2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文試題(北京卷含解析)

2015年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試數(shù)學(xué)文試題（北京卷，含分析）一、選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出吻合題目要求的一項(xiàng)．）1、若會(huì)集x5x2，x3x3，則（）A．x3x2B．x5x2C．x3x3D．x5x3【答案】A考點(diǎn)：會(huì)集的交集運(yùn)算.2、圓心為1,1且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是（）2y12B221A．x11．x1y12y12D222C．x12．x1y1【答案】D【分析】r2，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2y22.試題分析：由題意可得圓的半徑為x11考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3、以下函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）A．yx2sinxB．yx2cosxC．ylnxD．y2x【答案】B【分析】試題分析：依據(jù)偶函數(shù)的定義f(x)f(x)，A選項(xiàng)為奇函數(shù)，B選項(xiàng)為偶函數(shù)，C選項(xiàng)定義域?yàn)?0,)不擁有奇偶性，D選項(xiàng)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，應(yīng)選B.考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性.4、某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見(jiàn)下表，采納分層抽樣的方法檢查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年教師人數(shù)為（）A．90B．100C．180D．300類型人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計(jì)4300【答案】C【分析】試題分析：由題意，整體中青年教師與老年教師比率為160016x，由分層900；設(shè)樣本中老年教師的人數(shù)為9抽樣的性質(zhì)可得整體與樣本中青年教師與老年教師的比率相等，即32016180.x，解得x9考點(diǎn)：分層抽樣.5、執(zhí)行以以下圖的程序框圖，輸出的k的值為（）A．3B．4C．5D．6【答案】B考點(diǎn)：程序框圖.6、設(shè)a，b是非零向量，“abab”是“a//b”的（）A．充分而不用要條件B．必需而不充分條件C．充分必需條件D．既不充分也不用要條件【答案】A【分析】試題分析：ab|a||b|cosa,b，由已知得cosa,b1，即a,b0，a//b.而當(dāng)a//b時(shí)，a,b還可能是，此時(shí)ab|a||b|，故“abab”是“a//b”的充分而不用要條件.考點(diǎn)：充分必需條件、向量共線.7、某四棱錐的三視圖以以下圖，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為（）A．1B．2C．3D．2【答案】C【分析】試題分析：四棱錐的直觀圖以以下圖：由三視圖可知，SC平面ABCD，SA是四棱錐最長(zhǎng)的棱，SASC2AC2SC2AB2BC23.考點(diǎn)：三視圖.8、某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的狀況．加油時(shí)間加油量（升）加油時(shí)的累計(jì)里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累計(jì)里程“指汽車從出廠開(kāi)始累計(jì)行駛的行程，在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米均勻耗油量為（）A．6升B．8升C．10升D．12升【答案】B【分析】試題分析：因?yàn)榈谝淮梧]箱加滿，因此第二次的加油量即為該段時(shí)間內(nèi)的耗油量，故耗油量V48升.而這段時(shí)間行家駛的里程數(shù)S3560035000600千米.因此這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米均勻耗油量為481008升，應(yīng)選B.600考點(diǎn)：均勻耗油量.二、填空題（本大題共6小題，每題5分，共30分．）9、復(fù)數(shù)i1i的實(shí)部為．【答案】-1【分析】試題分析：復(fù)數(shù)i(1i)i11i，其實(shí)部為-1.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、實(shí)部.110、23，32，log25三個(gè)數(shù)中最大數(shù)的是．【答案】log25【分析】試題分析：23考點(diǎn)：比較大小.

1131，log25log2423，因此log25最大.1，32811、在C中，a3，b6，2．，則3【答案】4【分析】試題分析：由正弦定理，得ab36，因此sinB2B.sinAsinB，即sinB，因此3242考點(diǎn)：正弦定理.22y12、已知2,0是雙曲線x1（b0）的一個(gè)焦點(diǎn)，則b．【答案】3【分析】試題分析：由題意知c2,a1，b2c2a23，因此b3.考點(diǎn)：雙曲線的焦點(diǎn).13、如圖，C及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的會(huì)集記為D，x,y為D中任意一點(diǎn)，則z2x3y的最大值為．【答案】7考點(diǎn)：線性規(guī)劃.14、高三年級(jí)267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)，數(shù)學(xué)成績(jī)與總成績(jī)?cè)谡昙?jí)中的排名狀況以以下圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生．從此次考試成績(jī)看，①在甲、乙兩人中，其語(yǔ)文成績(jī)名次比其總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是

