理論力學(xué)-力偶系

第三章§3-1力對點的矩nO1.力對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)用力對點的矩來度量a.平面力系的力對同平面中的點之矩hOABF假設(shè)力作用在圖示平面內(nèi)，且O點也在此平面內(nèi)，則力F對O點的矩為

MO

(F

)=±Fh

或：

MO

(F

)=±2△OAB

力對點之矩使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)。

O——稱為矩心

h——稱為力臂單位：N·m或kN·mhOABhOABhOABrFFnnnnhABMO(F)rhABMO(F)r空間力系中力對點的矩需用矢量表示：hABOzxyMO(F)矩的矢量記作MO(F)，且

MO

(F)=

r×F——定位矢量b.空間力系中的力對點的矩2）矢量的方位與力和矩心組成的平面的法向同，矩心為矢起端；3）矢量的指向確定了轉(zhuǎn)向，按右手法則。r1）矢量的模等于力矩的大??；hABMO(F)r顯然|M

O(F)|=Fh=2△OABF見后續(xù)力對點的矩為零的條件：要使|MO(F)|=0，就有r×F=0，得：1）r=0或r與F共線，即力通過矩心；2）F=0力對點的矩采用行列式可得如下形式：由：

r

=xi+y

j+zk和F=X

i+Y

j+Z

k可得：=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k2.

合力矩定理設(shè)r為矩心到匯交點的矢徑，R

為F1、F2、…、Fn的合力，即：R

=F1+F2+…+Fn

可得：MO

(R)=r×R=r×(F1+F2+…+Fn

)

=r×F1+r×

F2

+…+r×Fn

=MO

(F1)+MO

(F2)+…+MO

(F

n

)也就是：匯交力系的合力對點的矩等于該力系所有分力對同一點的矩的矢量和。證：①兩個同向平行力的合力

大小：R=Q+P

方向：平行于Q、P且指向一致 作用點：C處確定C點由合力距定理3.

平行力的合成②兩個反向平行力的合力

大?。篟=Q-P

方向：平行于Q、P且與較大的相同 作用點：C處（推導(dǎo)同上）§3-2力偶與力偶矩1.力偶與力偶矩力偶——由兩個等值、反向且不共線的平行力系組成。記作（F，F(xiàn)

’）這一矢量稱作力偶矩矢1）其長度表示力偶矩大??；dFF’BA兩個力組成的平面稱

力偶作用面兩個力間的垂距d稱為

力偶臂空間力系因力偶作用面的方位可能各不相同，故把力偶用矢量表示。M2）方位與作用面法方向方位n同。3）指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋法則。nMdddMnMMnMMnM按前述的力偶三要素可知，力偶矩矢可以平行搬移，且不需確定矢的初端位置。為進一步說明力偶矩矢為自由矢，顯示力偶的等效性質(zhì)，可以證明：ndFF’BAMnM∵F=-F’顯見力偶矩的大小為M為自由矢M為自由矢M為自由矢M為自由矢Oa.力偶矩矢是自由矢力偶對空間任一點的矩都相等，即等于力偶矩矢。證：如圖求力偶（F，F(xiàn)’）對任意點，如O點的矩。畫出O點到二力作用點A、B的矢徑所以，力偶對空間任意點的矩矢與矩心無關(guān)。b.平面力偶系的力偶若在所研究的問題中，所有的力偶都作用在同一平面內(nèi)，則稱為平面力偶系。FF’BACd將平面力偶系的力偶記作M(F,F’)，簡稱

M

。力偶矩為代數(shù)量即：M=±Fd=±2△ACB以逆時針為正，反之為負(fù)，單位與力矩相同。作用于剛體上的兩力偶，若它們的力偶矩矢相等，則此二力偶等效?！ε嫉刃Фɡ?.力偶的性質(zhì)性質(zhì)一證：分兩部分加以證明（1）力偶作用面可平行移動而不改變力偶對剛體的效應(yīng)。（2）在同平面內(nèi)的兩力偶，若力偶矩相等，轉(zhuǎn)向相同，兩力偶對剛體的作用彼此等效。等效eabdc證：設(shè)==-Fd力的作用線分別相交于a、b兩點，等效地移至a、b兩點，力=-2△acb∵兩三角形同底等高∴△aeb=△acb得：=-Fd=的力偶臂也為d∴

