復雜非線性系統(tǒng)中的混沌第四章

第四章

高維非線性系統(tǒng)中的混沌高維非線性系統(tǒng)中的混沌4.1神經元網絡中的混沌4.2對稱廣義Lorenz奇怪吸引子4.3對稱廣義Rssler奇怪吸引子4.1.1神經元網絡理論的產生與發(fā)展人工神經元網絡成為非線性科學研究的重要內容神經科學的研究早在1943年就開始了對人工神經元網絡的研究始于1962年由Rosenblatt提出的感知機模型4.1.1神經元網絡理論的產生與發(fā)展20世紀80年代，神經元網絡研究復興神經元的聯結模型、并行和分布式處理似乎是計算機進一步全新發(fā)展的唯一途徑隨著億次級超級計算機的出現，使得神經元網絡理論的研究有了突破性進展神經元網絡已在一些方面表現了潛在能力

4.1.2混沌神經元網絡研究概況1986年，人們發(fā)現了腦中存在著混沌現象20世紀90年代，人們開始了對神經元網絡與混沌相互交融的研究，即研究大腦中的混沌現象4.1.2混沌神經元網絡研究概況混沌在人腦中到底起什么作用:Babloyantz等人認為混沌可以提高腦的共振容量而對外界刺激產生非常豐富的響應；Nicolis認為混沌是自參考邏輯發(fā)生器；Amit認識到混沌不僅不會妨礙新模式的學習，而且若沒有混沌可能只加深以前學習過的模式而不去記憶新模式；Tauda證明一個由低維混沌動力學組成的混沌神經元網絡具有很強的從外界有效傳遞信息的能力，特別是對隨時間變化的外部輸入信息。4.1.2混沌神經元網絡研究概況在混沌神經元網絡的研究中，人們已經試圖利用混沌來實現某種功能:

Ikeguchi等人嘗試著用合原一幸等人提出的混沌神經元網絡作聯想記憶;Parodi等人利用混沌的偽隨機行為產生對應于確定性輸入模式的噪聲模式來實現信息編碼;Nara等人利用非對稱遞歸神經元網絡的復雜動力學進行復雜模式的搜尋，證明這種基于活化狀態(tài)空間中復雜的混沌軌道的搜尋比隨機搜尋更有效，并且混沌軌道的動態(tài)結構對搜尋行為的有效性影響很大;Yoshizawa對非單調激活特性的神經元網絡的研究表明可以利用混沌來消除網絡的偽記憶態(tài)，當網絡不能回憶起正確的記憶時，表現出一種混沌行為，而不會給出偽記憶結果。4.1.2混沌神經元網絡研究概況關于神經元網絡系統(tǒng)混沌產生的途經，目前已經發(fā)現了倍周期分岔、同宿、異宿軌道產生混沌，另外Rulle-Takens-Newhouse道路也是神經元網絡產生混沌的通常途徑4.1.3神經元網絡的生理結構神經元是組成神經元網絡的基本單元。神經元雖然具有多樣性和微細結構，但從信息處理的角度來看，可以看作是最基本的信息處理單元，由胞體、軸突、樹突等部分組成，如圖4.1所示。神經元的結構4.1.3神經元網絡的生理結構神經元網絡突出的特性是大規(guī)模的處理單元及其相互聯結，單元雖然簡單，由于非線性，其集合行為可以十分復雜，并有并行和分布處理能力從動力學觀點看，腦的神經元網絡系統(tǒng)是由大量的形式神經元聯結而成的高度錯綜復雜的一個超高維非線性系統(tǒng)，網絡的主要功能，前向網的學習功能和反饋網的聯想記憶功能可由它的兩個動力學子系統(tǒng)（狀態(tài)動力學系統(tǒng)和權值動力學子系統(tǒng)）實現神經元網絡的這些優(yōu)良功能由神經元網絡動力學演化來實現4.1.3神經元網絡的生理結構人工神經元網絡是以人腦的生理研究成果為基礎的，其目的在于模擬人腦的某些機理與機制，實現某些方面的功能本節(jié)主要對具有混沌特征的三層反饋神經元網絡模型進行了研究：即利用Lyapunov指數作判據，構造神經元網絡的奇怪吸引子，分析奇怪吸引子的運動特征并計算奇怪吸引子的關聯維數，并在此基礎上以謀求應用4.1.4三層反饋神經元網絡模型4.1.4三層反饋神經元網絡模型其中輸入層含有D個單元,隱含層含有N個單元的，輸出層含有D個單元。隱含層的變換函數為雙曲線正切函數，網絡的輸出是隱含層輸出的線性組合，即4.14.24.1.4三層反饋神經元網絡模型式(4.1)中的tanh由下式定義4.3隨著網絡的每一次迭代，每一個輸出都反饋到它所對應的輸入上，其數學表示為4.44.1.4神經元網絡的奇怪吸引子該網絡可以輸出D個無窮長的數值序列，由于為此作者沒有采用，而采用作為自變量的時間序列去構造吸引子。參數選取如下：選取N=4，令和分別表示橫縱坐標，表示高度(由圖中右下方的投影來表示)，用來線性地映射一個16種顏色的調色板；取初始狀態(tài)，取和4.1.4神經元網絡的奇怪吸引子