；②在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是

．【答案】乙、數(shù)學(xué)【分析】試題分析：①由圖可知，甲的語(yǔ)文成績(jī)排名比總成績(jī)排名靠后；而乙的語(yǔ)文成績(jī)排名比總成績(jī)排名靠前，故填乙.②由圖可知，比丙的數(shù)學(xué)成績(jī)排名還靠后的人比許多；而總成績(jī)的排名中比丙排名靠后的人數(shù)比較少，所以丙的數(shù)學(xué)成績(jī)的排名更靠前，故填數(shù)學(xué).考點(diǎn)：散點(diǎn)圖.三、解答題（本大題共6小題，共80分．解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟．）15、（本小題滿分13分）已知函數(shù)fxsinx23sin2x．2（Ⅰ）求fx的最小正周期；（Ⅱ）求fx在區(qū)間0,2上的最小值．3【答案】（1）2；（2）3.考點(diǎn)：倍角公式、兩角和的正弦公式、三角函數(shù)的周期、三角函數(shù)的最值.16、（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列an滿足a1a210，a4a32．（Ⅰ）求an的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列

bn

滿足

b2

a3，b3

a7，問(wèn)：

b6與數(shù)列

an

的第幾項(xiàng)相等？【答案】（1）an

42(n

1)

2n

2；（2）b6與數(shù)列

an

的第

63項(xiàng)相等

.【分析】試題分析：本題主要觀察等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，觀察學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)變能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將a1,a2,a3,a4轉(zhuǎn)變?yōu)閍1和d，解方程獲得a1和d的值，直接寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；第二問(wèn)，先利用第一問(wèn)的結(jié)論獲得b2和b3的值，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，將b2和b3轉(zhuǎn)變?yōu)閎1和q，解出b1和q的值，獲得b6的值，再代入到上一問(wèn)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中，解出n的值，即項(xiàng)數(shù).試題分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍4a32，因此d2.又因?yàn)閍1a210，因此2a1d10，故a14.因此an42(n1)2n2(n1,2,).（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.因?yàn)閎2a38，b3a716，因此q2，b14.因此b64261128.由1282n2，得n63.因此b6與數(shù)列an的第63項(xiàng)相等.考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.17、（本小題滿分13分）某商場(chǎng)隨機(jī)采納1000位顧客，記錄了他們購(gòu)買甲、乙、丙、丁四種商品的狀況，整理成以下統(tǒng)計(jì)表，此中“√”表示購(gòu)買，“×”表示未購(gòu)買．商顧品甲乙丙丁客人數(shù)100√×√√2172003008598

