浙江大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章習(xí)題

第三章習(xí)題1.

在一個(gè)箱子中裝有12只開關(guān),其中2只是次品,在其中取兩次,每次任取一只,考慮兩種試驗(yàn):(1)放回抽樣;(2)不放回抽樣.我們定義隨機(jī)變量X,Y如下:若第一次取出的是正品,若第一次取出的是次品;若第二次取出的是正品,若第二次取出的是次品.試分別就(1),(2)兩種情況,寫出X和Y的聯(lián)合分布律.解設(shè)事件Ak表示“第k次取出的是正品”,k=1,2.P{X=0,Y=0}=P(A1A2)(1)放回抽樣=P(A1)P(A2)P{X=0,Y=1}=P(A1A2)=P(A1)P(A2)P{X=1,Y=0}=P(A1A2)=P(A1)P(A2)P{X=1,Y=1}=P(A1A2)=P(A1)P(A2)X

01Y

15/361/36

025/365/36P{X=i}5/61/61P{Y=j}5/61/6X和Y的聯(lián)合分布律列表如下(2)不放回抽樣P{X=0,Y=0}=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)P{X=0,Y=1}=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)P{X=1,Y=0}=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)P{X=1,Y=1}=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)X

01Y

110/661/66

045/6610/66P{X=i}5/61/61P{Y=j}5/61/6(1)(2)問第1題中的隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立?(需說明理由)16(1)X和Y的邊緣分布如下所示解

(1)P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}對(duì)(X,Y)所有可能取值(i,j)(i,j=0,1)都成立,故放回抽樣X和Y相互獨(dú)立.(2)P{X=1,Y=0}=10/66P{X=1}P{Y=0}=(1/6)(5/6)=5/36故不放回抽樣X和Y不相互獨(dú)立.3.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為(1)確定常數(shù)k;(2)求P{X<1,Y<3};(3)求P{X<1,5};(4)求P{X+Y4}.解(1)由歸一性2x42y故k=1/8.(2)P{X<1,Y<3}(3)P{X<1,5}(4)P{X+Y4}=Dx+y=4G2x42y(1)(2)(3)(4)(5)求分布函數(shù)2x42y(1)y<2,-<x<,或x<0,-<y<時(shí),F(x,y)=0.(2)0x<2,2y<4時(shí),2x42y(x,y)(1)(x,y)(2)(3)x2,2y<4時(shí),2x42y(x,y)(3)(4)0x<2,y4時(shí),2x42y(x,y)(4)(5)x2,y4時(shí),2x42y(x,y)(5)總之6.將一枚硬幣擲3次,以X表示前2次中出現(xiàn)H的次數(shù),以Y表示3次中出現(xiàn)H的次數(shù).求X,Y的聯(lián)合分布律以及(X,Y)的邊緣分布律.解先將試驗(yàn)的樣本空間和X,Y的取值情況列表如下:樣本點(diǎn)eHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX

22111100Y

32221110

p

1/81/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8

1/8Y0123X0121000000P{X=i}P{Y=j}由表中可知,X所有可能取的值為0,1,2,Y所有可能取的值為0,1,2,3.X,Y的聯(lián)合分布律如右表所示.(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律可用X=i時(shí)Y取所有可能取的值的概率相加而得;(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律可用Y=j時(shí)X取所有可能取的值的概率相加而得.

pk0123Y

pk012X也可以單獨(dú)列表如下:7.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求邊緣概率密度.解f(x,y)0的區(qū)域G如右圖所示xyx=yG019.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為(1)試確定常數(shù)c;(2)求邊緣概率密度.解如圖,陰影部份是f(x,y)不為零的區(qū)域D(1)由歸一性xoy1-1y=x2y=1D故c=21/4.(2)0,其它0,其它10.將某一醫(yī)藥公司9月份和8月份收到的青霉素針劑的訂貨單數(shù)分別記為X和Y.據(jù)以往積累的資料知X和Y的聯(lián)合分布律為P{Y=j}1.00P{X=i}0.180.150.35Y5152535455X

510.060.050.050.010.01

520.070.050.010.010.01

530.050.100.100.050.05

540.050.020.010.010.03

550.050.060.050.010.03(1)求邊緣分布律;

(2)求8月份的訂單數(shù)為51時(shí),9月份訂單數(shù)的條件分布律.