F1=F將=-2△aeb和分別分解性質(zhì)一的實質(zhì)（1）力偶在其作用面內(nèi)只要力偶矩不變（即力與力偶臂的積不變），它就可以隨意的轉(zhuǎn)移，也可以增大力的同時減小力偶臂（或減小力的同時增大力偶臂），不改變它對剛體的作用效應(yīng)。（2）力偶的作用面可以隨意平行搬移，不改變它對剛體的作用效應(yīng)。性質(zhì)一實質(zhì)的圖解不同平面力偶等效

平行搬移性質(zhì)二

力偶不能與一個力相平衡。證：用反證法。即假設(shè)平衡力存在。1、平衡力與力偶作用面平行。由性質(zhì)一知總可以轉(zhuǎn)動力偶和平行搬移力偶作用面使三力有兩個交點，這與平衡匯交定理相矛盾。2、平衡力與力偶作用面不平行。仍由性質(zhì)一知總可以轉(zhuǎn)動力偶和平行搬移力偶作用面使力偶中的一個力與所謂的平衡力合成為一個大小及方位都與力偶的另一個力不同的力,這與二力平衡原理相矛盾。性質(zhì)三 力偶沒有合力。證：

仍用反證法，即假定力偶有合力，那么總可找到一個與此力大小相等，方向相反而作用線共線的力與此力平衡，即力與力偶相平衡。與性質(zhì)二矛盾。

性質(zhì)一、二和三告訴我們力偶只能與力偶等效而不能與單個力等效。力偶只能與力偶相平衡力偶只能與力偶相平衡力偶只能與力偶相平衡力偶只能與力偶相平衡3.力偶系的合成任意個力偶可以合成為一個合力偶，這個合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。M=

M1+M2+…+Mn

=∑MiM1+M2+…+M

n=rBA×F1+rBA×F2+…+rBA×Fn=rBA×(F1+F2+…+Fn

)=rBA×R=MM1MnM2RBABA證：

設(shè)有n個力偶，由性質(zhì)一,總可得到兩個匯交力系，匯交點分別為A和B。證畢。4.力偶系的平衡條件在平面力偶系中合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。

M=M1+M2+…+Mn

=∑Mi由合成結(jié)果可知：力偶系平衡的充分必要條件是力偶系的合力偶矩等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零。平面力偶系平衡條件：三鉸剛架由兩直角剛架組成，AC部分上作用一力偶，其力偶矩為M，自重不計，且a:c=b:a，求A、B支座的反力。例3-1MACMbcaACBCBAC為對象，∑M=0,考慮CB部分為二力構(gòu)件，得：解： 由a:c=b:a知：AC⊥CB，受力分析CBA圖示機構(gòu)自重不記。圓輪上的銷子A放在搖桿BC上的光滑導(dǎo)槽內(nèi)。M

1=2kNm，OA=r=0.5m。圖示位置OA⊥OB，α=30°，且系統(tǒng)平衡。求作用于搖桿BC上力偶的矩M

2及O、B支座的反力。αAOα例3-2M2M

1αBACαBACOrM2M1解：受力分析ABAO

續(xù)例3-2先以輪為對象，∑M=0，M1-FArsinα=0M2αBACαAOαM

1再以搖桿為研究對象，由力偶平衡條件∑M=0，M2=4M1=8kNmM

1=2kNm，OA=r=0.5m本章小結(jié)1、匯交力系的合力（1）幾何法求合力

R=F1+F2+…FN=Σ

Fi（2）解析法求合力方向余弦

cos(R,

i)=Rx/R

cos(R,

j)=Ry/R

cos(R,

k

)=Rz/R匯交力系平衡的充要條件：

R

=F1+F2+…FN=0

即

ΣFi=0匯交力系平衡的幾何條件： 力多邊形自行封閉。匯交力系平衡的解析條件：

ΣXi=0;ΣYi=0;ΣZi=0本章小結(jié)（2）2、匯交力系的合力本章小結(jié)（3）3、力對點的矩MO

(F)=r×F——MO

(F)是定位矢量|MO

(F)|=Fh=2△OAB4、合力矩定理匯交力系的合力對點的矩等于該力系所有分力對同一點的矩的矢量和。

MO

(R)=MO

(F1)+MO

(F2)+…+MO(Fn

)本章小結(jié)（4）5、力偶力偶——由兩個等值、反向且不共線的平行力系

組成。記作（F，F(xiàn)’）力偶對物體的作用效應(yīng)決定于力