量子力學-71量子態(tài)的不同表象和幺正變換

*第7章量子力學中的矩陣形式與表象變換

一、直角坐標系中的類比

取平面直角坐標系x1x2的基矢為e1和e2,長度為1，彼此正交

標積

我們將其稱之為基矢的正交歸一關(guān)系.平面上的任一矢量

可以用它們來展開A1、A2代表A在坐標系中的投影.稱為矢量A在坐標系x1x2中的表示.7.1量子態(tài)的不同表象，么正變換

二、坐標系順時針轉(zhuǎn)動

現(xiàn)在將坐標系x1x2順時針方向轉(zhuǎn)動，得到

x1′x2′,其基矢為e1′和e2′,滿足在此坐標系中,矢量A表示成其中投影分量是

同一個矢量A在兩個坐標系中的表示有什么關(guān)系？根據(jù)(2)和(2')式上式分別用e1′和e2′點乘,得表成矩陣的形式為或記為把A在兩坐標中的表示聯(lián)系起來的變換矩陣

矩陣R的矩陣元是兩個坐標系的基矢之間的標積，它表示基矢之間的關(guān)系.故當R給定，則任何一個矢量在兩坐標系間的關(guān)系也隨之確定.

三、變換矩陣的性質(zhì)變換矩陣R具有下述性質(zhì)：是R的轉(zhuǎn)置矩陣真正交矩陣（實矩陣）

四、不同表象中基矢的關(guān)系量子態(tài)和力學量(算符)的不同表示形式,稱為表象。

形式上與此類似，在量子力學中，按態(tài)疊加原理，任何一個量子態(tài)，可以看成抽象的Hilbert空間中的一個“矢量”.體系的任何一組對易力學量完全集F的共同本征態(tài)，可以用來構(gòu)成此空間的一組正交歸一完備的基矢（稱為F表象）對于任意態(tài)矢量y

，可以用它們展開

其中這一組數(shù)

就是態(tài)(矢)在F表象中的表示，它們分別是態(tài)矢y與各基矢的標積.與平常解析幾何不同的是：①這里的“矢量”(量子態(tài))一般是復量；②空間維數(shù)可以是無窮的，甚至不可數(shù)的.現(xiàn)在考慮同一個態(tài)y在另一組力學量完全集

F′中的表示.F′表象的基矢,即F′的本征態(tài)y'a

,它們滿足正交歸一性對于任意態(tài)矢量y

，可以用它們展開

這一組系數(shù)

就是態(tài)(矢)y在F'表象中的表示，顯然(14)左乘(取標積),得與有何關(guān)系？其中

F′表象基矢與F表象基矢的標積

(15)式也可以寫成矩陣的形式：簡記為

式(17)就是同一個量子態(tài)在F′表象中的表示與它在F表象中表示的關(guān)系，它們通過S矩陣相聯(lián)系，且

變換矩陣S為么正(unitary)矩陣矩陣，此變換也稱為么正變換.

一、直角坐標系中的類比

仍以平面矢量作類比（逆時針轉(zhuǎn)動q角）在坐標系x1x2中，它們分別表示成令*7.2力學量（算符）的矩陣表示寫成分量的形式，有分別點乘上式得即（2）式的矩陣表示

把矢量逆時針方向旋轉(zhuǎn)q角的操作可用R(q)刻畫它的矩陣元是描述基矢在旋轉(zhuǎn)下如何變化的.例如第一列元素

與上類比,設量子態(tài)y經(jīng)過算符運算后變成另一個態(tài)f在F表象中,上式表示為兩邊左乘,取標積，得其中

式(6)表示成矩陣形式則為[分析]：不同體系的Hamilton量不一樣，能量表象的基矢也不一樣.這里能量表象的基矢為一維諧振子Hamilton量的本征函數(shù)

解：利用一維諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系

二、例：求一維諧振子的坐標x、動量p以及Hamilton量

H在能量表象中的表示.可以計算出注意：這里的m、n都是由0開始取值.這樣而所以是一個對角矩陣

任何力學量在自身表象中的表示都是對角矩陣.

三、力學量的表象變換F表象（基矢yk）中，力學量L表示為矩陣（Lkj）,矩陣元F′表象（基矢ya）中，力學量L表示為矩陣（L'ab）,矩陣元得即在F和F′表象中的矩陣表示分別表示力學量是從F表象→F′表象的么正變換

三、總結(jié)與比較量子態(tài)力學量表象（基矢）表象（基矢）7.3.1Schr?dinger方程在F表象中(設F本征值為離散)

代入（1）式得

兩邊左乘，取標積，得7.3量子力學的矩陣形式寫成矩陣的形式是此即F表象中的Schr?dinger方程.7.3.2平均值，力學量(算符)

在量子態(tài)的平均值為特例若,即在自身表象中，則在y態(tài)下7.3.3本征方程的本征方程為

算符用代入兩邊左乘，取標積，得即這是ak的齊次線性方程組.

