2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學文試題(北京卷含解析)

2015年一般高等學校招生全國一致考試數(shù)學文試題（北京卷，含分析）一、選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題給出的四個選項中，選出吻合題目要求的一項．）1、若會集x5x2，x3x3，則（）A．x3x2B．x5x2C．x3x3D．x5x3【答案】A考點：會集的交集運算.2、圓心為1,1且過原點的圓的方程是（）2y12B221A．x11．x1y12y12D222C．x12．x1y1【答案】D【分析】r2，則圓的標準方程為2y22.試題分析：由題意可得圓的半徑為x11考點：圓的標準方程.3、以下函數(shù)中為偶函數(shù)的是（）A．yx2sinxB．yx2cosxC．ylnxD．y2x【答案】B【分析】試題分析：依據(jù)偶函數(shù)的定義f(x)f(x)，A選項為奇函數(shù)，B選項為偶函數(shù)，C選項定義域為(0,)不擁有奇偶性，D選項既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，應選B.考點：函數(shù)的奇偶性.4、某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采納分層抽樣的方法檢查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本的老年教師人數(shù)為（）A．90B．100C．180D．300類型人數(shù)老年教師900中年教師1800青年教師1600合計4300【答案】C【分析】試題分析：由題意，整體中青年教師與老年教師比率為160016x，由分層900；設樣本中老年教師的人數(shù)為9抽樣的性質可得整體與樣本中青年教師與老年教師的比率相等，即32016180.x，解得x9考點：分層抽樣.5、執(zhí)行以以下圖的程序框圖，輸出的k的值為（）A．3B．4C．5D．6【答案】B考點：程序框圖.6、設a，b是非零向量，“abab”是“a//b”的（）A．充分而不用要條件B．必需而不充分條件C．充分必需條件D．既不充分也不用要條件【答案】A【分析】試題分析：ab|a||b|cosa,b，由已知得cosa,b1，即a,b0，a//b.而當a//b時，a,b還可能是，此時ab|a||b|，故“abab”是“a//b”的充分而不用要條件.考點：充分必需條件、向量共線.7、某四棱錐的三視圖以以下圖，該四棱錐最長棱的棱長為（）A．1B．2C．3D．2【答案】C【分析】試題分析：四棱錐的直觀圖以以下圖：由三視圖可知，SC平面ABCD，SA是四棱錐最長的棱，SASC2AC2SC2AB2BC23.考點：三視圖.8、某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的狀況．加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注：“累計里程“指汽車從出廠開始累計行駛的行程，在這段時間內，該車每100千米均勻耗油量為（）A．6升B．8升C．10升D．12升【答案】B【分析】試題分析：因為第一次郵箱加滿，因此第二次的加油量即為該段時間內的耗油量，故耗油量V48升.而這段時間行家駛的里程數(shù)S3560035000600千米.因此這段時間內，該車每100千米均勻耗油量為481008升，應選B.600考點：均勻耗油量.二、填空題（本大題共6小題，每題5分，共30分．）9、復數(shù)i1i的實部為．【答案】-1【分析】試題分析：復數(shù)i(1i)i11i，其實部為-1.考點：復數(shù)的乘法運算、實部.110、23，32，log25三個數(shù)中最大數(shù)的是．【答案】log25【分析】試題分析：23考點：比較大小.

1131，log25log2423，因此log25最大.1，32811、在C中，a3，b6，2．，則3【答案】4【分析】試題分析：由正弦定理，得ab36，因此sinB2B.sinAsinB，即sinB，因此3242考點：正弦定理.22y12、已知2,0是雙曲線x1（b0）的一個焦點，則b．【答案】3【分析】試題分析：由題意知c2,a1，b2c2a23，因此b3.考點：雙曲線的焦點.13、如圖，C及其內部的點構成的會集記為D，x,y為D中任意一點，則z2x3y的最大值為．【答案】7考點：線性規(guī)劃.14、高三年級267位學生參加期末考試，某班37位學生的語文成績，數(shù)學成績與總成績在整年級中的排名狀況以以下圖所示，甲、乙、丙為該班三位學生．從此次考試成績看，①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是

