機器人運動中的矩陣變換

機器人工程及應用1▲雅可比矩陣的定義▲微分運動與廣義速度▲雅可比矩陣的構(gòu)造法▲PUMA560機器人的雅可比矩陣▲逆雅可比矩陣▲力雅可比矩陣第四講：微分運動和雅可比矩陣

上一章我們討論了剛體的位姿描述、齊次變換，機器人各連桿間的位移關(guān)系，建立了機器人的運動學方程，研究了運動學逆解，建立了操作空間與關(guān)節(jié)空間的映射關(guān)系。本章將在位移分析的基礎(chǔ)上，進行速度分析，研究操作空間速度與關(guān)節(jié)空間速度之間的線性映射關(guān)系——雅可比矩陣(簡稱雅可比)。雅可比矩陣不僅用來表示操作空間與關(guān)節(jié)空間之間的速度線性映射關(guān)系，同時也用來表示兩空間之間力的傳遞關(guān)系。4.1雅可比矩陣的定義

把機器人關(guān)節(jié)速度向量定義為：

式中，為連桿i相對i-1的角速度或線速度。手抓在基坐標系中的廣義速度向量為：

式中，v為線速度，ω為角速度分量。從關(guān)節(jié)空間速度向操作空間速度映射的線性關(guān)系稱為雅可比矩陣，記為J，即：

4-3在數(shù)學上，機器人終端手抓的廣義位置（位姿）矢量P可寫成：

上式對時間求導，有：4-5對照式4-3和式4-5，可知：

在機器人學中，J是一個把關(guān)節(jié)速度向量變換為手爪相對基坐標的廣義速度向量的變換矩陣。在三維空間運行的機器人，其J陣的行數(shù)恒為6(沿/繞基坐標系的變量共6個)；列數(shù)則為機械手含有的關(guān)節(jié)數(shù)目。對于平面運動的機器人來說，手的廣義位置向量均容易確定，可采用直接微分法求J，比較方便。對于三維空間運行的機器人則不完全適用。從三維空間運行的機器人運動學方程，可以獲得直角坐標位置向量的顯式方程，因此，J的前三行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量的一般表達式。找不出互相獨立的、無順序的三個轉(zhuǎn)角來描述方位．繞直角坐標軸的連續(xù)角運動變換是不可交換的，而對角位移的微分與對角位移的形成順序無關(guān)，故一般不能運用直接微分法來獲得J的后三行。因此，常用構(gòu)造性方法求雅可比J。4.2微分運動動與廣義義速度剛體或坐坐標系的的微分運運動包括括微分移移動矢量量d和微微分轉(zhuǎn)動動矢量δ。前者由由沿三個個坐標軸軸的微分分移動組組成，后后者由繞繞三個坐坐標軸的的微分轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動組成成，即或或剛體或坐坐標系的的微分運運動矢量量剛體或坐坐標系的的廣義速速度簡寫為：：其中，R是旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩陣S(P)為矢量量P的反反對稱矩矩陣S(P)矩陣具具有以下下性質(zhì)：：相應的，，廣義速速度V的的坐標變變換為：：任意兩坐坐標系A(chǔ)和B之之間廣義義速度的的坐標變變換為：：4.3雅可比矩矩陣的構(gòu)構(gòu)造法構(gòu)造雅可可比矩陣陣的方法法有矢量量積法和和微分變變換法，，雅可比比矩陣J(q)既可當當成是從從關(guān)節(jié)空空間向操操作空間間的速度度傳遞的的線性關(guān)關(guān)系，也也可看成成是微分分運動轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換的線線性關(guān)系系，即：：對于有n個關(guān)節(jié)節(jié)的機器器人，其其雅可比比矩陣J(q)是6×n階矩陣陣，其前前三行稱稱為位置置雅可比比矩陣，，代表對對手爪線線速度v的傳遞遞比，后后三行稱稱為方位位矩陣，，代表相相應的關(guān)關(guān)節(jié)速度度對對手手爪的角角速度ω的傳遞遞比。因因此，可可將雅可可比矩陣陣J(q)分塊，即即：式中，Jli和Jai分別表示示關(guān)節(jié)i的單位位關(guān)節(jié)速速度引起起手爪的的線速度度和角速速度。雅可比矩矩陣的求求解（矢矢量積法法）：Jli的求法：：(1)第第i關(guān)關(guān)節(jié)為移移動關(guān)節(jié)節(jié)時僅平移關(guān)關(guān)節(jié)產(chǎn)生生的線速速度設(shè)某時刻刻僅此關(guān)關(guān)節(jié)運動動、其余余的關(guān)節(jié)節(jié)靜止不不動，則則：設(shè)bi-1為zi-1軸上的單單位矢量量，利用用它可將將局部坐坐標下的的平移速速度di轉(zhuǎn)換成成基礎(chǔ)坐坐標下的的速度：：由于所以(2)第第i個關(guān)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)節(jié)時，設(shè)