嘗試將該網絡隱含層的變換函數——雙曲線正切函數tanh用其它函數如非對稱Logistic映射4.5

來代替，按上述方法又構造了奇怪吸引子。圖4.3為具有代表性的一組結果。

4.1.4神經元網絡的奇怪吸引子(a)隱含層的變換函數為式(8)(b)隱含層的變換函數為式(8)4.1.4神經元網絡的奇怪吸引子(c)隱含層的變換函數為式(8)(d)隱含層的變換函數為式(8)4.1.4神經元網絡的奇怪吸引子(e)隱含層的變換函數為式(10)(f)隱含層的變換函數為式(10)4.1.4神經元網絡的奇怪吸引子(g)隱含層的變換函數為式(10)(h)隱含層的變換函數為式(10)4.1.5神經元網絡奇怪吸引子的定量分析根據Wolf等人的方法，作者采用FORTRAN語言編寫了1的計算程序，在尋找替換點時引入了快速排序的方法，提高了運算速度。為了驗證程序的正確性，作者計算了Hénon映射的1Hénon映射4.64.1.5神經元網絡奇怪吸引子的定量分析求出圖4.3中神經元網絡奇怪吸引子的1如表4.1所示表4.1神經元網絡奇怪吸引子的最大Lyapunov指數14.1.5神經元網絡奇怪吸引子的定量分析表4.2Hénon映射的關聯維數D24.1.5神經元網絡奇怪吸引子的定量分析圖4.4Hnon映射的～曲線：1—m=4；2—m=5。4.1.5神經元網絡奇怪吸引子的定量分析利用網絡迭代9萬次后所得吸引子橫坐標的時間序列，選取2000個數據點，作者作出圖4.3中奇怪吸引子的～關系曲線如圖4.5所示，D2的計算結果見表4.3。神經元網絡奇怪吸引子的～關系曲線表4.3神經元網絡奇怪吸引子的關聯維數D2

分維數的大小反映了具有分形結構的神經元網絡奇怪吸引子所占空間的程度：奇怪吸引子的維數越大，空間被它占有的部分越大，其結構越致密，系統(tǒng)越復雜；反之，則結構越稀疏，系統(tǒng)越簡單。4.1.6結論本節(jié)研究了具有混沌特性的人工神經元網絡的動力學行為，結果表明：不同于僅有梯度下降特性的常規(guī)神經元網絡，具有混沌特性的神經元網絡具有更加豐富的和遠離平衡點的動力學特性，同時存在各種吸引子，不僅有不動點、極限環(huán)和環(huán)面，而且有奇怪吸引子由于神經元網絡系統(tǒng)是一個超高維、強非線性動力學系統(tǒng)，雖然取得了一些成果，但當前其理論基礎和對其動力學行為的認識還很不夠，為了更好地發(fā)展神經元網絡的理論和應用，需要進一步研究它的動力學問題4.2對稱廣義Lorenz奇怪吸引子Lorenz討論的強迫耗散系統(tǒng)是

