4.第20課時 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（PPT）

第20課時銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用第四章三角形考點特訓(xùn)營

考點精講銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用銳角三角函數(shù)直角三角形的邊角關(guān)系解直角三角形的實際應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義特殊角的三角函數(shù)值的記憶法圖表記憶法規(guī)律記憶法在Rt△ABC中，∠C為直角，三邊長分別為a，b，c常見的類型和解法在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A為△ABC中的一銳角，則有：∠A的正弦：sinA=①_____∠A的余弦：cosA=②_____∠A的正切：tanA＝③_____

α三角函數(shù)30°45°60°sinα④___⑤___cosα⑥___⑦___tanα⑧___130°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次為1，

；30°,45°,60°角的余弦值是60°，45°，30°角的正弦值三邊關(guān)系：勾股定理：⑨______________三角關(guān)系：∠A+∠B＝∠C=90°邊角間關(guān)系：sinA=cosB=;cosA=sinB=；tanA=;tanB=面積關(guān)系：S△ABC=⑩________=ch(h為斜邊AB上的高)a2＋b2＝c2ab已知條件圖形解法已知一直角邊和一銳角（a，∠A）∠B=90°-∠A，c=asinA，b=________（或b=）已知條件圖形解法已知斜邊和一個銳角（c，∠A）∠B=90°－∠A，a=c·________，b=c·cosA（或b=）sinA已知條件圖形解法已知兩直角邊（a，b）c=，由tanA=求∠A，∠B=90°-∠A已知條件圖形解法已知斜邊和一條直角邊（c，a）b=，由sinA=求∠A，∠B=__________90°－∠A概念圖示定義仰角、俯角視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角概念圖示定義坡度（坡比）、坡角坡面的垂直高度h與水平寬度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面與水平面的夾角α叫坡角，i=tanα=概念圖示定義方向角如圖點A、B、C關(guān)于O點的方向角分別是北偏東30°、南偏東60°、北偏西45°(也稱西北方向)

重難點突破解直角三角形的實際應(yīng)用（重點）例某同學(xué)想測量在同一水平面上的甲、乙、丙、丁四棟高樓的高度，樓的頂端記為Ａ，底端記為B．（1）如圖①，在地面Ｃ處放置高度為1m的測角儀CD，測得甲樓樓頂Ａ的仰角為60°，測角儀CD底端C到樓底端B的距離為60m，求甲樓的高度AB.(結(jié)果保留根號)自主作答：例題圖①(1)解：如解圖①，過點D作DE⊥AB于點E，則四邊形DCBE為矩形，∴BE＝DC＝1，DE＝CB＝60，在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，AE＝DE·tan∠ADE＝60·tan60°＝60，∴AB＝AE＋EB＝(60＋1)，答：甲樓的高度AB為(60＋1)m.例題解圖①（2）如圖②，一個熱氣球P在乙樓左側(cè)，熱氣球探測儀顯示，從熱氣球P處看到樓A處的仰角為45°，看到樓底B處的俯角為30°，此時熱氣球P到塔AB的水平距離為60m，求乙樓的高度AB.（結(jié)果保留根號）自主作答：例題圖②(2)解：作PC⊥AB于點C，如解圖②，在Rt△APC中，∠APC＝45°，∴AC＝PC＝60，在Rt△PCB中，∠CPB＝30°，∴BC＝PC·tan∠CPB＝60·tan30°＝60×＝20，∴AB＝AC＋BC＝(60＋20)，答：乙樓的高度AB為(60＋20)m.例題解圖②（3）如圖③，當熱氣球P在丙樓AB左上方時，從熱氣球P處看樓頂A俯角為30°，看樓底B的俯角為60°，此時熱氣球距離地面的高度為150m，求丙樓的高度AB.自主作答：例題圖③(3)解：如解圖③，過點P作PC⊥BA的延長線于點C，在Rt△BPC中，∠BPC＝60°，∴PC=，在Rt△PCA中，∠CPA＝30°，∴AC＝PC·tan∠CPA＝50·tan30°＝50×＝50，∴AB＝BC－AC＝150－50＝100，答：丙樓的高度AB為100m.例題解圖③（4）如圖④，當熱氣球P在丁樓AB左側(cè)時，從熱氣球P處看樓底B的俯角為60°，此時熱氣球P距離樓AB的距離為30m，熱氣球垂直上升50m后到達點P′，此時從熱氣球P′處看樓頂A的俯角為30°，求丁樓的高度AB.（結(jié)果保留根號）自主作答：例題圖④(4)解：如解圖④，過點P′作P′C⊥BA的延長線于點C，作P′D∥PB交AB于點D，例題解圖④P′C＝30，BD＝PP′＝50，在Rt△DP′C中，∠DP′C＝60°，∴CD＝P′C·tan∠CP′D＝30·tan60°＝30，在Rt△P′CA中，∠CP′A＝30°，∴AC＝P′C·tan∠CP′A＝30·tan30°＝30×＝10，∴AB＝BD＋CD－AC＝50＋30－10＝50＋20，答：丁樓的高度AB為(50＋20)m.方法指導(dǎo)在解決實際問題時，常見的基本圖形及相應(yīng)的關(guān)系式如下表所示：圖形關(guān)系式圖形關(guān)系式BD=CE,AC=BC·tanα，AE=AC+CEBC=DC-BD=AD·(tanα-tanβ)圖形關(guān)系式圖形關(guān)系式AB=DE=AE·tanβ,CD=CE+DE=AE·(tanα+tanβ)BD=BC-DC=AC·（）,AG=AC+CG=AC+BE圖形關(guān)系式圖形關(guān)系式BC=BD+DC=AD·（

）BC=BE+EF+CF=BE+AD+CF=AD+h·（

）練習(xí)（2019南京一模）為了測量校園內(nèi)旗桿AB的高度，小明和小麗同學(xué)分別采用了如下方案：（1）小明的方案：如圖①，小明在地面上點C處觀測旗桿頂部，測得仰角∠ACB=45°，然后他向旗桿反方向前進20米.此時在點D處觀測旗桿頂部，測得仰角∠ADB=26.6°.根據(jù)小明的方案求旗桿AB的高度；（2）小麗的方案：如圖②，小麗在地面上點C處觀測旗桿頂部，測得仰角∠ACB＝45°，然后從點C爬到10米高的樓上的點E處（CE⊥BC），觀測旗桿頂部，測得仰角∠AEF=α，根據(jù)小麗的方案求旗桿AB的高度.（用含α的式子表示）（參考數(shù)據(jù):sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50.）練習(xí)題圖解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC，在Rt△ABD中，∠ADB＝26.6°，∴tan26.6°=，∴AB＝≈20m，答：旗桿AB的高度約為20m；