第3章 時域分析課件

第3章時域分析法3.1典型輸入信號和時域性能指標3.2控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.3控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能分析3.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析3.5MATLAB用于時域響應分析

13.1

典型輸入信號和時域性能指標3.1.1典型輸入信號１.階躍信號，拉氏變換式：2.斜坡信號3.拋物線信號，拉氏變換式：，拉氏變換式：2４.脈沖信號當，A＝1時稱為單位脈沖信號，記作。5.正弦信號

，拉氏變換式：33.1.2時域性能指標穩(wěn)定系統(tǒng)的階躍響應具有衰減振蕩和單調(diào)變化兩種類型。

1.暫態(tài)性能指標：上升時間，峰值時間，調(diào)整時間，

（最大）超調(diào)量

。2.穩(wěn)態(tài)性能指標：穩(wěn)態(tài)誤差上升時間和峰值時間反映系統(tǒng)響應初始階段的快慢；最大超調(diào)量反映了暫態(tài)過程的平穩(wěn)性；調(diào)節(jié)時間反映了系統(tǒng)的快速性。，反映了系統(tǒng)的控制精度。43.2

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.2.1穩(wěn)定的概念

穩(wěn)定性是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件。

穩(wěn)定性的概念：一個處于某平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，在擾動信號的作用下，會偏離原來的平衡狀態(tài)，當擾動作用消失后，系統(tǒng)又能夠逐漸地恢復到原來的平衡狀態(tài)，或者說系統(tǒng)的零輸入響應具有收斂性質(zhì)，稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，若系統(tǒng)不能恢復到原平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)的零輸入響應具有發(fā)散性質(zhì)，或者進入振蕩狀態(tài)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是系統(tǒng)去掉外作用后，自身的一種恢復能力，所以是系統(tǒng)的一種固有特性，它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)而與初始條件及外作用無關(guān)。53.2.2線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:系統(tǒng)單位脈沖響應為:R(s)=1線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根均具有負實部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點都位于S平面的左半部。63.2.3勞斯(Routh)穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為1.線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件

式中，特征方程的系數(shù)為實數(shù)。系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：特征方程的所有系數(shù)都大于零。勞斯穩(wěn)定判據(jù)是利用特征方程的系數(shù)進行代數(shù)運算來確定特征方程根的位置，以判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也稱為代數(shù)穩(wěn)定判劇。72.勞斯穩(wěn)定判據(jù)（1）建立勞斯表

將特征方程的系數(shù)按以下方法構(gòu)成一個n+1行的勞斯表：8（2）勞斯穩(wěn)定判據(jù)

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞斯表第一列數(shù)都大于零。如果勞斯表第一列數(shù)出現(xiàn)小于或等于零的數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。且勞斯表第一列數(shù)符號改變的次數(shù)等于特征方程正實部根的個數(shù)。9設(shè)某控制系統(tǒng)的特征方程為:例3-2

判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解特征方程的系數(shù)都大于零，滿足穩(wěn)定的必要條件。列勞斯表:由于勞斯表第一列數(shù)不全為正，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列數(shù)符號改變了兩次，故系統(tǒng)有兩個正實部根。10（3）兩種特殊情況的勞斯判據(jù)

1）在勞斯表的某一行中，第一列數(shù)為零，而其余數(shù)不全為零。按照勞斯判據(jù)，因第一列元素不全大于0，可以確定系統(tǒng)不穩(wěn)定。如需要了解根的分布情況，可用一個有限小的正數(shù)代替0，完成勞斯表。

例3-3某控制系統(tǒng)的特征方程為，判定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2）勞斯表某行元素全為零，表示特征方程具有對稱于原點的根存在?？捎萌阈械那耙恍袛?shù)值組成輔助方程，并用這個方程的導數(shù)的系數(shù)代替全零行的各項，完成勞斯表。利用輔助方程可解得那些對稱根。113.勞斯判據(jù)的應用（1）確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時的參數(shù)條件（2）檢驗系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量例3-6確定圖3-4所示系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍。解系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表：系統(tǒng)穩(wěn)定條件：123.2.4胡爾維茨（Hurwith）穩(wěn)定判據(jù)胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù):線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是，由系統(tǒng)特征方程各項系數(shù)構(gòu)成的主行列式：及其主對角線上的各子行列式均為正。

