2021-2022學(xué)年湖南省株洲市攸縣第四中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年湖南省株洲市攸縣第四中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若復(fù)數(shù)滿足，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C2.已知實(shí)數(shù)﹣1，x，y，z，﹣4成等比數(shù)列，則xyz=（）A．﹣8 B．±8 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得y2=xz=（﹣1）（﹣4），解方程易得答案．【解答】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得y2=xz=（﹣1）（﹣4），解得xz=4，y=﹣2，（y=2時，和x2=﹣y矛盾），∴xyz=﹣8．故選：A3.（5分）把函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)為（）A．y=sin（2x﹣），x∈RB．y=sin（2x+），x∈RC．y=sin（+），x∈RD．y=sin（x﹣），x∈R參考答案：C【考點(diǎn)】：向量的物理背景與概念．【專題】：計(jì)算題．【分析】：先根據(jù)左加右減的性質(zhì)進(jìn)行平移，再根據(jù)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍時w的值變?yōu)樵瓉淼谋?，得到答案．解：向左平移個單位，即以x+代x，得到函數(shù)y=sin（x+），再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，即以x代x，得到函數(shù)：y=sin（x+）．故選C．【點(diǎn)評】：本題主要考查三角函數(shù)的平移變換．屬基礎(chǔ)題．4.在△ABC中,已知,,△ABC的面積為,則=（☆）A.

B.

C.

D.參考答案：C5.函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為(

)

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B6.設(shè)集合，則（

）A． B． C．

D．參考答案：B略7.過點(diǎn)，且橫、縱截距的絕對值相等的直線的條數(shù)為

（

）A.1

B.

2

C.3

D.4參考答案：C略8.已知，且，則向量等于（

）A

B

C

D參考答案：D略9.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的值為（

）A．

B．-1C．

D．1參考答案：B略10.關(guān)于函數(shù)，下列敘述有誤的是(

）A.其圖象關(guān)于直線對稱B.其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.其值域是[－1,3]D.其圖象可由圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫絽⒖即鸢福築【分析】利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐個判斷各個選項(xiàng)是否正確，從而得出?！驹斀狻慨?dāng)時，，為函數(shù)最小值，故A正確；當(dāng)時，，，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，不關(guān)于點(diǎn)對稱，故B錯誤；函數(shù)的值域?yàn)閇－1,3]，顯然C正確；圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫?，故D正確。綜上，故選B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，牢記正弦函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，則A∩Z中元素的個數(shù)為

▲

．參考答案：412.如圖，△ABC中，，，，D是BC的中點(diǎn)，則的值為

．參考答案：13.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且，則=

▲

．參考答案：9

略14.設(shè)函數(shù)，①函數(shù)在R上有最小值；②當(dāng)b＞0時，函數(shù)在R上是單調(diào)增函數(shù)；③函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對稱；④當(dāng)b＜0時，方程有三個不同實(shí)數(shù)根的充要條件是b2＞4|c|．則上述命題中所有正確命題的序號是

．參考答案：②③④15.已知函數(shù)f（x）＝lnx－ax的圖象在x＝1處的切線與直線2x＋y－1＝0平行，則實(shí)數(shù)a的值為___________.參考答案：3試題分析：因?yàn)樵谔幍膶?dǎo)數(shù)值為在處切線的斜率，又因?yàn)?，所以考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求切線.16.命題“，”的否定為

▲

．參考答案：略17.【文科】若函數(shù)滿足，且，則

_.參考答案：令，則，所以由得，即，即數(shù)列的公比為2.不設(shè)，則有，所以由，即，所以。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）在一個盒子中，放有大小相同的紅、白、黃三個小球，現(xiàn)從中任意摸出一球，若是紅球記1分，白球記2分，黃球記3分．現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后摸出兩球，所得分?jǐn)?shù)分別記為、，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，記．（I）求隨機(jī)變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（Ⅱ）求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【知識點(diǎn)】古典概型；離散型隨機(jī)變量的分布列；數(shù)學(xué)期望.

K2

K6

K8（I）的最大值為，取得最大值的概率；（Ⅱ）則隨機(jī)變量的分布列為：

…

數(shù)學(xué)期望為2.解析：（I）、可能的取值為、、，………1分，，，且當(dāng)或時，．因此，隨機(jī)變量的最大值為………………3分有放回摸兩球的所有情況有種……6分

（Ⅱ）的所有取值為．時，只有這一種情況．時，有或或或四種情況，時，有或兩種情況．，，………………8分

則隨機(jī)變量的分布列為：

………………10分

因此，數(shù)學(xué)期望………………12分【思路點(diǎn)撥】（I）的表達(dá)式為，數(shù)組（x,y）有9個，且x、取值為、、，將x、y的取值代入的表達(dá)式得的最大值，據(jù)此可得取得最大值的概率；（Ⅱ）由（I）的方法可得的所以取值和取各值的概率，從而求得的分布列和數(shù)學(xué)期望．19.已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足不等式的值．參考答案：解：（1）由，得當(dāng)時 ∴，即

，∴（）------3分又，得，

∴，

∴適合上式∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列∴

------------6分（2）∵數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，∴

-----------…9分又∵，∴不等式＜

即得：＞，

∴n=1或n=2

…………12分

略20.（本小題滿分12分）四棱錐P-ABCD,側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形,底面ABCD為菱形,∠BDA=60°(Ⅰ)證明:∠PBC=90°;（Ⅱ）若PB=3,求直線AB與平面PBC所成角的正弦值參考答案：(1)略（Ⅱ）【知識點(diǎn)】空間向量及運(yùn)算G9(1)取AD中點(diǎn)O,連OP.OB,由已知得:OP⊥AD,OB⊥AD,又OP∩OB=O,∴AD⊥平面POB,∵BC∥AD,∴BC⊥平面POB,∵PB?平面POB,∴BC⊥PB,即∠PBC=90°

(2)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(1,0,0),B(0,,0),C(-2,,0),由PO=BO=,PB=3,得∠POB=120°,∴∠POZ=30°,∴P(0,-,),則=(-1,,0),=(-2,0,0),=(0,,-),設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),則,取z=,則n=(0,1,),設(shè)直線AB與平面PBC所成的角為θ,則sinθ=|cos<,n>|=

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線面垂直證明直角，利用空間向量求出法向量求出正弦值。21.（本小題滿分13分）國際上鉆石的重量計(jì)量單位為克拉，已知某種鉆石的價值v（美元）與其重量w（克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54000美元。

（I）寫出v關(guān)于w的函數(shù)關(guān)系式；

（II）若把一顆鉆石切割成重量比為1：x（）的兩顆鉆石，價值損失的百分率為y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（III）試證明：把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時，按重量比為1：1切割，價值損失的百分率最大。

（注：價值損失的百分率=×100%，在切割過程中的重量損耗忽略不計(jì)）

參考答案：

略22.（本小題滿分14分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是與的等差中項(xiàng)（）.（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在正整數(shù)，使不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以（），即，（）

……………2分由此得（），…………4分又，所以（），

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.

……………6分（2）由（1）得，即（），……………7分