解

(1)關(guān)于X的邊緣分布律見表右,0.120.20

pk

5152535455X0.180.150.350.120.20關(guān)于Y的邊緣分布律見表下,也可以單獨(dú)列表

pk

5152535455Y0.280.280.220.090.130.280.280.220.090.13(2)X=i5152535455P{X=i|Y=51}列表如下11.以X記某醫(yī)院一天出生的嬰兒的個(gè)數(shù),Y記其中男嬰的個(gè)數(shù),設(shè)X和Y的聯(lián)合分布律為m=0,1,2,…,n;n=0,1,2,….

(1)求邊緣分布律;(2)求條件分布律;(3)特別,寫出當(dāng)X=20時(shí),Y的條件分布律.解(1)P{X=n}(n=0,1,2,…)(2)P{Y=m}(m=0,1,2,…,n)k=n-m(2)當(dāng)Y一定,即m=0,1,2,…時(shí)P{X=n|Y=m}(n=m+1,m+2,…)當(dāng)X一定,即n=0,1,2,…時(shí)P{Y=m|X=n}(m=0,1,2,…,n)(3)特別,當(dāng)X=20時(shí),P{Y=m|X=20}(m=0,1,2,…,20)13.在第9題中(1)求條件概率密度fX|Y(x|y),特別,寫出當(dāng)Y=1/2時(shí)X的條件概率密度;(2)求條件概率密度fY|X(y|x),特別,分別寫出當(dāng)X=1/3,X=1/2時(shí)Y的條件概率密度;(3)求條件概率P{Y1/4|X=1/2},P{Y3/4|X=1/2}.

解第9題已求得(X,Y)的概率密度和分別關(guān)于X和Y的邊緣概率密度(1)只有當(dāng)fY(y)0,即當(dāng)0<y1時(shí)才有意義,此時(shí)fX|Y(x|y)x2y特別,當(dāng)Y=1/2時(shí),fX|Y(x|y=1/2)(2)只有當(dāng)fX(x)0,即當(dāng)-1<x<1時(shí)才有意義,此時(shí)fY|X(y|x)當(dāng)X=1/3時(shí),fY|X(y|x=1/3)當(dāng)X=1/2時(shí),fY|X(y|x=1/2)(3)P{Y1/4|X=1/2}P{Y3/4|X=1/2}14.16(2)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求條件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y).解如圖,陰影部份是f(x,y)不為零的區(qū)域GxyGx=yx=-y11-10先求邊緣概率密度當(dāng)|y|<1時(shí)當(dāng)0<x<1時(shí)問第14題中的隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立?(需說明理由)解故X和Y不相互獨(dú)立.18.設(shè)X和Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X在(0,1)上服從均勻分布,Y的概率密度為(1)求X和Y的聯(lián)合概率密度;(2)設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求a有實(shí)根的概率.解(1)(2)方程a2+2Xa+Y=0中a有實(shí)根的的條件是判別式4X2-4Y0,即X2Y.11G故所求概率為=1-0.8555=0.1445標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)xyy=x2DO22.設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其概率密度分別為求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度.解法一:ozx11x=z當(dāng)0x1時(shí),fX(x)0;當(dāng)x<z時(shí),fY(z-x)0.總之,只有當(dāng)0x1且x<z時(shí),即在圖示陰影區(qū)域中,被積函數(shù)才不為零,從而fZ(z)才不為零.顯然,z<0時(shí),fZ(z)=0.0z<1時(shí),z1時(shí),法二:只有當(dāng)z-1yz且y>0時(shí),即在圖示陰影區(qū)域中,被積函數(shù)才不為零,從而fZ(z)才不為零.總之0,其它fZ(z)=ozy1y=zy=z-1顯然,z<0時(shí),fZ(z)=0.0z<1時(shí),z1時(shí),28.設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們都服從正態(tài)分布N(0,2).試驗(yàn)證隨機(jī)變量具有概率密度我們稱Z服從參數(shù)為(>0)的瑞利(Rayleigh)分布.解由于X,Y相互獨(dú)立先求Z的分布函數(shù)FZ(z)=P{Zz},由于非負(fù),故z<0時(shí),FZ(z)=0;z0時(shí),FZ(z)=P{Zz}xyzG總之zfZ(z)o

31.對(duì)某種電子裝置的輸出測(cè)量了5次,得到結(jié)果為:X1,X2,X3,X4,X5.設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且都服從參數(shù)=2的瑞利分布(其密度見28題).(1)求Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)的分布函數(shù);(2)求P{Z>4}.解由28題參數(shù)=2的瑞利分布的概率密度為其分布函數(shù)為(1)由于Xi(i=1,2,3,4,5)相互獨(dú)立且都服從參數(shù)=2的瑞利分布.故Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)的分布函數(shù)(2)P{Z>4}=1-P{Z4}=1-FZ(4)