高數(shù)曲線問題

一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.

引例:變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在xoy平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動到點(diǎn)B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.§11.2對坐標(biāo)的曲線積分（第二型曲線積分）分割近似求和取極限近似值精確值二、對坐標(biāo)的曲線積分的概念1.定義2.存在條件：3.組合形式4.推廣5.性質(zhì)即對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).三、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法定理:在有向光滑弧L上有定義且L的參數(shù)方程為則曲線積分連續(xù),證明:下面先證存在,且有對應(yīng)參數(shù)設(shè)分點(diǎn)根據(jù)定義由于對應(yīng)參數(shù)因?yàn)長為光滑弧,同理可證特別是,如果L的方程為則對空間光滑曲線弧:類似有特殊情形注：1）曲線向量函數(shù)代入被積函數(shù)中;2）積分限從起點(diǎn)→終點(diǎn)；3）曲線L為分段光滑時(shí)利用區(qū)域可加性計(jì)算。例1.計(jì)算其中L為沿拋物線解法1取x為參數(shù),則解法2取y為參數(shù),則從點(diǎn)的一段.例2解例3.計(jì)算其中L為(1)拋物線(2)拋物線(3)有向折線

解:

(1)原式(2)原式(3)原式例4計(jì)算(x2+y2)dxL:x2+y2=2y逆時(shí)針閉路(正方向）；2）L:x2+y2=2x第一象限弧與x軸所圍順時(shí)針閉路。yyOxox例6.設(shè)在力場作用下,質(zhì)點(diǎn)由沿移動到解:(1)(2)的參數(shù)方程為試求力場對質(zhì)點(diǎn)所作的功.其中為例7.求其中從z軸正向看為順時(shí)針方向.解:取的參數(shù)方程三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向光滑弧L以弧長為參數(shù)

的參數(shù)方程為已知L切向量的方向余弦為則兩類曲線積分有如下聯(lián)系其中類似地,在空間曲線

上的兩類曲線積分的聯(lián)系是令記A在t上的投影為例.將積分化為對弧長的積分,解：其中L沿上半圓周二者夾角為例.設(shè)曲線段L的長度為s,證明續(xù),證:設(shè)說明:

上述證法可推廣到三維的第二類曲線積分.在L上連1.定義2.性質(zhì)(1)L可分成k條有向光滑曲線弧(2)L－

表示L的反向弧對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!內(nèi)容小結(jié)3.計(jì)算?對有向光滑弧?對有向光滑弧4.兩類曲線積分的聯(lián)系?對空間有向光滑弧:原點(diǎn)O的距離成正比,思考與練習(xí)1.設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在處受恒指向原點(diǎn),沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)沿逆時(shí)針移動到提示:F的大小與M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.思考:若題中F的方向改為與OM垂直且與y軸夾銳角,則2.

已知為折線ABCOA(如圖),計(jì)算提示:3.解:線移動到向坐標(biāo)原點(diǎn),其大小與作用點(diǎn)到xoy面的距離成反比.沿直求F所作的功W.已知F的方向指一質(zhì)點(diǎn)在力場F作用下由點(diǎn)4.

設(shè)曲線C為曲面與曲面從ox軸正向看