133.3

控制系統(tǒng)的暫態(tài)性能分析3.3.1一階系統(tǒng)分析一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和典型結(jié)構(gòu)為系統(tǒng)階躍響應的拉氏變換式為可得系統(tǒng)的單位階躍響應一階系統(tǒng)的單位階躍響應是單調(diào)上升的指數(shù)曲線。性能指標：143.3.1二階系統(tǒng)分析1.數(shù)學模型典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的特征方程為特征方程的根，即閉環(huán)系統(tǒng)的極點為特征方程根的性質(zhì)由的值完全決定了。其中，為系統(tǒng)的阻尼比；為無阻尼振蕩頻率（或自然振蕩頻率）。152.單位階躍響應單位階躍響應的拉氏變換式為（1）無阻尼情況響應為等幅振蕩曲線，其振蕩的角頻率為，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作?！粚兲摳?6（2）欠阻尼情況——為一對具有負實部的共軛復數(shù)根單位階躍響應為:17欠阻尼二階系統(tǒng)響應的暫態(tài)分量，是幅值隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減的正弦振蕩項。其振蕩的角頻率為阻尼振蕩頻率，即特征方程根的虛部；其衰減的速度由，即特征方程根的實部的絕對值決定。18（3）臨界阻尼情況——一對相等的負實數(shù)根響應為單調(diào)上升、無振蕩及超調(diào)的曲線（4）過阻尼情況——2個不相等負實根響應的暫態(tài)分量是兩個單調(diào)衰減的指數(shù)項，響應曲線與臨界阻尼時一樣，無振蕩單調(diào)上升19不同阻尼比時系統(tǒng)特征方程的根在S平面的位置及其單位階躍響應曲線202.欠阻尼典型二階系統(tǒng)暫態(tài)性能指標計算

欠阻尼單位階躍響應式：（１）上升時間（２）峰值時間和都與阻尼振蕩頻率成反比。21（３）最大超調(diào)量0.40.50.60.680.7070.8（%）2516.3954.31.522（4）調(diào)整時間

當阻尼比很小時，經(jīng)過二次近似后，常用下列兩式計算調(diào)整時間而實際的調(diào)整時間，當＞0.7之后，增大，會變大，快速性變差。由以上分析計算可知，為了限制超調(diào)量，并使調(diào)節(jié)時間較短，阻尼比一般應取0.4～0.8之間，這時超調(diào)量約在25％～1.5％之間，而調(diào)節(jié)時間比較短。工程上常取作為設(shè)計依據(jù)，稱之為“二階最佳系統(tǒng)”。此時，超調(diào)量為4.3％，而調(diào)整時間最小。23掌握二階欠阻尼系統(tǒng)動態(tài)性能指標計算方法:

(1)已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)計算性能指標。(2)由要求的性能指標，確定系統(tǒng)的某些參數(shù)。24例3-11控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。（1）討論系統(tǒng)參數(shù)K、T對系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響。（2）當K=4,T=0.25時，計算系統(tǒng)的暫態(tài)性能指標。（3）當T=0.25時，若要求將系統(tǒng)設(shè)計成二階最佳，應如何改變Ｋ值?解(1)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為25

例3-12某單位負反饋二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。解由圖可知，該系統(tǒng)為欠阻尼二階系統(tǒng)。且有由解得：所以，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：264.二階系統(tǒng)性能改善（1）誤差的比例-微分控制系統(tǒng)引人比例－微分控制后閉環(huán)傳遞函數(shù)為可見阻尼比增大，使減小超調(diào)量，平穩(wěn)性提高。但增加了一個零點其中：27（2）速度負反饋控制系統(tǒng)引人速度負反饋控制后閉環(huán)傳遞函數(shù)為其中：可見阻尼比增大，使減小超調(diào)量，平穩(wěn)性提高。但開環(huán)增益也減小了。283.3.3高階系統(tǒng)分析

三階及以上系統(tǒng)，傳遞函數(shù)表示成零、極點形式設(shè)系統(tǒng)沒有重極點。系統(tǒng)單位階躍響應為1.高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應分析29如果所有閉環(huán)極點都具有負實部，即所有極點都位于S平面的左半部，隨著時間的增大，暫態(tài)分量均衰減趨于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。各暫態(tài)分量衰減的快慢，取決于對應極點離虛軸的距離。極點離虛軸越遠，該極點對應的暫態(tài)分量衰減越快。2.閉環(huán)主導極點