；②在語文和數(shù)學兩個科目中，丙同學的成績名次更靠前的科目是

．【答案】乙、數(shù)學【分析】試題分析：①由圖可知，甲的語文成績排名比總成績排名靠后；而乙的語文成績排名比總成績排名靠前，故填乙.②由圖可知，比丙的數(shù)學成績排名還靠后的人比許多；而總成績的排名中比丙排名靠后的人數(shù)比較少，所以丙的數(shù)學成績的排名更靠前，故填數(shù)學.考點：散點圖.三、解答題（本大題共6小題，共80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．）15、（本小題滿分13分）已知函數(shù)fxsinx23sin2x．2（Ⅰ）求fx的最小正周期；（Ⅱ）求fx在區(qū)間0,2上的最小值．3【答案】（1）2；（2）3.考點：倍角公式、兩角和的正弦公式、三角函數(shù)的周期、三角函數(shù)的最值.16、（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列an滿足a1a210，a4a32．（Ⅰ）求an的通項公式；（Ⅱ）設等比數(shù)列

bn

滿足

b2

a3，b3

a7，問：

b6與數(shù)列

an

的第幾項相等？【答案】（1）an

42(n

1)

2n

2；（2）b6與數(shù)列

an

的第

63項相等

.【分析】試題分析：本題主要觀察等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式等基礎知識，觀察學生的分析問題解決問題的能力、轉變能力、計算能力.第一問，利用等差數(shù)列的通項公式，將a1,a2,a3,a4轉變?yōu)閍1和d，解方程獲得a1和d的值，直接寫出等差數(shù)列的通項公式即可；第二問，先利用第一問的結論獲得b2和b3的值，再利用等比數(shù)列的通項公式，將b2和b3轉變?yōu)閎1和q，解出b1和q的值，獲得b6的值，再代入到上一問等差數(shù)列的通項公式中，解出n的值，即項數(shù).試題分析：（Ⅰ）設等差數(shù)列an的公差為d.因為a4a32，因此d2.又因為a1a210，因此2a1d10，故a14.因此an42(n1)2n2(n1,2,).（Ⅱ）設等比數(shù)列bn的公比為q.因為b2a38，b3a716，因此q2，b14.因此b64261128.由1282n2，得n63.因此b6與數(shù)列an的第63項相等.考點：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式.17、（本小題滿分13分）某商場隨機采納1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的狀況，整理成以下統(tǒng)計表，此中“√”表示購買，“×”表示未購買．商顧品甲乙丙丁客人數(shù)100√×√√2172003008598

