高等數(shù)學(xué)競賽第四講積分

一元函數(shù)微積分大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽1/14/2023不定積分連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)．第四講積分1/14/2023不定積分計(jì)算的基本方法：（1）直接積分法：通過簡單的恒等變形,利用基本積分公式和積分的性質(zhì)求不定積分的方法.（2）換元積分法

第一換元法

第二換元法(代換:)（3）分部積分法經(jīng)驗(yàn):按“反,對,冪,指,三”的順序,常用恒等變形方法分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式,代數(shù)公式,前者為u,后者為.1/14/2023幾種特殊類型積分的一般積分方法有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和指數(shù)函數(shù)有理式指數(shù)代換三角函數(shù)有理式萬能代換簡單無理函數(shù)三角代換根式代換1/14/2023●1/14/2023●1/14/2023●1/14/2023(造一個(gè)分子是分母的導(dǎo)數(shù).)●1/14/2023●1/14/2023幾種常見技巧:1.循環(huán)現(xiàn)象:●1/14/20232.折項(xiàng)抵消法:●1/14/2023注:遇到不可積的積分只能采用折項(xiàng)抵消法●1/14/2023解●代入可解.1/14/2023定積分的計(jì)算:定積分1/14/2023幾個(gè)重要的結(jié)論:1/14/2023(2)若f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù),則為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)1/14/20231/14/20231/14/2023例3(競賽題)

設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足.

解：設(shè)則由上兩式解出∴求f(x).1/14/2023例4（競賽題）設(shè)，且求

解：1/14/2023例5

.解：

∴1/14/2023定積分的幾類典型問題1.處理變上限定積分:例61/14/2023具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且滿足方程,求例7設(shè)1/14/2023例8

.提示：1/14/2023例9證

證:2.關(guān)于積分等式的證明:方法:(1)變量代換,(2)分部積分,(3)微分法(4)中值定理。1/14/2023例10在上連續(xù)，且試證：存在，使.證明：令由于，由羅爾定理得，存在使得即:.設(shè)(技巧)1/14/2023例11設(shè)在上單調(diào)增加且連續(xù)可微,證明:法1:利用定積分性質(zhì).3.關(guān)于積分不等式的證明:提示1/14/2023例12設(shè)在上連續(xù),證:(2)利用積分中值定理:1/14/2023反常積分:注:技巧:化定積分作1/14/2023解：原式

∴

例求1/14/2023旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè)平面光滑曲線求它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積取側(cè)面積元素:定積分應(yīng)用1/14/2023y+dyyoyxdcoyxX型Y型請熟記以下公式：1/14/2023注意：1)以上公式都要求2)復(fù)雜圖形應(yīng)學(xué)會(huì)分割.3)不能用公式時(shí)應(yīng)會(huì)元素法.4)若曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程則上述公式可以用定積分的換元法處理.5)若曲邊梯形的曲邊為極坐標(biāo)方程則可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的參數(shù)方程：6)與弧長有關(guān)時(shí)，其限應(yīng)上大下小.1/14/2023思考：過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線軸圍成平面圖形D.(1)求D的面積;(2)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解:

(1)設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則所求切線方程為由切線過原點(diǎn)知的切線.該切線與曲線因此故切線方程為D的面積為11/14/2023(2)求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.