高價系統(tǒng)所有的閉環(huán)極點中，若距虛軸最近的極點周圍沒有閉環(huán)零點，且其實部小于其它極點實部的1/5，那么，這樣的極點所對應的暫態(tài)分量系數(shù)大而衰減緩慢，在系統(tǒng)的動態(tài)響應過程中起主導作用，這樣的閉環(huán)極點稱為主導極點。30利用主導極點的概念，可以將高階系統(tǒng)近似用一、二階系統(tǒng)表達，以便估算系統(tǒng)的性能指標。例如，某四階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似為313.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析3.4.1誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義穩(wěn)態(tài)誤差是控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應的性能指標，用以評價系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，表示系統(tǒng)跟蹤輸入信號或抑制干擾信號的能力。（1)從輸出端定義：以被控量的期望值和實際值之差定義為誤差。等效單位反饋系統(tǒng)但這種誤差無法測量32(2)從輸入端定義：以輸入信號與主反饋信號之差，即偏差信號定義為誤差。這種誤差可以測量，便于用結(jié)構(gòu)圖進行分析計算，故在工程上應用較多。在本教材，采用從系統(tǒng)輸入端定義的誤差.兩種定義的誤差信號間的關(guān)系：33穩(wěn)態(tài)誤差:系統(tǒng)誤差當時的值被稱為穩(wěn)態(tài)誤差，用表示。由第2章得到的誤差信號為:根據(jù)拉氏變換的終值定理即可求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差343.4.2給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

研究給定信號作用下穩(wěn)態(tài)誤差的普遍規(guī)律，必須研究不同結(jié)構(gòu)類型系統(tǒng)在不同輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。控制系統(tǒng)分類：

——以開環(huán)傳遞函數(shù)中含零值極點數(shù)（積分環(huán)節(jié)的數(shù)目）分類，分別稱系統(tǒng)為0型、1型、2型系統(tǒng)。

1.階躍信號輸入，稱為系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)，1型及以上系統(tǒng)，352.斜坡信號輸入，稱為系統(tǒng)的速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。對于0型系統(tǒng)，1型系統(tǒng)，2型及以上系統(tǒng)，363.拋物線信號輸入，稱為系統(tǒng)的加速度穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。對于1型以下系統(tǒng)2型系統(tǒng)37輸入信號作用下穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法有兩種：1）終值定理法——由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖求出后，直接用終值定理求極限求得穩(wěn)態(tài)誤差；2）誤差系數(shù)法——根據(jù)輸入信號的形式求出相應的誤差系數(shù)后求穩(wěn)態(tài)誤差。例3-13已知控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求：輸入信號時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解先判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性由系統(tǒng)的特征方程，可確定系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

求兩個誤差系數(shù)：383.4.3擾動信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差說明，擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差，除了與開環(huán)傳遞函數(shù)的類型以及擾動信號的形式有關(guān)外，還取決于擾動作用點的位置。擾動作用點不同的2個系統(tǒng)：39可見，擾動作用下穩(wěn)態(tài)誤差的大小，除了與擾動信號有關(guān)外，主要取決于擾動作用點到誤差信號之間的傳遞函數(shù)。式中，是擾動作用點與誤差信號之間的傳遞函數(shù)。當403.5MATLAB用于時域響應分析3.5.1用MATLAB分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.多項式求根命令roots2．求系統(tǒng)極點命令pole可用roots命令求出已知控制系統(tǒng)特征方程的根。例3-15已知反饋系統(tǒng)特征方程為，判定穩(wěn)定性。解在命令窗口執(zhí)行命令d=[13424];p=roots(d)可用pole命令求出已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。調(diào)用格式：p=pole(sys)413.5.2用MATLAB分析系統(tǒng)的暫態(tài)性能1.求取動態(tài)響應曲線MATLAB以下幾條求取線性系統(tǒng)動態(tài)響應的命令：step求取單位階躍響應命令impulse求取單位脈沖響應命令lsin求取任意輸入信號響應命令step命令的調(diào)用格式如下：(1)step(num,den)orstep(sys)(下同)——