名師課件：高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第一冊 函數(shù)的奇偶性

人教B版必修第一冊第三章函數(shù)3.1.3

函數(shù)的奇偶性一、函數(shù)的奇偶性

初中時我們學(xué)習(xí)過有關(guān)軸對稱和中心對稱的知識，而且已經(jīng)知道，在平面直角坐標(biāo)系中，點（x，y）關(guān)于y軸的對稱點為（一x，y），關(guān)于原點的對稱點為（一x，-y）.例如，（一2，3）關(guān)于y軸的對稱點為，關(guān)于原點的對稱點為（2，3）（2，-3）嘗試與發(fā)現(xiàn)

填寫下表，觀察指定函數(shù)的自變量x互為相反數(shù)時，函數(shù)值之間具有什么關(guān)系，并分別說出函數(shù)圖像應(yīng)具有的特征。x-3-2-1123f(x)=x2

g(x)=

不難發(fā)現(xiàn)，上述兩個函數(shù)，當(dāng)自變量取互為相反數(shù)的兩個組x相一x時，對應(yīng)的函數(shù)值相等，即一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有-x∈D，且

f（-x）=f（x），則稱y=f（x）為偶函數(shù)

如果y=f（x）是偶函數(shù)，其圖像具有什么特征呢？

我們知道，點P（x，f（x））與Q（-x，f（-x））都是函數(shù)y=f（x）圖像上的點，按照偶函數(shù)的定義，點Q又可以寫成Q（-x，f（x）），因此點P和點Q關(guān)于y軸對稱，所以偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；反之，結(jié)論也成立，即圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)一定是偶函數(shù)。如下圖所示是嘗試與發(fā)現(xiàn)中兩個函數(shù)的圖像.嘗試與發(fā)現(xiàn)

按照類似的方式得到奇函數(shù)的定義，以及奇函數(shù)圖像的特征：一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有

，且

則稱y=f（x）為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖像關(guān)于

對稱.

-x∈Df(-x)=-f(x）原點

奇函數(shù)的圖像特征也可按照下述方式得到：點P（x，f（x））與Q（一x，f（-x））都是函數(shù)y=f（x）圖像上的點，如果y=f（x）是奇函數(shù)，則點Q又可以寫成Q（一x，一f（x）），因此點P和點Q關(guān)于原點對稱，所以奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；反之，結(jié)論也成立，即圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù)。如下圖所示是奇函數(shù)f（x）=x3和g（x）=的圖像.

如果一個函數(shù)是偶函數(shù)或是奇函數(shù)，則稱這個函數(shù)具有奇偶性.可以看出，當(dāng)n是正整數(shù)時，函數(shù)f（x）=x2n是偶函數(shù)，函數(shù)g（x）=x2n-1是奇函數(shù)典型例題例1例判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：（1）f（x）=x+x3+x5；（2）f（x）=x2+1；（3）f（x）=x+1；（4）f（x）=x2，x∈[-1，3]證明（1）因為函數(shù)的定義域為R，所以x∈R時，-x∈R.又因為f（-x）=（-x）+（-x）3+（-x）5=-（x+x3+x5）=-f（x），所以函數(shù)f（x）=x+x3+x5是奇函數(shù)證明（1）因為函數(shù)的定義域為R，所以x∈R時，-x∈R.又因為f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x），所以函數(shù)f（x）=x2+1是偶函數(shù)證明（1）因為函數(shù)的定義域為R，所以x∈R時，-x∈R.又因為f（-1）=0，f（1）=2，所以f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1），

因此函數(shù)f（x）=x+1既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（也可說成f（x）是非奇非偶函數(shù)）（4）因為函數(shù)的定義域為[一1，3]，而3∈[-1，3]，但一3?[一1，3]，所以函數(shù)f（x）=x2，x∈[-1，3]是非奇非偶函數(shù)

例（1）（4）說明，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，如果存在x0∈D，但-x0?D，即函數(shù)f（x）的定義域不關(guān)于原點對稱，則f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).典型例題例2已知奇函數(shù)f（x）的定義域為D，且0∈D，求證：f（0）=0.證明因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（-0）=-f（0），即f（0）=-f（0），所以2f（0）=0，因此f（0）=0.二、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