4.7Lorenz從數值上發(fā)現當Rayleigh數超過一個臨界值后，系統(tǒng)就出現混沌動態(tài)4.2.1結果與分析基于Lorenz方程給出其廣義形式如下利用下式將直角坐標轉換成極坐標然后再按下式將極坐標轉回直角坐標，構造方程4.8的奇怪吸引子A，方法是選擇一個合適的時間間隔，則由方程4.11可得非線性差分方程

定理4.1構造方程4.8的奇怪吸引子A，通過式4.9和式4.10的坐標變換，當時，有構造廣義Lorenz方程的奇怪吸引子4.2.2結論得到關于混沌的下述結論：(1)混沌是服從決定性方程（微分形式或離散形式）的動力學系統(tǒng)的一種復雜的運動形態(tài)。誠如1976年May所說：“簡單的動力系統(tǒng)不一定導致簡單的動力性質。”(2)由于混沌是在反復分離和折疊下才得以形成，而分離和折疊又只有映象并非一一對應（自然也就是不可逆的?。┘捶蔷€性時才可能，因此混沌只可能在非線性系統(tǒng)中出現。(3)混沌的存在，不僅與系統(tǒng)的非線性特性（非線性方程的形式）有關，而且還與方程中的參數數值有關。如在Logistic映射中，當時就不可能出現混沌。因此混沌的存在往往與非線性系統(tǒng)的分岔相聯系。(4)由于排斥和折疊，在混沌中，系統(tǒng)的運動（如代表點的迭代過程）往往對初始條件非常敏感：初始條件的微小差別，要引起迭代過程的巨大差異?？梢钥闯觯陨线@些結論，對微分方程的混沌解也同樣成立。4.3對稱廣義Rssler奇怪吸引子Rssler方程是1976年Rssler在研究具有中間產物的化學反應問題時，通過適當的標度變換，所給出的一個很簡單的非線性常微分方程組。目前人們對Rssler方程所產生的混沌已作了充分的研究，從而豐富了混沌理論。4.3.1研究結果基于Rssler方程作者給出其廣義形式如下

4.14由一階差分算法將廣義Rssler方程變?yōu)榉蔷€性差分方程4.3.1研究結果由方程4.15可得非線性差分方程4.15

4.164.3.1研究結果

定理4.2構造方程4.14的奇怪吸引子A，通過上述坐標變換，當時，有

定理4.2說明若，則。可見奇怪吸引子具有旋轉對稱性的結構。構造廣義Rssler方程的奇怪吸引子

控制參數、扇區(qū)總數和嵌套因子的選取

廣義Rssler方程奇怪吸引子的最大Lyapunov指數1

廣義Rssler奇怪吸引子的～關系曲線

廣義Rssler奇怪吸引子的～關系曲線

廣義Rssler奇怪吸引子的～關系曲線

廣義Rssler奇怪吸引子的～關系曲線

廣義Rssler奇怪吸引子的關聯維數D2分維數的大小反映了具有分形結構的廣義Rssler奇怪吸引子所占空間的程度：維數越大，空間被它占有的部分越大，其結構越致密；反之，則結構越稀疏。4.3.2結論(1)本節(jié)構造了具有旋轉對稱性的廣義Rssler奇怪吸引子，并分析了奇怪吸引子的結構特征。(2)可以看出，既然離散映射與由微分方程決定的連續(xù)流具有一些共同規(guī)律，這就表明離散映射與微分方程之間具有內在關系。習題1、是不是所有非線性微分方程都可以有混沌解？2、形式上相似的差分方程和微分方程（如和）的解和奇點（定態(tài)或不動點）是否相似或相同？為什么？3、建立周期脈沖下轉子滿足的微分方程模型，且把該方程化成二維映射。4、第3題中的二維映射，在什么條件下可以化成帳篷映射，從而出現混沌運動？在什么條件下可以化成Hnon映射？5、證明Lorenz方程組存在吸引子。6、論述第5題中的Lorenz方程從原點出發(fā)的兩條不穩(wěn)定流