×√×√√√√×√×√×√××××√××（Ⅰ）預(yù)計(jì)顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率；（Ⅱ）預(yù)計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3中商品的概率；（Ⅲ）假如顧客購(gòu)買了甲，則該顧客同時(shí)購(gòu)買乙、丙、丁中那種商品的可能性最大？【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同時(shí)購(gòu)買丙的可能性最大.【分析】試題分析：本題主要觀察統(tǒng)計(jì)表、概率等基礎(chǔ)知識(shí)，觀察學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)變能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，由統(tǒng)計(jì)表讀出顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的人數(shù)200，計(jì)算出概率；第二問(wèn)，先由統(tǒng)計(jì)表讀出顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3中商品的人數(shù)100+200，再計(jì)算概率；第三問(wèn)，由統(tǒng)計(jì)表讀出顧客同時(shí)購(gòu)買甲和乙的人數(shù)為200，顧客同時(shí)購(gòu)買甲和丙的人數(shù)為100+200+300，顧客同時(shí)購(gòu)買甲和丁的人數(shù)為100，分別計(jì)算出概率，再經(jīng)過(guò)比較大小得出結(jié)論.試題分析：（Ⅰ）從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中，有200位顧客同時(shí)購(gòu)買了乙和丙，因此顧客同時(shí)購(gòu)買乙和丙的概率可以預(yù)計(jì)為2000.2.1000（Ⅱ）從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在在這1000位顧客中，有100位顧客同時(shí)購(gòu)買了甲、丙、丁，還有200位顧客同時(shí)購(gòu)買了甲、乙、丙，其余顧客最多購(gòu)買了2種商品.因此顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購(gòu)買3種商品的概率可以預(yù)計(jì)為1002000.3.1000（Ⅲ）與（Ⅰ）同理，可得：顧客同時(shí)購(gòu)買甲和乙的概率可以預(yù)計(jì)為2000.2，1000顧客同時(shí)購(gòu)買甲和丙的概率可以預(yù)計(jì)為10020030010000.6，100顧客同時(shí)購(gòu)買甲和丁的概率可以預(yù)計(jì)為0.1，1000因此，假如顧客購(gòu)買了甲，則該顧客同時(shí)購(gòu)買丙的可能性最大.考點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)表、概率.18、（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐VC中，平面V平面C，V為等邊三角形，CC且CC2，，分別為，V的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：V//平面C；（Ⅱ）求證：平面C平面V；（Ⅲ）求三棱錐VC的體積．【答案】（1）證明詳見(jiàn)分析；（2）證明詳見(jiàn)分析；（3）3.3【分析】試題分析：本題主要觀察線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，觀察學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)變能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，在三角形ABV中，利用中位線的性質(zhì)得OM//VB，最后直接利用線面平行的判斷獲得結(jié)論；第二問(wèn)，先在三角形ABC中獲得OCAB，再利用面面垂直的性質(zhì)得OC平面VAB，最后利用面面垂直的判斷得出結(jié)論；第三問(wèn)，將三棱錐進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)變，利用VCVABVVABC，先求出三角形VAB的面積，因?yàn)镺C平面VAB，因此OC為錐體的高，利用錐體的體積公式計(jì)算出體積即可.試題分析：（Ⅰ）因?yàn)镺,M分別為AB，VA的中點(diǎn)，因此OM//VB.又因?yàn)閂B平面MOC，因此VB//平面MOC.（Ⅱ）因?yàn)锳CBC，O為AB的中點(diǎn)，因此OCAB.又因?yàn)槠矫鎂AB平面ABC，且OC平面ABC，因此OC平面VAB.因此平面MOC平面VAB.（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB中，ACBC2，因此AB2,OC1.因此等邊三角形VAB的面積SVAB3.又因?yàn)镺C平面VAB，因此三棱錐C-VAB的體積等于1OCSVAB3.33又因?yàn)槿忮FV-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，因此三棱錐V-ABC的體積為3.3考點(diǎn)：線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公式.19、（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)fxx2klnx，k0．2（Ⅰ）求fx的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）證明：若fx存在零點(diǎn)，則fx在區(qū)間1,e上僅有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是(0,k)，單調(diào)遞加區(qū)間是(k,)；極小值k(1lnk)f(k)；（2）證2明詳見(jiàn)分析.因此，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,k)，單調(diào)遞加區(qū)間是(k,)；f(x)在xk處獲得極小值f(k)k(1lnk).2k(1lnk)（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在區(qū)間(0,)上的最小值為f(k).2因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，因此k(1lnk)0，從而ke.2當(dāng)ke時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,e)上單調(diào)遞減，且f(e)0，因此xe是f(x)在區(qū)間(1,e]上的獨(dú)一零點(diǎn).當(dāng)ke時(shí)，f(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞減，且f(1)10，f(ek2e)0，2因此f(x)在區(qū)間(1,e]上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1,e]上僅有一個(gè)零點(diǎn).考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題.20、（本小題滿分14分）已知橢圓C:x23y23，過(guò)點(diǎn)D1,0且但是點(diǎn)2,1的直線與橢圓C交于，兩點(diǎn)，直線與直線x3交于點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）若垂直于x軸，求直線的斜率；（Ⅲ）試判斷直線與直線D的地點(diǎn)關(guān)系，并說(shuō)明原由．【答案】（1）6；（2）1；（3）直線BM與直線DE平行.3【分析】試題分析：本題主要觀察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線的斜率、兩直線的地點(diǎn)關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)變能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，獲得a，b，c的值，再利用ecAB的特別地點(diǎn)，設(shè)出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線AE的方計(jì)算離心率；第二問(wèn)，由直線a程，因?yàn)橹本€AE與x=3訂交于M點(diǎn)，因此獲得M點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)B、點(diǎn)M的坐標(biāo)，求直線BM的斜率；第三問(wèn)，分直線AB的斜率存在和不存在兩種狀況進(jìn)行談?wù)摚谝环N狀況，直接分析即可得出結(jié)論，第二種狀況，先設(shè)出直線AB和直線AE的方程，將橢圓方程與直線AB的方程聯(lián)立，消參，獲得x1x2和x1x2，代入到kBM1中，只要計(jì)算出等于0即可證明kBMkDE，即兩直線平行.試題分析：（Ⅰ）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21.3因此a3，b，c2.1因此橢圓c6.C的離心率e3a（Ⅱ）因?yàn)锳B過(guò)點(diǎn)D(1,0)且垂直于x軸，因此可設(shè)A(1,y1)，B(1,y1).直線AE的方程為y1(1y1)(x2).令x3，得M(3,2y1).因此