因為函數(shù)的奇偶性描述了函數(shù)圖像具有的對稱性，所以利用函數(shù)的奇偶性能簡化函數(shù)性質(zhì)的研究。如果知道一個函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，那么其定義域能分成關(guān)于原點對稱的兩部分，得出函數(shù)在其中一部分上的性質(zhì)和圖像，就可得出這個函數(shù)在另一部分上的性質(zhì)和圖像嘗試與發(fā)現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）滿足f（5）=-3，分別在條件“f（x）是偶函數(shù)”與“f（x）是奇函數(shù)”下求出f（-5）的值

顯然，如果f（x）是偶函數(shù)，則f（-5）=f（5）=-3；如果f（x）是奇函數(shù)，則f（-5）=-f（5）=3.典型例題例3已知函數(shù)f（x）滿足f（5）<f（3），分別在下列各條件下比較f（-5）與f（-3）的大?。海?）f（x）是偶函數(shù)；（2）f（x）是奇函數(shù)。解（1）因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），因此

f（-5）=f（5），f（-3）=f（3）

從而由條件可知f（-5）<f（-3）.（2）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），因此

f（-5）=-f（5），f（-3）=-f（3）

又由條件可知-f（5）>-f（3），從而f（-5）>f（-3）.

例3說明，當(dāng)f（x）具有奇偶性時，函數(shù)的單調(diào)性會有一定規(guī)律.嘗試與發(fā)現(xiàn)

已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，y=g（x）是奇函數(shù)，且它們的部分圖像如下圖所示，補全函數(shù)圖像，并總結(jié)出當(dāng)函數(shù)具有奇偶性時，函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律。

不難看出，如果y=f（x）是偶函數(shù)，那么其在x>0與x<0時的單調(diào)性相反；

如果y=f（x）是奇函數(shù)，那么其在x>0與x<0時的單調(diào)性相同。典型例題例4研究函數(shù)的性質(zhì)，并作出函數(shù)圖像.解要使函數(shù)表達式意義，需有x≠0，因此函數(shù)的定義域為D={x∈R|x≠0}，

從而可知函數(shù)的圖像有左右兩部分.設(shè)則對任意x∈D，都有一x∈D，而且

所以函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)的兩部分圖像關(guān)于y軸對稱

不難發(fā)現(xiàn)，上述兩個函數(shù)，當(dāng)自變量取互為相反數(shù)的兩個組x相一x時，對應(yīng)的函數(shù)值相等，即一般地，設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有-x∈D，且

f（-x）=f（x），則稱y=f（x）為偶函數(shù)

下面研究函數(shù)在區(qū)間（0，+oo）上的性質(zhì)及圖像.因為x1，x2∈（0，+oo）時，有

所以在（0，+oo）上是減函數(shù)又因為x∈（0，+oo）時，>0，所以函數(shù)圖像在右邊的部分一定在第一象限。列出部分函數(shù)值如下表所示，然后可以描點作圖。

再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，可以得出函數(shù)的圖像如下圖所示，而且函數(shù)的定義域為{x∈R|x≠0}，函數(shù)是偶函數(shù)，在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，函數(shù)的值域是（0，+∞）.典型例題例5求證：二次函數(shù)f（x）=x2+4x+6的圖像關(guān)于x=-2對稱.嘗試與發(fā)現(xiàn)

初中時，我們就在觀察圖像的基礎(chǔ)上總結(jié)出過這個結(jié)論，但當(dāng)時開沒有給出嚴(yán)格的證明.為了證明函數(shù)的圖像關(guān)于x=0（即y軸）對稱，只需證明x軸上關(guān)于原點對稱的兩點對應(yīng)的函數(shù)值相等，那么該怎樣證明函數(shù)的困像關(guān)于x=-2對稱呢？如下圖所示，已知數(shù)軸上的A，B兩點關(guān)于一2對應(yīng)的點對稱，而且點A的坐標(biāo)是一2+h，則點B的坐標(biāo)是-2-h證明任取h∈R，因為

f（-2+h）=（-2+h）2+4（-2+h）+6=h2+2，f（-2-h）=（-2-h）2+4（-2-h）+6=h2+2，

所以f（-2+h）=f（-2-h），這就說明函數(shù)的圖像關(guān)于x=-2對稱。由例5可知，要證明函數(shù)圖像關(guān)于垂直于x軸的直線對稱