方程組有非平庸解的條件是系數(shù)行列式為零，即明顯寫出：如表象空間的維數(shù)為N，則上式是關(guān)于的N次方程，有N個實根.記為分別用代入式（8），可求出相應的解可以得到

表成列矢的形式為注意：若有重根，則會出現(xiàn)簡并（不同的態(tài)對應相同的能級），簡并態(tài)還不能唯一確定.7.4.1左矢(bra)和右矢(ket)Dirac符號的優(yōu)點1.毋需采用具體表象2.運算簡捷Hilbert空間：由量子體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成.

在這個空間中，態(tài)用右矢

表示，一般寫為

也可以在右矢內(nèi)填上相應的量子數(shù)或本征值來表示相應的態(tài)，如7.4Dirac符號分別表示坐標、動量和能量算符的本征態(tài).

表示角動量算符

的共同本征態(tài).左矢如

等,則是上述右矢的共軛態(tài)矢.

7.4.2標積而定義兩個態(tài)矢

和

的標積的形式為若滿足

則稱

與

正交。

若滿足

則稱

為歸一化態(tài)矢。

若力學量完全集F的本征態(tài)(離散)記為

則其正交歸一性可寫為對連續(xù)譜，比如坐標算符的本征態(tài)的正交歸一性可寫為而動量算符的本征態(tài)的正交歸一性可寫為7.4.3態(tài)矢在具體表象中的表示1.離散譜的情況展開系數(shù)在

它是

上的投影.用列矢表示為可用展開，即在F表象中(基矢記為),任意態(tài)矢量

(4)式代入(3)式,得表示，即是一個投影算符，用(5)式中式(5)中是任意的,因此

我們稱算符I為單位算符，這是基矢完備性的表現(xiàn)，通過以后的學習會發(fā)現(xiàn)它有著非常重要的意義.2.連續(xù)譜的情況在這種情況下,上述的求和要用積分代替.比如：運算后，就得到態(tài)矢它對任何態(tài)矢在基矢方向上的分量矢量3.兩個態(tài)矢之間的標積寫法在F表象中，兩個態(tài)矢

和

之間的標積可如下計算：7.4.4算符在具體表象中的表示在F表象中，

的矩陣元是(11)左乘得設態(tài)矢經(jīng)算符的作用后變成態(tài)矢,即即在F表象中的表示為即力學量L的本征方程基矢方向的投影.

是在F表象的分別是態(tài)矢在F表象中的表示式(15)寫成矩陣的形式，有7.4.5Schr?dinger方程Schr?dinger方程可寫為在F表象中表示如下：即的平均值用Dirac符號表示為在態(tài)下，7.4.6表象變換1.態(tài)的表象變換態(tài)

在F表象中用

描述，在F′表象中用

描述，則此兩個表示之間的關(guān)系可由下式給出(利用(8)式)即式中是從F→F'表象的變換，描述兩個表象的基矢之間的關(guān)系。寫成矩陣的形式，有可以簡寫成其中S為么正矩陣，即滿足下面用Dirac符號來證明上式證明：在F表象中同理可證

2.算符的表象變換算符

在F表象中的矩陣元為在F'表象中的矩陣元為而寫成矩陣的形式是分別為

在F'和F表象中的矩陣以下討論連續(xù)譜表象，特別是坐標表象和動量表象(1)在x表象中x的矩陣元很容易寫出本征方程為本征態(tài)的正交歸一關(guān)系為任一量子態(tài)在x表象中表示為通常記為在x表象中，坐標本征態(tài)（本征值為x'）表示為而動量本征態(tài)(本征值為p')表示為類似可以給出動量的本征方程和本征態(tài)的正交歸一關(guān)系為在動量表象中，動量本征態(tài)(本征值為p')表示為坐標本征態(tài)(本征值為x')表示為(2)坐標表象與動量表象的變換在坐標表象中，力學量的“矩陣”表示如下，例如，坐標x矩陣表示為而動量p的“矩陣”表示為與此類似,可計算出,在動量表象中動量的“矩陣”表示而坐標x的“矩陣”表示為3.力學量在不同表象中的平均值在量子態(tài)