)α是一個(gè)平面，m，n是兩條直線，A是一個(gè)點(diǎn)，若mα，nα，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不可能是(

)A.垂直 B.相交 C.異面 D.平行解析依題意，m∩α＝A，nα，∴m與n異面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.答案

D5.(一題多解)(2017·全國Ⅰ卷)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(

)解析法一

對(duì)于選項(xiàng)B，如圖(1)所示，連接CD，因?yàn)锳B∥CD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB平面MNQ，MQ面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可證選項(xiàng)C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A項(xiàng)中直線AB與平面MNQ不平行.圖(1)圖(2)法二

對(duì)于選項(xiàng)A，其中O為BC的中點(diǎn)(如圖(2)所示)，連接OQ，則OQ∥AB，因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn)，所以AB與平面MNQ有交點(diǎn)，即AB與平面MNQ不平行.答案A6.(2018·西安調(diào)研)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條.解析在EF上任意取一點(diǎn)M，如圖，直線A1D1與M確定一個(gè)平面，這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N，當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn).故在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有無數(shù)條.答案無數(shù)考點(diǎn)一空間圖形的公理及應(yīng)用【例1】

如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn).求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn).證明(1)如圖，連接CD1，EF，A1B，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)，又因?yàn)锳1D1綊BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形.所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF與CD1確定一個(gè)平面α.所以E，F(xiàn)，C，D1∈α，即E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面.所以四邊形CD1FE是梯形，所以CE與D1F必相交.設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈CE

平面ABCD，且P∈D1F平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.又因?yàn)槠矫鍭BCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA三線共點(diǎn).規(guī)律方法

1.證明點(diǎn)或線共面問題的兩種方法：(1)首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.2.證明點(diǎn)共線問題的兩種方法：(1)先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；(2)直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線(如某兩個(gè)平面的交線)上.3.證明線共點(diǎn)問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).【訓(xùn)練1】

如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線.證明(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD.∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn).又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點(diǎn)共線.考點(diǎn)二判斷空間直線的位置關(guān)系【例2】(1)(一題多解)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是(

)A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條相交D.l至少與l1，l2中的一條相交(2)將圖(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線AD折起得到空間四面體ABCD，如圖(2)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是(

)A.相交且垂直 B.相交但不垂直C.異面且垂直 D.異面但不垂直解析(1)法一由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交.若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線矛盾.故l至少與l1，l2中的一條相交.法二如圖(1)，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖(2)，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確.(2)折起前AD⊥BC，折起后有AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.又AD與BC不相交，故AD與BC異面且垂直.答案(1)D

(2)C規(guī)律方法

1.異面直線的判定方法：(1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面.(2)定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線.2.點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.【訓(xùn)練2】(1)(2019·湘潭調(diào)研)下圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有(

)A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④(2)已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則(

)A.m與n異面B.m與n相交C.m與n平行D.m與n異面、相交、平行均有可能解析(1)由題意，可知題圖①中，GH∥MN，因此直線GH與MN共面；題圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；題圖③中，連接MG，則GM∥HN，因此直線GH與MN共面；題圖④中，連接GN，G，M，N三點(diǎn)共面，但H?平面GMN，所以直線GH與MN異面.故選C.(2)在如圖所示的長方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯(cuò)誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯(cuò)誤.故選D.答案(1)C

(2)D考點(diǎn)三異面直線所成的角

多維探究角度1求異面直線所成的角或其三角函數(shù)值答案

C角度2由異面直線所成角求其他量【例3－2】

在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn).若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1，則EF的長為________.解析如圖，取BC