《回歸分析的基本思想及其初步應用》同步練習（） 一等獎

《回歸分析的基本思想及其初步應用》同步練習一、選擇題1．在判斷兩個變量y與x是否相關時，選擇了4個不同的模型，它們的R2分別為：模型1的R2為，模型2的R2為，模型3的R2為，模型4的R2為.其中擬合效果最好的模型是()A．模型1 B．模型2C．模型3 D．模型4解析：R2能夠刻畫用回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果，R2的值越接近于1，說明回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果越好．答案：A2．某學生四次模擬考試中，其英語作文的減分情況如下表：考試次數(shù)x1234所減分數(shù)y43顯然所減分數(shù)y與模擬考試次數(shù)x之間有較好的線性相關關系，則其線性回歸方程為()A．y＝＋ B．y＝－＋C．y＝－＋ D．y＝－＋解析：由題意可知，所減分數(shù)y與模擬考試次數(shù)x之間為負相關，所以排除A.考試次數(shù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)(1＋2＋3＋4)＝，所減分數(shù)的平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)＋4＋3＋＝，即直線應該過點,，代入驗證可知直線y＝－＋成立，故選D.答案：D3．有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點去尋找一條直線，貼近這些樣本點的數(shù)學方法；②利用樣本點的散點圖可以直觀判斷兩個變量的關系是否可以用線性關系表示；③通過回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))及其回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))，可以估計和觀測變量的取值和變化趨勢；④因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進行相關性檢驗．其中正確說法的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：①反映的是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點圖的作用，也正確．③反映的是回歸模型y＝bx＋a＋e，其中e為隨機誤差，故也正確．④不正確，在求回歸方程之前必須進行相關性檢驗，以體現(xiàn)兩變量的關系．故選C.答案：C4．已知某車間加工零件的個數(shù)x與所花費時間y(h)之間的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，則加工600個零件大約需要()A．h B．hC．h D．h解析：將x＝600代入y＝＋中得y＝.答案：A5．甲、乙、丙、丁4位同學各自對A，B兩變量進行回歸分析，分別得到散點圖與殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2如下表：甲乙丙丁散點圖殘差平方和115106124103哪位同學的試驗結果體現(xiàn)擬合A，B兩變量關系的模型擬合精度高()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：根據(jù)線性相關的知識，散點圖中各樣本點條狀分布越均勻，同時保持殘差平方和越小(對于已經獲取的樣本數(shù)據(jù)，R2的表達式中eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2為確定的數(shù)，則殘差平方和越小，R2越大)，由回歸分析建立的線性回歸模型的擬合效果越好，由試驗結果知丁要好些．故選D.答案：D6．設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－，則下列結論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關關系B．回歸直線過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg解析：回歸方程中x的系數(shù)為>0，因此y與x具有正的線性相關關系，A正確；由回歸方程系數(shù)的意義可知回歸直線過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，B正確；依據(jù)回歸方程中eq\o(y,\s\up6(^))的含義可知，x每變化1個單位，eq\o(y,\s\up6(^))相應變化約個單位，C正確；用回歸方程對總體進行估計不能得到肯定的結論，故D錯誤．答案：D二、填空題7．在研究兩個變量的相關關系時，觀察散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點集中于某一條指數(shù)曲線y＝ebx＋a的周圍，令eq\o(z,\s\up6(^))＝lny，求得回歸直線方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝－，則該模型的回歸方程為________．解析：因為eq\o(z,\s\up6(^))＝－，eq\o(z,\s\up6(^))＝lny，所以y＝－.答案：y＝－8．若一個樣本的總偏差平方和為80，殘差平方和為60，則相關指數(shù)R2為________．解析：回歸平方和＝總偏差平方和－殘差平方和＝80－60＝20，故R2＝eq\f(20,80)＝或R2＝1－eq\f(60,80)＝.答案：9．為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時間之間的關系，下表記錄了小李某月1號到5號每天打籃球時間x(單位：小時)與當天投籃命中率y之間的關系：時間x12345命中率y小李這5天的平均投籃命中率為________，用線性回歸分析的方法，預測小李該月6號打6小時籃球的投籃命中率為________．解析：這5天的平均投籃命中率為eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f＋＋＋＋,5)＝.eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3.eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝(1－3)×－＋(2－3)×－＋(3－3)×－＋(4－3)×－＋(5－3)×－＝.eq\o(,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10.eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f,10)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－＝.所以回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.當x＝6時，eq\o(y,\s\up6(^))＝×6＋＝.答案：三、解答題10．某醫(yī)院用光電比色計檢驗尿汞時，得尿汞含量x(mg/L)與消光系數(shù)y讀數(shù)的結果如下：尿汞含量x246810消光系數(shù)y64138205285360(1)畫出散點圖；(2)求回歸方程．解：(1)散點圖如圖所示．(2)由圖可知y與x的樣本點大致分布在一條直線周圍，因此可以用線性回歸方程來擬合它．設回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝－,故所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－.11．關于x與y有以下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070已知x與y線性相關，由最小二乘法得eq\o(b,\s\up6(^))＝，(1)求y與x的線性回歸方程；(2)現(xiàn)有第二個線性模型：eq\o(y,\s\up6(^))＝7x＋17，且R2＝.若與(1)的線性模型比較，哪一個線性模型擬合效果比較好，請說明理由．解：(1)依題意設y與x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋eq\o(a,\s\up6(^)).eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝50，∵eq\o(y,\s\up6(^))＝＋eq\o(a,\s\up6(^))經過(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，∴50＝×5＋eq\o(a,\s\up6(^))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝，∴y與x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(2)由(1)的線性模型得yi－eq\o(y,\s\up6(^))i與yi－eq\o(y,\s\up6(－))的關系如下表：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i－－10－yi－eq\o(y,\s\up6(－))－20－1010020所以eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝(－2＋(－2＋(－10)2＋(－2＋＝155.eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1000.所以Req\o\al(2,1)＝1－eq\f(\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝1－eq\f(155,1000)＝.由于Req\o\al(2,1)＝，R2＝知Req\o\al(2,1)>R2，所以(1)的線性模型擬合效果比較好．12．假設某農作物基本苗數(shù)x與有效穗數(shù)y之間存在相關關系，今測得5組數(shù)據(jù)如下：xy(1)以x為解釋變量，y為預報變量，畫出散點圖；(2)求y與x之間的回歸方程，對于基本苗數(shù)預報有效穗數(shù)；(3)計算各組殘差；(4)求R2，并說明隨機誤差對有效穗數(shù)的影響占百分之幾？解：(1)散點圖如圖所示．(2)由圖看出，樣本點呈條狀分布，有比較好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關系．設線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，由表中數(shù)據(jù)可得eq\o(b,\s\up6(^))≈，eq\o(a,\s\up6(^))≈，故y與x之間的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.當x＝時，eq\o(y,\s\up6(^))＝×＋＝.估計有效穗數(shù)為.(3)各組數(shù)據(jù)的殘差分別為eq\o(e,\s\up6(^))1＝，eq\o(e