×√×√√√√×√×√×√××××√××（Ⅰ）預計顧客同時購買乙和丙的概率；（Ⅱ）預計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3中商品的概率；（Ⅲ）假如顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中那種商品的可能性最大？【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同時購買丙的可能性最大.【分析】試題分析：本題主要觀察統(tǒng)計表、概率等基礎知識，觀察學生的分析問題解決問題的能力、轉變能力、計算能力.第一問，由統(tǒng)計表讀出顧客同時購買乙和丙的人數(shù)200，計算出概率；第二問，先由統(tǒng)計表讀出顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3中商品的人數(shù)100+200，再計算概率；第三問，由統(tǒng)計表讀出顧客同時購買甲和乙的人數(shù)為200，顧客同時購買甲和丙的人數(shù)為100+200+300，顧客同時購買甲和丁的人數(shù)為100，分別計算出概率，再經(jīng)過比較大小得出結論.試題分析：（Ⅰ）從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有200位顧客同時購買了乙和丙，因此顧客同時購買乙和丙的概率可以預計為2000.2.1000（Ⅱ）從統(tǒng)計表可以看出，在在這1000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，還有200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其余顧客最多購買了2種商品.因此顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以預計為1002000.3.1000（Ⅲ）與（Ⅰ）同理，可得：顧客同時購買甲和乙的概率可以預計為2000.2，1000顧客同時購買甲和丙的概率可以預計為10020030010000.6，100顧客同時購買甲和丁的概率可以預計為0.1，1000因此，假如顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大.考點：統(tǒng)計表、概率.18、（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐VC中，平面V平面C，V為等邊三角形，CC且CC2，，分別為，V的中點．（Ⅰ）求證：V//平面C；（Ⅱ）求證：平面C平面V；（Ⅲ）求三棱錐VC的體積．【答案】（1）證明詳見分析；（2）證明詳見分析；（3）3.3【分析】試題分析：本題主要觀察線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公式等基礎知識，觀察學生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、轉變能力、計算能力.第一問，在三角形ABV中，利用中位線的性質得OM//VB，最后直接利用線面平行的判斷獲得結論；第二問，先在三角形ABC中獲得OCAB，再利用面面垂直的性質得OC平面VAB，最后利用面面垂直的判斷得出結論；第三問，將三棱錐進行等體積轉變，利用VCVABVVABC，先求出三角形VAB的面積，因為OC平面VAB，因此OC為錐體的高，利用錐體的體積公式計算出體積即可.試題分析：（Ⅰ）因為O,M分別為AB，VA的中點，因此OM//VB.又因為VB平面MOC，因此VB//平面MOC.（Ⅱ）因為ACBC，O為AB的中點，因此OCAB.又因為平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，因此OC平面VAB.因此平面MOC平面VAB.（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB中，ACBC2，因此AB2,OC1.因此等邊三角形VAB的面積SVAB3.又因為OC平面VAB，因此三棱錐C-VAB的體積等于1OCSVAB3.33又因為三棱錐V-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，因此三棱錐V-ABC的體積為3.3考點：線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公式.19、（本小題滿分13分）設函數(shù)fxx2klnx，k0．2（Ⅰ）求fx的單調區(qū)間和極值；（Ⅱ）證明：若fx存在零點，則fx在區(qū)間1,e上僅有一個零點．【答案】（1）單調遞減區(qū)間是(0,k)，單調遞加區(qū)間是(k,)；極小值k(1lnk)f(k)；（2）證2明詳見分析.因此，f(x)的單調遞減區(qū)間是(0,k)，單調遞加區(qū)間是(k,)；f(x)在xk處獲得極小值f(k)k(1lnk).2k(1lnk)（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在區(qū)間(0,)上的最小值為f(k).2因為f(x)存在零點，因此k(1lnk)0，從而ke.2當ke時，f(x)在區(qū)間(1,e)上單調遞減，且f(e)0，因此xe是f(x)在區(qū)間(1,e]上的獨一零點.當ke時，f(x)在區(qū)間(0,e)上單調遞減，且f(1)10，f(ek2e)0，2因此f(x)在區(qū)間(1,e]上僅有一個零點.綜上可知，若f(x)存在零點，則f(x)在區(qū)間(1,e]上僅有一個零點.考點：導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)零點問題.20、（本小題滿分14分）已知橢圓C:x23y23，過點D1,0且但是點2,1的直線與橢圓C交于，兩點，直線與直線x3交于點．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）若垂直于x軸，求直線的斜率；（Ⅲ）試判斷直線與直線D的地點關系，并說明原由．【答案】（1）6；（2）1；（3）直線BM與直線DE平行.3【分析】試題分析：本題主要觀察橢圓的標準方程及其幾何性質、直線的斜率、兩直線的地點關系等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉變能力、計算能力.第一問，先將橢圓方程化為標準方程，獲得a，b，c的值，再利用ecAB的特別地點，設出A，B點坐標，設出直線AE的方計算離心率；第二問，由直線a程，因為直線AE與x=3訂交于M點，因此獲得M點坐標，利用點B、點M的坐標，求直線BM的斜率；第三問，分直線AB的斜率存在和不存在兩種狀況進行談論，第一種狀況，直接分析即可得出結論，第二種狀況，先設出直線AB和直線AE的方程，將橢圓方程與直線AB的方程聯(lián)立，消參，獲得x1x2和x1x2，代入到kBM1中，只要計算出等于0即可證明kBMkDE，即兩直線平行.試題分析：（Ⅰ）橢圓C的標準方程為x2y21.3因此a3，b，c2.1因此橢圓c6.C的離心率e3a（Ⅱ）因為AB過點D(1,0)且垂直于x軸，因此可設A(1,y1)，B(1,y1).直線AE的方程為y1(1y1)(x2).令x3，得M(3,2y1).因此