設(shè)某時時刻僅此此關(guān)節(jié)運運動，其其余的關(guān)關(guān)節(jié)靜止止不動，，仍然利利用bi-1將zi-1軸上的角角速度轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化到基基礎(chǔ)坐標標中去僅旋轉(zhuǎn)關(guān)關(guān)節(jié)產(chǎn)生生的線速速度矢量起起于于Oi-1，止于On，所以由由ωi產(chǎn)生的線線速度為為:由于所以雅可比矩矩陣的求求解：Jai的求法：：第i關(guān)節(jié)為移移動關(guān)節(jié)節(jié)時由于關(guān)節(jié)節(jié)移動的的平移不不對手部部產(chǎn)生角角速度，，所以此此時(2)第第i關(guān)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)節(jié)時，所以當?shù)趇關(guān)關(guān)節(jié)為移移動關(guān)節(jié)節(jié)時當?shù)趇關(guān)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)節(jié)時確定1、用b表示zi-1軸上的單單位向量量把它轉(zhuǎn)換換到基礎(chǔ)礎(chǔ)坐標系系中，即即為如右圖所所示。用用O、Oi-1、On分別表示示基礎(chǔ)坐坐標系、、i-1號坐標標及手部部坐標系系的原點點。用矢矢量x表表示在各各自坐標標系中的的原點。。把用齊次坐坐標表示示有上式可可以確定定例2-6：建立立右圖的的雅可比比矩陣機械臂末末端的速速度為微分變換換法對于轉(zhuǎn)動動關(guān)節(jié)對于移動動關(guān)節(jié)對于移動動關(guān)節(jié)對于轉(zhuǎn)動動關(guān)節(jié)例：PUMA560的的6個關(guān)關(guān)節(jié)都是是轉(zhuǎn)動關(guān)關(guān)節(jié)，其其雅可比比有6列列。此處處用矢量量積法計計算J(q)例：斯坦坦福六自自由度機機器人除除第三關(guān)關(guān)節(jié)為移移動關(guān)節(jié)節(jié)外，其其余5個個關(guān)節(jié)為為轉(zhuǎn)動關(guān)關(guān)節(jié)。此此處用微微分法計計算TJ(q)若給定機機器人終終端手抓抓的廣義義速度向向量V，，則可由由下式解解出相應應的關(guān)節(jié)節(jié)速度：：逆雅可比比矩陣上式中，，稱稱為逆逆雅可比比矩陣，，為為加給給對應關(guān)關(guān)節(jié)伺服服系統(tǒng)的的速度輸輸入變量量。雅可比矩矩陣的應應用1、分離離速度控控制由上式可可見，當當已知手手端速度度向量V，可通通過左乘乘雅可比比逆矩陣陣計算出出機器人人的關(guān)節(jié)節(jié)速度向向量，所所以上式式為運動動學逆問問題的速速度關(guān)系系式，是是對機器器人進行行速度控控制的基基本關(guān)系系式。采用計算算機控制制時，把把速度表表示位置置增量的的形式，，故將上上式寫為為：式中,Δv為手部在在基礎(chǔ)坐坐標下一一個采樣樣周期的的位移(線位移移、角位位移)；；Δq為在同一一周期內(nèi)內(nèi)關(guān)節(jié)變變量的增增量。當要求機機器人沿沿某軌跡跡運動時時，Δv為已知，，將它代代入上式式中求得得關(guān)節(jié)變變量增量量Δq，于是可可確定各各關(guān)節(jié)變變量值，，由伺服服系統(tǒng)實實現(xiàn)位置置控制，，這就是是分離速速度控制制原理，，如下圖圖所示。。Δv要求Δv實際分離速度度控制原原理雅可比矩矩陣的應應用2、在靜靜力分析析中的應應用有些機器器人的工工作需要要與環(huán)境境接觸，，并保持持一定的的接觸力力，如右右圖所示示。接觸觸力F可可表示為為一個六六維力向向量：設(shè)一個驅(qū)驅(qū)動器只只驅(qū)動一一個關(guān)節(jié)節(jié)，則n個關(guān)節(jié)節(jié)需求n個驅(qū)動動力，可可組成一一個n維維關(guān)節(jié)力力向量:T與F的的關(guān)系可可以表示示為：2-56式中，稱稱為機機器人力雅可比比，它表示示在靜止止平衡狀狀態(tài)下，，末端廣廣義力向向關(guān)節(jié)力力映射的的線性關(guān)關(guān)系。顯顯然，力力雅可比比是機器器人速度度雅可比比的轉(zhuǎn)置置。因此此，機器器人靜力力學傳遞遞關(guān)系和和速度傳傳遞關(guān)系系緊密相相關(guān)。由構(gòu)型和和例2-6可得得：思考題1：右圖為三三自由度度機械手手(1)用用D-H方法建建立各附附體坐標標系；(2)列列出連桿桿的D-H參數(shù)數(shù)表；(3)建建立運動動學方程程；(4)建建立雅可可比矩陣陣。